26.4第三课时：实际问题与二次函数(3) 学案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦二次函数解决抛物线形实际问题，通过生活中拱桥、喷泉等情景引入，结合知识预备回顾二次函数解析式类型，搭建从旧知到实际建模的学习支架，引导学生理解变量关系。 资料以探究拱桥问题为例，详细示范建系、列解析式、求解的步骤，配套投篮、小船过桥等练习及检测，培养学生几何直观与模型观念，提升运用数学语言解决实际问题的应用意识，助力掌握二次函数建模方法。

人教版九年级数学上册第26章二次函数 26.4第三课时：实际问题与二次函数(3)学案 一、素养目标 1.结合抛物线型实际图形，观察图像特征，理解变量间对应关系； 2.能将拱桥、运动轨迹等实际场景转化为二次函数模型，列出函数解析式； 3.借助函数性质分析求解问题，运用所学知识解决几何类实际应用问题. 二、教学重点、难点 重点：掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题. 难点：能运用二次函数的图象与性质进行决策. 三、教学过程 情景引入 生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等. 知识预备 如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型. y＝ax2 y＝ax2＋k y＝a(x－h)2＋k或y＝ax2＋bx 探究2 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面 宽为多少？ 分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线 对应的二次函数，进而解决问题.为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立 平面直角坐标系(如右上图). 解：设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2.由抛物线经点(5，－4)，可得 －4＝a×52， 解得 a＝ 因此，这条抛物线对应的二次函数为. 当水面上升1m时，水面的纵坐标为－3. 令y＝－3，即＝－3，解得x＝. 所以这时水面宽为m. 如果另建立坐标系，这条抛物线对应的二次函数的解析式有何变化？ 方法总结 解决形状为抛物线形的实际问题的一般步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标； (3)恰当选用二次函数的解析式形式； (4)用待定系数法求出抛物线的解析式； (5)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解. 练习 1.在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.85的一部分(如图)，若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l. 2.对于探究2，在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装满物资的小船准备从桥下通过.这艘小船宽4m，船舱顶部为长方形，露出水面的部分高2m.这艘小船能从这座拱桥下通过吗？ 参考答案： 1、5.2m 2、解：由水面上升1m后，水面的纵坐标为-3，由x=2代入方程y=-0.16 x²得-0.64，因为-0.64+3=2.36>2，,小船能从这座拱桥下通过。 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 本节课以抛物线型实际场景为教学内容，引导学生建立平面直角坐标系，构建二次函数模型解题。课堂上学生基本掌握建系列式的基本方法，但自主选取合适坐标系时思路混乱，坐标转化容易出错。部分学生无法结合图像题意分析条件，解题灵活性不足。后续教学会示范多种建系方式，对比优劣梳理解题思路，强化坐标换算训练，结合典型题型巩固方法，帮助学生熟练解决抛物线相关实际问题。 6、 课堂检测 1. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线形，水面宽为30米，水面离桥顶的高度是9米，建立如图所示的直角坐标系，你能求出桥拱所在抛物线的函数关系式吗？ 2.如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m(水平距离)远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 解：如图，建立直角坐标系 3．已知抛物线，经过点和点，抛物线上有一个点，它的横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)求的长； (3)若点是轴上方、轴左侧抛物线上的一个动点，是否存在这样的点，使？如果存在，请求出点坐标；如果不存在，请说明理由． 参考答案： 1、解：设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由已知条件可知抛物线经过点(15，-9)，可得 -9=a×152，解得，a= 因此，桥拱所在抛物线的函数关系式为：y=-x2 2、解：如图，建立直角坐标系 则点B的坐标是(0，3.5)，点C的坐标是(1.5，3.05) 点A表示运动员投篮球的出手处 设y=ax2+3.5，把C(1.5，3.05)代入y=ax2+3.5得 3.05=2.25a+3.5，解得a=-0.2 ∴ y=-0.2x2+3.5 当x=-2.5时，y=2.25 故运动员出手时的高度为2.25m 3、【详解】（1）把和代入得： 解得 抛物线的解析式为； （2）在中，令得， ， ； （3）存在这样的点，使，理由如下： 过作交延长线于，过作轴，过作轴交于，交轴于，如图： ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， 直线解析式为， 解得或 点在轴上方、轴左侧， 的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $