第4章《因式分解》暑假复习与巩固练习（知识框架+知识点复习+易错点提醒+知识点练习）2025--2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册复习巩固 第四章 因式分解 本章复习目标 理解因式分解的核心概念，能准确区分因式分解与整式乘法的互逆关系，掌握因式分解的结果要求，发展数学抽象与逆向思维能力。 熟练掌握提公因式法、公式法两种基本因式分解方法，能灵活选择方法对多项式进行分解，做到分解彻底，提升代数运算能力。 能运用因式分解解决化简求值、简便计算、图形面积等实际问题，体会因式分解的代数工具价值，为后续分式运算、一元二次方程学习筑牢基础。 本章知识框架 知识点复习 4.1 因式分解的概念 知识点 1：因式分解的定义 把一个多项式化成几个______的______的形式，这种变形叫做因式分解，也叫做分解因式。 因式分解的三个核心要求： 结果必须是______的形式，不能是和差形式； 每个因式必须是______，且次数低于原多项式； 必须分解到每个因式都不能再______为止。 知识点 2：因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是______方向的变形： 整式乘法：几个整式相乘 → 一个多项式（化积为和）； 因式分解：一个多项式 → 几个整式的积（化和为积）。 例如：是整式乘法，是因式分解。 4.2 提公因式法 知识点 1：公因式的定义 多项式各项都含有的______因式，叫做这个多项式各项的公因式。 确定公因式的 “三定法”： 定系数：取各项系数的______； 定字母：取各项都含有的______字母（或多项式因式）； 定指数：取相同字母（或因式）的______次幂。 知识点 2：提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，把这个______提出来，将多项式化成两个因式______的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 提公因式的注意事项： 提公因式后，括号内的项数与原多项式项数______，若某一项恰好是公因式，提出后该项剩余为__1____，不能漏掉； 若多项式首项系数为负，通常先提出______号，此时括号内各项都要______符号； 公因式可以是单项式，也可以是多项式（整体思想）。 4.3 公式法 知识点 1：平方差公式因式分解 公式：________ 文字表述：两个数的平方差，等于这两个数的______与这两个数的______的积。 适用条件： 多项式是______项式； 两项符号______； 每一项都能写成______的形式。 知识点 2：完全平方公式因式分解 公式： ______ ； ______文字表述：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的 2 倍，等于这两个数的______（或______）的平方。 完全平方式的特点： 多项式是______项式； 首、末两项是平方项，且符号______； 中间项是首末两项底数乘积的______倍。 口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央。 知识点 3：十字相乘法（拓展） 对于二次三项式，可以分解为： =________ 分解口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。 适用：二次项系数为 1，常数项能分解为两个数的积，且这两个数的和等于一次项系数。 知识点 4：因式分解的一般步骤 因式分解的标准步骤可总结为三字口诀： 一______：先观察多项式各项是否有公因式，有公因式先提公因式； 二______：提公因式后，观察剩余多项式是否符合平方差或完全平方公式，符合则套用公式分解； 三______：分解完成后检查，确保每个因式都不能再继续分解，结果为最简整式积的形式。 本章核心数学思想 类比思想：类比小学整数的分解质因数学习多项式的因式分解，类比整式乘法公式逆向学习因式分解公式，实现知识正向迁移。 转化思想：将复杂多项式转化为几个简单整式乘积的形式，将复杂运算转化为简便运算，化繁为简。 整体思想：将多项式中的某一部分（如多项式公因式、公式中的a,b）看作一个整体进行分解，简化计算过程。 逆向思维：从整式乘法的逆过程理解因式分解，逆向运用乘法公式完成分解，培养逆向思考能力。 本章易错点提醒 概念理解错误：结果不是整式积的形式，或分解后又做乘法回到多项式形式，混淆因式分解与整式乘法。 提公因式漏项：当某一项恰好是公因式时，提出后该项剩余为 1，容易漏掉 1 导致项数减少。 提负号不变号：首项系数为负时，提出负号后括号内各项没有全部改变符号，出现符号错误。 公式套用错误：混淆平方差公式与完全平方公式，完全平方公式漏掉中间项的 2 倍，或和差符号错误。 分解不彻底：只完成提公因式或套公式一步，剩余因式还能继续分解就停止，如分解到就结束，未继续分解为。 整体思想应用错误：公因式为多项式时，符号处理错误，如，的符号转换出错。 知识点练习 一、选择题 1.下列由左到右的变形，属于因式分解的是（        ） A. B. C. D. 2.下列由左边到右边的变形，因式分解正确的是（        ） A. B. C. D. 3.计算的结果为（       ） A. B. C. D. 4.把多项式，提取公因式后，余下的部分是（     ） A. B. C. D. 5.若是的三边，满足，则的形状是（     ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 6.若k为自然数，则的值总能（     ） A.被2整除 B.被3整除 C.被4整除 D.被6整除 7.下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A. B. C. D. 8.在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若，，是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若，，为实数满足，则以，，作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 二、 填空题 9.把分解因式时，应提取的公因式是______________． 10.已知，则________． 11.已知关于x的多项式因式分解以后有一个因式为，则m的值是________． 12.在中，它的三边长分别为、、，若、、满足等式：，则的形状一定是________ ． 13.已知：，，都是正整数，且，．的最大值为，最小值为，则______________． 三、 解答题 14.分解因式： (1)； (2)． 15.分解因式： （1）； （2）． 16.由 可知多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现使多项式 的值为． （1）若是多项式的一个因式，求的值． （2）若和是多项式的两个因式，试求，的值，并将该多项式因式分解． 17.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴ 另一个因式为，m的值为-21． 问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 18.配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： （1）代数式的最小值为________； （2）已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； （3）已知，，试比较P，Q的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级下册复习巩固 第四章 因式分解 本章复习目标 理解因式分解的核心概念，能准确区分因式分解与整式乘法的互逆关系，掌握因式分解的结果要求，发展数学抽象与逆向思维能力。 熟练掌握提公因式法、公式法两种基本因式分解方法，能灵活选择方法对多项式进行分解，做到分解彻底，提升代数运算能力。 能运用因式分解解决化简求值、简便计算、图形面积等实际问题，体会因式分解的代数工具价值，为后续分式运算、一元二次方程学习筑牢基础。 本章知识框架 知识点复习 4.1 因式分解的概念 知识点 1：因式分解的定义 把一个多项式化成几个__整式____的___积___的形式，这种变形叫做因式分解，也叫做分解因式。 因式分解的三个核心要求： 结果必须是__积____的形式，不能是和差形式； 每个因式必须是___整式___，且次数低于原多项式； 必须分解到每个因式都不能再___分解___为止。 知识点 2：因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是___相反___方向的变形： 整式乘法：几个整式相乘 → 一个多项式（化积为和）； 因式分解：一个多项式 → 几个整式的积（化和为积）。 例如：是整式乘法，是因式分解。 4.2 提公因式法 知识点 1：公因式的定义 多项式各项都含有的___公共___因式，叫做这个多项式各项的公因式。 确定公因式的 “三定法”： 定系数：取各项系数的__最大公约数____； 定字母：取各项都含有的___相同___字母（或多项式因式）； 定指数：取相同字母（或因式）的___最低___次幂。 知识点 2：提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，把这个__公因式____提出来，将多项式化成两个因式___乘积___的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 提公因式的注意事项： 提公因式后，括号内的项数与原多项式项数___相同___，若某一项恰好是公因式，提出后该项剩余为__1____，不能漏掉； 若多项式首项系数为负，通常先提出___负___号，此时括号内各项都要__改变____符号； 公因式可以是单项式，也可以是多项式（整体思想）。 4.3 公式法 知识点 1：平方差公式因式分解 公式：________ 文字表述：两个数的平方差，等于这两个数的___和___与这两个数的___差___的积。 适用条件： 多项式是__二____项式； 两项符号____相反__； 每一项都能写成___平方___的形式。 知识点 2：完全平方公式因式分解 公式： ______ ； ______文字表述：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的 2 倍，等于这两个数的___和___（或___差___）的平方。 完全平方式的特点： 多项式是__三____项式； 首、末两项是平方项，且符号___相同___； 中间项是首末两项底数乘积的__2____倍。 口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央。 知识点 3：十字相乘法（拓展） 对于二次三项式，可以分解为： =________ 分解口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。 适用：二次项系数为 1，常数项能分解为两个数的积，且这两个数的和等于一次项系数。 知识点 4：因式分解的一般步骤 因式分解的标准步骤可总结为三字口诀： 一___提___：先观察多项式各项是否有公因式，有公因式先提公因式； 二___套___：提公因式后，观察剩余多项式是否符合平方差或完全平方公式，符合则套用公式分解； 三___查___：分解完成后检查，确保每个因式都不能再继续分解，结果为最简整式积的形式。 本章核心数学思想 类比思想：类比小学整数的分解质因数学习多项式的因式分解，类比整式乘法公式逆向学习因式分解公式，实现知识正向迁移。 转化思想：将复杂多项式转化为几个简单整式乘积的形式，将复杂运算转化为简便运算，化繁为简。 整体思想：将多项式中的某一部分（如多项式公因式、公式中的a,b）看作一个整体进行分解，简化计算过程。 逆向思维：从整式乘法的逆过程理解因式分解，逆向运用乘法公式完成分解，培养逆向思考能力。 本章易错点提醒 概念理解错误：结果不是整式积的形式，或分解后又做乘法回到多项式形式，混淆因式分解与整式乘法。 提公因式漏项：当某一项恰好是公因式时，提出后该项剩余为 1，容易漏掉 1 导致项数减少。 提负号不变号：首项系数为负时，提出负号后括号内各项没有全部改变符号，出现符号错误。 公式套用错误：混淆平方差公式与完全平方公式，完全平方公式漏掉中间项的 2 倍，或和差符号错误。 分解不彻底：只完成提公因式或套公式一步，剩余因式还能继续分解就停止，如分解到就结束，未继续分解为。 整体思想应用错误：公因式为多项式时，符号处理错误，如，的符号转换出错。 知识点练习 一、选择题 1.下列由左到右的变形，属于因式分解的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：选项A，是整式乘法运算，结果是和的形式，不属于因式分解； 选项B，，变形错误，不属于因式分解； 选项C，的结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解； 选项D，，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义。 故选D. 2.下列由左边到右边的变形，因式分解正确的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查因式分解，根据因式分解的定义以及因式分解的方法，逐一进行判断即可. 【解答】 解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、 ，正确； D、 ，原选项分解错误； 故选C. 3.计算的结果为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查了因式分解的应用，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．利用平方差公式因式分解得 ，即可求解． 【解答】 解： 故选：D. 4.把多项式，提取公因式后，余下的部分是（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式 即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【解答】 ，则余下的部分是 ． 故选：C． 5.若是的三边，满足，则的形状是（     ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 【答案】 A 【解析】 本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键。由已知等式可得 ，根据三角形的三边关系可得 ，据此即可求解． 【解答】 解： 为 三边， 为等腰三角形， 故选：A. 6.若k为自然数，则的值总能（     ） A.被2整除 B.被3整除 C.被4整除 D.被6整除 【答案】 B 【解析】 本题考查了因式分解的应用，正确因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键．利用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后找到能被整除的数或式即可得答案． 【解答】 解： ， 的值总能被3整除． 故选：B. 7.下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据完全平方公式的结构特征，逐项判断即可得到结果. 【解答】 解：完全平方公式的结构为， 对于选项A，，符合完全平方公式的结构，可以用完全平方公式因式分解，选项A符合题意； 对于选项B，，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意； 对于选项C，若符合完全平方公式，中间项应为，原式中间项为，不符合结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意； 对于选项D，的常数项为负，两个平方项符号不同，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意. 故选A. 8.在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若，，是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若，，为实数满足，则以，，作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 C 【解析】 本题考查了因式分解，涉及等腰三角形的判定，构成三角形的条件：将进行分组，再因式分解，即可判断；通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 【解答】 解： ， ，故正确； 由得， ， 即 ，，是的三边长， ， ， ， 为等腰三角形．故正确； 由 得 ，，， ， 以，，作为三边不能构成三角形，故错误， 综上，正确的有，共个． 故选：． 二、 填空题 9.把分解因式时，应提取的公因式是______________． 【答案】 【解析】 本题主要考查整式的运算，提取公因式，掌握提取公因式的计算方法是关键． 找出多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，确定公因式． 【解答】 解：多项式中， 各项系数为，最大公约数为， 字母部分，的最小指数为，的最小指数为，的最小指数为， 公因式为， 故答案为：． 10.已知，则___16_____． 【答案】 16 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：, 11.已知关于x的多项式因式分解以后有一个因式为，则m的值是____-2____． 【答案】 -2 【解析】 设多项式的另一个因式为，根据因式分解的定义得到等式，再利用多项式乘多项式法则展开，对比对应项系数即可求解。 【解答】 解：设多项式的另一个因式为， 多项式因式分解后有一个因式为， ， 则， ， 解得， 。 12.在中，它的三边长分别为、、，若、、满足等式：，则的形状一定是___等腰三角形_____ ． 【答案】 等腰三角形 【解析】 先把等式两边的项移到一起，整理成一边为零的形式；对整理后的式子进行因式分解，得到两个因式相乘等于零的形式；根据三角形边长的性质（两边之和大于第三边），排除其中一个因式为零的可能；得出剩下的因式为零，即两条边相等，判断三角形形状。 【解答】 解： 即 即， ， 的三边长分别为、、， ， ， 即， 的形状一定是等腰三角形。 13.已知：，，都是正整数，且，．的最大值为，最小值为，则______________． 【答案】 【解析】 由已知条件整理出，再利用因式分解法转化为求的正整数解，据此得到或或或，据此解得的值，最后代入计算即可． 【解答】 解：， ， ， ， ， ， ， ，，都是正整数， 或或或， 或或或， 或， 即的最大值为，最小值为，即，， ， 故答案为：． 三、 解答题 14.分解因式： (1)； (2)． 【答案】 【解析】 利用提公因式法分解。 【解答】 解：； 解： 。 15.分解因式： （1）； （2）． 【答案】 【解析】 综合利用因式分解法求解。 【解答】 （1）解： ; （2）解： .  16.由 可知多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现使多项式 的值为． （1）若是多项式的一个因式，求的值． （2）若和是多项式的两个因式，试求，的值，并将该多项式因式分解． 【答案】 ， 【解析】 （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出，值，再提取，接着因式分解即可． 【解答】 （1）解：是多项式的一个因式， 时，， ， ， ． （2）解：和是多项式的两个因式， 和时，， ， 解得， ． 17.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴ 另一个因式为，m的值为-21． 问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】 另一个因式 ，a的值为5 另一个因式为（ ），p的值为15 【解析】 （1）设另一个因式是 ，则 ，根据对应项的系数相等即可求得b和k. （2）设另一个因式是 ，利用多项式的乘法法则展开，再根据对应项的系数相等即可求出m和p. 【解答】 （1）解：设另一个因式为 解得： a=5 另一个因式 ，a的值为5 （2）解：设另一个因式为 得 解得：m=-5，p=15 另一个因式为（3x-5），p的值为15.  18.配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： （1）代数式的最小值为____-11____； （2）已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； （3）已知，，试比较P，Q的大小． 【答案】 -11 【解析】 （1）根据例题用配方法，得出 ，即可求解； （2）将已知等式用完全平方公式因式分解得出 ，根据非负数的性质求得 ，再根据三角形的三边关系，即可求解； （3）利用作差法得出 ，即可求解. 【解答】 （1）解： 当 ，即 时，的最小值为 -11 （2）解： ，即 （3）解：， 学科网（北京）股份有限公司 $