第4章 因式分解 单元复习易错题重难点培优讲义（6大知识点总结+11大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学因式分解单元复习讲义通过表格系统梳理知识体系，将因式分解的概念、提公因式法、公式法等核心知识点与常考考点、高频易错点对应呈现，清晰展现“概念-方法-应用”的逻辑脉络及各知识点间的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的直接提公因式到培优的配方法与密码生成问题，融入“一提二套三查”等解题技巧，通过错题警示和方法指导培养学生运算能力与推理意识，既助力基础薄弱学生掌握方法，也为优秀学生提供拓展空间，支持教师实施精准分层教学。

第4章 因式分解 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.因式分解的概念 1.判定变形是否为因式分解 2.区分因式分解与整式乘法 1.混淆互逆变形方向 2.结果未写成整式乘积 3.分解不彻底 2.提公因式法 1.确定最大公因式 2.直接提公因式分解 3.含多项式公因式的提取 1.公因式提取不彻底 2.符号、漏项错误 3.首项负号未处理 3.平方差公式 1.识别两项平方异号结构 2.套用 3.先提公因式再用公式 1.非平方差结构强行套用 2.分解后未继续分解 3.系数未化为平方形式 4.完全平方公式 1.识别三项完全平方式 2.套用 3.公式逆用与配方 1.忽略2倍乘积特征 2.符号判断错误 3.配方添项出错 5.综合分解 1.一提二套三查流程 2.提公因式+公式联用 1.步骤颠倒、分解不彻底 2.复杂式子不会整体换元 6.因式分解应用 1.化简求值、简便计算 2.判定整除、三角形形状 3.探究规律、新定义问题 1.整体代入不熟练 2.几何与代数转化困难 3.规律归纳不严谨 【易错题型】 【题型1】因式分解概念与规范书写易错题 1.易错点总结 把整式乘法当成因式分解，变形方向相反 结果保留加减，未写成整式乘积形式 分解到中途停止，未做到彻底分解 提公因式后符号错误、项数不匹配 2.纠错技巧 判定口诀：左多项式、右整式积、分解要彻底 提公因式三看：看系数、看字母、看符号 最终检查：乘积形式、不可再分、项数符号正确 【例题1】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列等式，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）下列各等式：①；②；③；④，其中从左到右的变形是因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-2】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解，并且因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【基础题型】 【题型2】直接提公因式法分解 1.考点总结 核心：提取最大公因式，化为公因式×另一因式 考查：单项式、多项式公因式提取 2.解题技巧 公因式：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂 多项式整体作公因式，直接整体提取 首项系数为负，连同负号一并提出 【例题2】.（2026·贵州铜仁·模拟预测）因式分解：_______________． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·上海·月考）因式分解：____． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3】平方差公式基础分解 1.考点总结 公式： 结构：二项、平方、异号 2.解题技巧 先化为标准平方差形式再套用 有公因式优先先提公因式 必须分解到每个因式最简 【例题3】.（24-25八年级下·福建漳州·期末）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·山东青岛·月考）因式分解：__________． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·湖北荆州·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【题型4】完全平方公式基础分解 1.考点总结 公式： 结构：首末平方同号、中间2倍乘积 2.解题技巧 认准结构：首²±2·首·尾+尾² 中间项符号决定括号内符号 先提公因式，再套完全平方公式 【例题4】.（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·河北唐山·期末）下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）因式分解 (1) (2) 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． 【提升题型】 【题型5】提公因式+公式法综合分解 1.考点总结 固定流程：一提、二套、三查 考查：基础综合分解能力 2.解题技巧 顺序固定：先提公因式，再用公式 每一步检查是否可继续分解 结果为最简整式乘积 【例题5】.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）分解因式：_____________． 【变式题5-1】.（2026·山东济宁·一模）分解因式：________． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·江苏淮安·月考）因式分解 (1)； (2) (3) (4) 【变式题5-3】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)； 【题型6】因式分解化简求值（整体代入） 1.考点总结 方法：先分解，再整体代入计算 优势：简化运算、降低错误率 2.解题技巧 流程：分解→代入→计算 遇到、直接整体代入 优先约分，简化数值运算 【例题6】.（25-26九年级下·四川成都·月考）已知，，则______． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·广东佛山·月考）若，则_____． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·甘肃平凉·月考）已知，求． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·江苏盐城·月考）已知，，则的值为______． 【题型7】实数范围内因式分解 1.考点总结 在实数范围内，将二次式分解至不可再分 常考：含二次根式的平方差、完全平方结构 2.解题技巧 公式：（可为正实数） 步骤：先提公因式→套公式→拆到实数根 判定：无有理根时，保留无理数因式 【例题7】.（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·上海·月考）在实数范围内分解因式． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：__________． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·上海·假期作业）在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【题型8】因式分解简便计算 1.考点总结 利用分解实现凑整、约分、简化大数运算 常考：平方差、完全平方逆用 2.解题技巧 观察结构：有公因式先提，有公式结构先套 目标：凑整十、整百，简化硬算 避免直接计算大数 【例题8】.（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）利用因式分解计算：________． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·江苏扬州·月考）利用因式分解计算： (1) (2) 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·江西上饶·月考）简便运算 (1)． (2) 【培优题型】 【题型9】判定整除与因数分析 1.考点总结 把式子彻底分解，判断是否含指定因数 常考：被2、3、4、6、24等整除 2.解题技巧 分解到不能再分，观察乘积因子 整数范围内含该因子即可判定整除 结合奇偶性、倍数性质判断 【例题9】.（2025·河南南阳·二模）设a为大于3的任意整数，关于代数式 的值的说法正确的是 （    ） A．它一定是5的倍数 B．它一定是3的倍数 C．它一定是4的倍数 D．它一定是6的倍数 【变式题9-1】.（2025·福建泉州·二模）设是一个四位数，下列说法正确的是（   ） A．若，则这个数是11的倍数 B．若，则这个数是11的倍数 C．若，则这个数是11的倍数 D．若，则这个数是11的倍数 【变式题9-2】.（25-26八年级上·河南商丘·月考）根据下面的探究过程完成内容： 猜想 比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． 验证 （1） （写结果）= ． 推理 （2）比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． 延伸 （3）请利用整数说明“比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为”． 【变式题9-3】.（2025·河北沧州·模拟预测）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理， 部分信息如表格所示（n为正整数）．按表中规律，完成下列问题： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ ①（   ）2　－（   ）2　； ② （ 用含n 的代数式表示） (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14， …这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你补全过程． 假设，其中x，y均为自然数，分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾． 故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设，，其中k，m均为自然数，则 为4的倍数． ③ 若x，y一个是奇数一个是偶数，则是奇数， 是偶数，所以x，y不可能一个是奇数一个是偶数． (3)由①②③可知，猜测 ．（填“正确”或“错误”） 【题型10】配方法因式分解与最值综合 1.考点总结 用配方法构造完全平方式，结合平方差公式分解 利用非负数性质求代数式的最大值/最小值 2.解题技巧 配方步骤：添项凑完全平方→用平方差分解 最值判断：有最小值，有最大值 多变量配方：分组配方，利用非负数和为0求解 【例题10】.（25-26八年级上·山东淄博·月考）阅读材料并解决问题． ①分解因式： ； ②求代数式的最小值：由，可知当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)当________时，多项式有最________值（填大或小），为________． (3)请问：当a，b为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读解答题 阅读材料：若，求a,b的值． 解：由题意得，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值． (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求最大边的值． (3)若已知，则____________． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：分解因式． 原式． 例2：求的最大值． ， 故当时，的最大值为10． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)已知正数满足，求． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式，进而解决求多项式的最值（最大值或最小值）问题． 例如： ①求多项式的最值． 解：， ， ， 当时，多项式有最小值，最小值为． ②求多项式的最值． 解：， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为1． 阅读上述材料，解决下列问题： (1)已知，当______时，多项式有最______值（填“大”或“小”），最值为______； (2)某公园计划用米长的篱笆围成一个长方形花坛．如图，当为多少米时花坛面积最大，最大面积是多少平方米？ 【题型11】新定义·密码生成问题 1.考点总结 结合新定义运算、密码生成情境 考查：阅读理解、公式应用、规范表达 2.解题技巧 按定义写出代数式，再因式分解 用分解结果判断大小、整除、符号 紧扣定义，不超纲使用公式 【例题11】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·北京·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成便于记忆又不易破解的密码，其原理是：将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式可以分解成，若取，那么，，14和18就是因式码，将这两个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码1418．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．如果分解的结果有单项式，例如，我们取和的值作为两个因式码． (1)若多项式为，当时，请直接写出用上述方法生成的密码； (2)已知王老师手机的锁屏密码是6位数字323870，若王老师选取的多项式为，并且取x为自己的年龄生成锁屏密码，请求出王老师的年龄； (3)已知多项式，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为16，请直接写出其他两个因式码． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果为，当时，，此时可以得到数字密码2504或0425；如多项式因式分解的结果为，当时，，，此时可以得到数字密码091112． (1)根据上述方法，当时，求多项式分解因式后可以形成哪些数字密码；（写出三个） (2)若一个长方形相邻的两边长为和，周长为22，面积为28，求出一个由多项式分解因式后得到的密码；（只需一个即可） (3)若多项式因式分解后，利用本题的方法，当时可以得到一个密码2821，求、的值． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”． (1)若，求的“和积数”； (2)若，求的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，求（用含的式子表示），并计算的最小值． 同步练习 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则称x是以10为底N的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．5 二、填空题 4．分解因式：______． 5．关于x的二次三项式的最小值是_________． 6．若，则的值为______． 三、解答题 7．因式分解 (1)； (2) 8．已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且，证明这个三角形是等腰三角形． 9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． (1)直接判断：28 （是或不是）“神秘数”，2025 （是或不是）“神秘数”： (2)设两个连续偶数为和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 因式分解 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.因式分解的概念 1.判定变形是否为因式分解 2.区分因式分解与整式乘法 1.混淆互逆变形方向 2.结果未写成整式乘积 3.分解不彻底 2.提公因式法 1.确定最大公因式 2.直接提公因式分解 3.含多项式公因式的提取 1.公因式提取不彻底 2.符号、漏项错误 3.首项负号未处理 3.平方差公式 1.识别两项平方异号结构 2.套用 3.先提公因式再用公式 1.非平方差结构强行套用 2.分解后未继续分解 3.系数未化为平方形式 4.完全平方公式 1.识别三项完全平方式 2.套用 3.公式逆用与配方 1.忽略2倍乘积特征 2.符号判断错误 3.配方添项出错 5.综合分解 1.一提二套三查流程 2.提公因式+公式联用 1.步骤颠倒、分解不彻底 2.复杂式子不会整体换元 6.因式分解应用 1.化简求值、简便计算 2.判定整除、三角形形状 3.探究规律、新定义问题 1.整体代入不熟练 2.几何与代数转化困难 3.规律归纳不严谨 【易错题型】 【题型1】因式分解概念与规范书写易错题 1.易错点总结 把整式乘法当成因式分解，变形方向相反 结果保留加减，未写成整式乘积形式 分解到中途停止，未做到彻底分解 提公因式后符号错误、项数不匹配 2.纠错技巧 判定口诀：左多项式、右整式积、分解要彻底 提公因式三看：看系数、看字母、看符号 最终检查：乘积形式、不可再分、项数符号正确 【例题1】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列等式，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项中，等式右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义． B选项中，等式左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的要求． C选项中，等式左边是多项式，右边是两个整式的积的形式，符合因式分解的定义． D选项中，等式右边不是整式（分母含有字母），不符合因式分解的定义． 故选：C． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）下列各等式：①；②；③；④，其中从左到右的变形是因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），逐一分析每个等式的变形是否符合该定义，从而确定符合的个数即可． 【详解】解：①是从整式的积化为多项式，属于整式乘法，不符合因式分解定义； ②的右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义； ③是把多项式化为整式的平方（即两个整式的积），符合因式分解定义； ④是把多项式化为两个整式与的积，符合因式分解定义； 综上，符合因式分解的有③④，共2个． 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），结合因式分解的方法逐一判断选项． 【详解】解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误； ∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误； ∵C选项中，原式分解错误，错误； ∵D选项中，提取公因式，，符合因式分解定义且分解正确； ∴故选：D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解，并且因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，将多项式化为几个整式的乘积形式是因式分解． 根据因式分解的定义判断各选项是否属于因式分解并验证分解是否正确即可． 【详解】解：选项A：右边为，不是乘积形式，不属于因式分解； 选项B：右边为，是乘积形式，但可继续分解为，分解不完全，不正确； 选项C：右边为，是乘积形式，且成立，因式分解正确； 选项D：右边为多项式，左边为乘积，是整式乘法，不属于因式分解； 故选：C． 【基础题型】 【题型2】直接提公因式法分解 1.考点总结 核心：提取最大公因式，化为公因式×另一因式 考查：单项式、多项式公因式提取 2.解题技巧 公因式：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂 多项式整体作公因式，直接整体提取 首项系数为负，连同负号一并提出 【例题2】.（2026·贵州铜仁·模拟预测）因式分解：_______________． 【答案】 【分析】直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解: ． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·上海·月考）因式分解：____． 【答案】 【分析】根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键． （1）是这两个式子的公因式，可以直接提出，由此可得结果． （2）是这两个式子的公因式，提出后注意符号的变化，由此可得结果． 【详解】（1）解： （2） 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查利用提公因式法进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）根据提公因式法进行因式分解即可； （2）根据提公因式法进行因式分解即可； （3）根据提公因式法进行因式分解即可； （4）根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【题型3】平方差公式基础分解 1.考点总结 公式： 结构：二项、平方、异号 2.解题技巧 先化为标准平方差形式再套用 有公因式优先先提公因式 必须分解到每个因式最简 【例题3】.（24-25八年级下·福建漳州·期末）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，平方差公式为，适用于两个平方项的差．需逐一分析选项是否满足该形式． 【详解】A．，不符合平方差公式，排除． B．，括号内为平方和，无法用平方差分解，排除． C． 仅含一项平方项和一次项，无法构成平方差，排除． D．，满足平方差公式． 故选D． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； B. ，能用平方差公式进行分解因式，本选项符合题意； C. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； D. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意． 故选：B． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·山东青岛·月考）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键，原式符合平方差公式的形式，可直接利用平方差公式分解． 【详解】解： ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·湖北荆州·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法（平方差公式、完全平方公式）的综合运用，熟练掌握因式分解的一般步骤（一提、二套、三查）是解题的关键． （1）先找出多项式各项的公因式，再提取公因式完成因式分解． （2）将多项式看作平方差形式，利用平方差公式进行分解． （3）先提取公因式，再对余下的多项式使用完全平方公式进行二次分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型4】完全平方公式基础分解 1.考点总结 公式： 结构：首末平方同号、中间2倍乘积 2.解题技巧 认准结构：首²±2·首·尾+尾² 中间项符号决定括号内符号 先提公因式，再套完全平方公式 【例题4】.（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．再逐一判断各选项是否能用于分解因式. 【详解】解：选项A： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项B： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项C： 不匹配完全平方公式与平方差公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项D： ， ∵， ∴ 能用公式法分解因式. 故选：D 【变式题4-1】.（24-25七年级下·河北唐山·期末）下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】完全平方公式为，需满足首末项为平方项且中间项为两平方项根乘积的2倍．本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 【详解】解：A、，符合平方差公式，但不符合完全平方公式，本选项不符合题意． B、，中间项为，但末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． C、，中间项为，末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． D、，首项和末项均为平方项，中间项为与乘积的2倍，符合形式，可分解为，本选项符合题意． 故选：D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据完全平方公式分解因式，即可求解； （2）先提取公因式，再根据完全平方分解因式，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握识别完全平方公式的结构特征，直接套用公式分解是解题的关键． （1）将看作，看作，式子符合完全平方和公式的结构，直接用公式分解； （2）先整理成标准二次三项式，再将其看作完全平方差形式，用公式分解． 【详解】（1）解： （2）解： 【提升题型】 【题型5】提公因式+公式法综合分解 1.考点总结 固定流程：一提、二套、三查 考查：基础综合分解能力 2.解题技巧 顺序固定：先提公因式，再用公式 每一步检查是否可继续分解 结果为最简整式乘积 【例题5】.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）分解因式：_____________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：． 【变式题5-1】.（2026·山东济宁·一模）分解因式：________． 【答案】9 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·江苏淮安·月考）因式分解 (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）观察发现多项式是平方差形式，直接用平方差公式分解； （2）先提取公因式，剩余部分为完全平方式，再用完全平方公式分解； （3）将两个整体平方项看作平方差的形式，先利用平方差公式分解，合并同类项后再提取公因式； （4）采用分组分解法，将多项式分组后分别提取公因式，再提取整体的公因式完成分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； （3）根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ; （3）解： ． 【题型6】因式分解化简求值（整体代入） 1.考点总结 方法：先分解，再整体代入计算 优势：简化运算、降低错误率 2.解题技巧 流程：分解→代入→计算 遇到、直接整体代入 优先约分，简化数值运算 【例题6】.（25-26九年级下·四川成都·月考）已知，，则______． 【答案】 【分析】根据平方差公式因式分解求出，联立，求出，进而求的值； 【详解】解：∵，，， ∴ ，解得：， 联立， 解得：，， ∴， ∴ ． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·广东佛山·月考）若，则_____． 【答案】4 【分析】利用平方差公式对原式进行因式分解，再代入已知条件化简计算，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·甘肃平凉·月考）已知，求． 【答案】2027 【分析】将变形为，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·江苏盐城·月考）已知，，则的值为______． 【答案】12 【分析】把所求式子因式分解为，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【题型7】实数范围内因式分解 1.考点总结 在实数范围内，将二次式分解至不可再分 常考：含二次根式的平方差、完全平方结构 2.解题技巧 公式：（可为正实数） 步骤：先提公因式→套公式→拆到实数根 判定：无有理根时，保留无理数因式 【例题7】.（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】实数范围内的因式分解，需分解彻底，且结果中根式要化为最简，利用提取公因式结合平方差公式分解即可． 【详解】解： A．未彻底分解，不合题意； B．二次根式未化简，不合题意； C．因式分解正确，符合题意； D．括号内符号错误，不合题意． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·上海·月考）在实数范围内分解因式． 【答案】 【分析】此题考查了实数范围内分解因式．先利用十字相乘法分解，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 【变式题7-2】.（25-26八年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了在实数范围内因式分解，利用配方法将原式变形，再利用平方差公式进行因式分解，由此求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·上海·假期作业）在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． （2）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型8】因式分解简便计算 1.考点总结 利用分解实现凑整、约分、简化大数运算 常考：平方差、完全平方逆用 2.解题技巧 观察结构：有公因式先提，有公式结构先套 目标：凑整十、整百，简化硬算 避免直接计算大数 【例题8】.（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）利用因式分解计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．通过提取公因式2027进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为 【变式题8-1】.（24-25八年级上·江苏扬州·月考）利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1) 1600 (2) 4000 【分析】本题考查用公式法因式分解简便运算，掌握公式法因式分解是解题关键． （1）用完全平方公式先分解因式再计算即可； （2）用平方差公式先分解因式再计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·江西上饶·月考）简便运算 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用： （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【培优题型】 【题型9】判定整除与因数分析 1.考点总结 把式子彻底分解，判断是否含指定因数 常考：被2、3、4、6、24等整除 2.解题技巧 分解到不能再分，观察乘积因子 整数范围内含该因子即可判定整除 结合奇偶性、倍数性质判断 【例题9】.（2025·河南南阳·二模）设a为大于3的任意整数，关于代数式 的值的说法正确的是 （    ） A．它一定是5的倍数 B．它一定是3的倍数 C．它一定是4的倍数 D．它一定是6的倍数 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，对代数式进行因式分解，然后分析其中是否含有数字因式即可． 【详解】解：， a为大于3的任意整数， 它一定是4的倍数． 故选C． 【变式题9-1】.（2025·福建泉州·二模）设是一个四位数，下列说法正确的是（   ） A．若，则这个数是11的倍数 B．若，则这个数是11的倍数 C．若，则这个数是11的倍数 D．若，则这个数是11的倍数 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据四位数的意义用含字母的式子表示，然后拆解成11的倍数，再将不合适的代换成11的倍数，即可得解．把整式拆解成11的倍数表示是解题的关键． 【详解】解：由题意可知： ， 当这个数是11的倍数时， 可得是11的倍数， 当时，是11的倍数，故A符合题意； 当时，不是11的倍数，故B不符合题意； 当时，不是11的倍数，故C不符合题意； 当时，不是11的倍数，故D不符合题意； 故选：A． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·河南商丘·月考）根据下面的探究过程完成内容： 猜想 比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． 验证 （1） （写结果）= ． 推理 （2）比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． 延伸 （3）请利用整数说明“比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为”． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、提公因式和平方差公式的应用，熟练掌握提公因式和平方差公式是解题的关键． （1）利用平方差公式运算即可； （2）先设偶数为（为整数），再利用平方差公式和提取公因式法运算即可； （3）先根据整数，可知比大的数为，再利用平方差公式和提取公因式法运算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵设偶数为（为整数）， ∴， ， ， ． ∵为整数， ∴是的倍数， ∴ 比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除； （3）∵根据整数，可知比大的数为， ∴， ， ， ， ， ， ． ∵为整数， ∴被除的余数为， ∴比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为． 【变式题9-3】.（2025·河北沧州·模拟预测）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理， 部分信息如表格所示（n为正整数）．按表中规律，完成下列问题： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ ①（   ）2　－（   ）2　； ② （ 用含n 的代数式表示） (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14， …这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你补全过程． 假设，其中x，y均为自然数，分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾． 故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设，，其中k，m均为自然数，则 为4的倍数． ③ 若x，y一个是奇数一个是偶数，则是奇数， 是偶数，所以x，y不可能一个是奇数一个是偶数． (3)由①②③可知，猜测 ．（填“正确”或“错误”） 【答案】(1)①7，5；② (2)② (3)正确 【分析】（）①根据规律即可求解； ②根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； （3）运用（）的过程进行作答即可． 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：由规律可得，， 故答案为：，； 由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． （3）解：依题意，由①②③可知，猜测正确 故答案为：正确 【题型10】配方法因式分解与最值综合 1.考点总结 用配方法构造完全平方式，结合平方差公式分解 利用非负数性质求代数式的最大值/最小值 2.解题技巧 配方步骤：添项凑完全平方→用平方差分解 最值判断：有最小值，有最大值 多变量配方：分组配方，利用非负数和为0求解 【例题10】.（25-26八年级上·山东淄博·月考）阅读材料并解决问题． ①分解因式： ； ②求代数式的最小值：由，可知当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)当________时，多项式有最________值（填大或小），为________． (3)请问：当a，b为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)2，小，7 (3)当时，多项式有最小值，最小值为20 【分析】本题主要考查了利用配方法进行因式分解，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先利用配方法进行整理，再利用平方差公式进行因式分解； （2）利用配方法进行整理，再求出最值即可； （3）利用配方法进行整理，再求出最值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ∴当时，多项式有最小值，为7， 故答案为：2，小，7； （3）解： ， ∴当时，多项式有最小值，最小值为20． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读解答题 阅读材料：若，求a,b的值． 解：由题意得，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值． (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求最大边的值． (3)若已知，则____________． 【答案】(1) (2)； (3)7． 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，即可求出的值； （2）将已知等式25分为，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出z的长； （3）由，得到，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出y与z的值，进而求出x的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∵三角形两边之和＞第三边 ∴ ∴ 又∵z是正整数， ∴的最大边z的值为4，5，6， ∴最大边的值为； （3） ∵，即， 代入得：， 整理得：， ∴，且，即， ∴， 则． 故答案为7． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：分解因式． 原式． 例2：求的最大值． ， 故当时，的最大值为10． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)已知正数满足，求． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值为； (3)12 【分析】本题考查了配方法，因式分解，偶次幂的非负性．解题的关键在于对理解题意并正确的求解． （1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得，，， ∴． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式，进而解决求多项式的最值（最大值或最小值）问题． 例如： ①求多项式的最值． 解：， ， ， 当时，多项式有最小值，最小值为． ②求多项式的最值． 解：， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为1． 阅读上述材料，解决下列问题： (1)已知，当______时，多项式有最______值（填“大”或“小”），最值为______； (2)某公园计划用米长的篱笆围成一个长方形花坛．如图，当为多少米时花坛面积最大，最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)；小； (2)当米时花坛面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2）设为米时花坛面积最大，得到，求得长方形花坛面积，然后即可求解； 【详解】（1）解：已知， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最值为； 故答案为：；小；； （2）解：设为米时花坛面积最大， ∴，， ∴长方形花坛面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 即当米时花坛面积最大，最大面积是平方米． 【题型11】新定义·密码生成问题 1.考点总结 结合新定义运算、密码生成情境 考查：阅读理解、公式应用、规范表达 2.解题技巧 按定义写出代数式，再因式分解 用分解结果判断大小、整除、符号 紧扣定义，不超纲使用公式 【例题11】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，利用作差法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∴． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·北京·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成便于记忆又不易破解的密码，其原理是：将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式可以分解成，若取，那么，，14和18就是因式码，将这两个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码1418．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．如果分解的结果有单项式，例如，我们取和的值作为两个因式码． (1)若多项式为，当时，请直接写出用上述方法生成的密码； (2)已知王老师手机的锁屏密码是6位数字323870，若王老师选取的多项式为，并且取x为自己的年龄生成锁屏密码，请求出王老师的年龄； (3)已知多项式，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为16，请直接写出其他两个因式码． 【答案】(1)1525； (2)王老师的年龄是35岁； (3)20，36． 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意分解因式，代入求解即可； （ 2 ）因式分解得出，再进行讨论即可得解； （3）因式分解得出，再进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， ∴密码为1525； 故答案为：1525； （2）解：， ∵王老师手机的锁屏密码是6位数字323870， ∴三个因式码为32、38、70， 当时，， 此时，此时三个因式码为13，16，32，锁屏密码是131632，不符合题意； 当时，， 此时，此时三个因式码为26，32，58，锁屏密码是263258，不符合题意； 当时，， 此时，此时三个因式码为32，38，70，锁屏密码是323870，符合题意； ， 即王老师当前年龄是35岁； （3）解：， 显然， 当时，， 此时符合题意； 当时，（负值舍去）， 则，此时三个因式码为10，14，16，最小的因式码为10，不符合题意； 综上可知，当时，符合题意，其他两个因式码是20和36． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果为，当时，，此时可以得到数字密码2504或0425；如多项式因式分解的结果为，当时，，，此时可以得到数字密码091112． (1)根据上述方法，当时，求多项式分解因式后可以形成哪些数字密码；（写出三个） (2)若一个长方形相邻的两边长为和，周长为22，面积为28，求出一个由多项式分解因式后得到的密码；（只需一个即可） (3)若多项式因式分解后，利用本题的方法，当时可以得到一个密码2821，求、的值． 【答案】(1)120717；121707；171207 (2)2803或0328 (3) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，以及用“因式分解”法产生的密码的方法，要熟练掌握． （1）首先把分解因式，然后求出当，时，的值各是多少，写出可以形成的三个数字密码即可． （2）由题意，求出的值是多少，再根据，求出可得的数字密码为多少即可． （3）根据题意，当时，由密码2821可推得多项式因式分解为，展开后与原多项式比较系数，据此求出m、n的值各是多少即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 可得数字密码是120717；也可以是121707，171207； （2）解：∵长方形周长22，面积28， ∴，即；， 又∵ ， ∴，即， ∵， ∴数字密码为2803或0328； （3）解：∵密码为， ∴当时，，， ∴， 即：， ∴， 解得 ． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”． (1)若，求的“和积数”； (2)若，求的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，求（用含的式子表示），并计算的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)； 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解的应用、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“和积数”的定义进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形求出或，再由，代入数值进行计算即可； （3）把的右边利用提公因式法分解因式，再根据，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴a，b的“和积数”c为； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，c的值为或； （3）解：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 同步练习 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据把多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，判断即可．本题考查了因式分解的定义即把多项式写成几个因式的积的形式，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵不是因式分解， ∴A不符合题意； ∵是因式分解， ∴B符合题意； ∵不是因式分解， ∴C不符合题意； ∵不是因式分解， ∴D不符合题意； 故选：B． 2．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需明确平方差公式的形式为，即多项式需是两个平方项的差（一正一负）． 【详解】解：A选项：是两个平方项的和，不符合条件； B选项：，是两个平方项的和的相反数，不符合条件； C选项：，是两个平方项的差，符合平方差公式形式，可分解为，符合条件； D选项：中不是平方项，不符合条件． 3．若，则称x是以10为底N的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】B 【分析】根据完全平方公式把所求式子变形为，再根据和已知等式求解即可． 【详解】解： ． 二、填空题 4．分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取多项式各项的公因式，再利用完全平方公式继续分解，直至不能再分解为止． 【详解】解： ． 5．关于x的二次三项式的最小值是_________． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式分解因式结合平方的非负性求最小值即可. 【详解】解：， ， ， ∴的最小值是. 6．若，则的值为______． 【答案】9 【分析】将所求多项式利用完全平方公式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据完全平方公式因式分解，得 ， 将代入，得 原式． 三、解答题 7．因式分解 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合因式分解，解题的关键是先提取公因式，再利用完全平方公式分解，注意符号处理． （1）提取公因式完成分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解． 【详解】（1）解： （2）解： 8．已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且，证明这个三角形是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握分组法进行因式分解． 将，进行因式分解，再根据等腰三角形的定义进行证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或； ∴这个三角形一定是等腰三角形． 9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． (1)直接判断：28 （是或不是）“神秘数”，2025 （是或不是）“神秘数”： (2)设两个连续偶数为和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？请说明理由． 【答案】(1)是，不是 (2)这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，理由见解析 【分析】（1）对于第一空可由得到答案；两个连续的偶数的平方的差一定是偶数，则神秘数一定要是偶数，据此可得第二空的答案； （2）利用平方差公式把因式分解得到，据此可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴28是神秘数； ∵偶数的平方一定是偶数， ∴两个连续的偶数的平方的差一定是偶数， ∴不存在两个连续偶数的平方差的结果为2025， ∴2025不是神秘数， （2）解：是，理由如下： ， 又∵k是非负整数， ∴是正整数， ∴由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数； 学科网（北京）股份有限公司 $