重难点专题01 因式分解及其应用（6大考点，专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

重难点专题01 因式分解及其应用 重难点一、利用因式分解进行简便计算 简便计算的核心是构造公因式或套用公式。对于数字计算，先观察各项是否有公共因数，提取后往往能凑整（如提取3.14、17等）。对于平方差形式（如），直接套用变成，口算即得。对于完全平方式，写成简化运算。解题关键在于识别数字特征，将算式变形为乘积形式，避免直接乘除带来的繁琐计算。 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 3．计算： (1)__________；__________；__________． (2)①；    ②． 【答案】(1)6；18；54 (2)①② 【分析】此题考查了有理数的混合运算，因式分解，通过观察，分析、归纳，发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解决问题的关键． （1）直接计算每个表达式的值，遵循有理数运算顺序：先乘方后乘除，最后加减； （2）①通过提取公因式进行因式分解，化简表达式；②通过提取公因式进行因式分解，化简表达式． 【详解】（1）解： ； ； ． （2）解：① ； ② ． 4．运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键． （1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算． （2）将转化为，凑完全平方公式因式分解． （3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 5．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用， （1）将原式转化为，然后利用完全平方公式进行因式分解，再进行有理数的乘方运算； （2）将原式利用结合律进行分组，然后利用平方差公式进行因式分解，再进行乘法和加法运算； 掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 6．利用分解因式计算：． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，平方差公式，将原式中24变形为，再利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 重难点二、综合运用提公因式和公式法进行因式分解 遵循“一提二套三检查”的步骤。首先观察各项系数与字母，提取公因式（包括负号），确保公因式提尽。然后看剩余部分有几项：两项考虑平方差，三项考虑完全平方公式或十字相乘。分解时必须分解到每个因式不能再分为止。注意公式的变形，如，但平方差中与互为相反数，提取公因式时要处理好符号。 7．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先利用提公因式法提取公因式，再运用平方差公式继续分解因式； （2）先将多项式展开并合并同类项，再运用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解： （2）解： 8．因式分解： (1) (2) (3)（用十字相乘法）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据提公因式法和公式法解题即可； （2）根据公式法解题即可； （3）根据十字相乘法解题即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式． 9．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式继续分解； （2）把看作整体，用完全平方公式直接分解； （3）先用平方差公式分解，再对每个因式用完全平方公式继续分解； （4）先把变形为，提取公因式后整理． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解。解题关键是：分解要彻底，直到不能再分解为止；注意符号变化；能整体代换时，优先用公式简化过程． 10．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法，完全平方公式因式分解，掌握先提取公因式，再对剩余部分用完全平方公式分解，分解彻底是解题的关键． （1）先提取公因式，对剩余多项式用完全平方公式分解； （2）先提取公因式，对剩余多项式用完全平方公式分解； （3）先提取公因式，对剩余多项式用完全平方公式分解； （4）先提取公因式，对剩余多项式用完全平方公式分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 重难点三、用因式分解解决数字问题 此类题常涉及整除、质数、倍数等概念。基本思路是将代数式表示的数问题转化为因式乘积形式。如证明一个三位数能被某数整除，可将该数按位展开（如），再提取公因式。对于两个连续偶数平方差能被8整除等问题，先设未知数表示数，然后作差并因式分解，观察因式中是否含有8的因子。关键是将文字语言转化为代数式，利用因式分解揭示数的结构特征，从而证明整除性或判断质数。 11．已知实数满足为自然数，则的最小值是（    ） A．11 B．12 C．13 D．16 【答案】C 【分析】本题考查因式分解及配方法确定代数式取值范围，联立等式消去n，结合的条件得出a与b的关系，再将n转化为关于a的二次式，结合自然数的要求确定最小值． 【详解】解：∵ ∴ 整理得 因式分解得 即 ∵ ∴，即 将代入，得 ∵ ∴，解得 ∴，故 又∵n为自然数 ∴n的最小值是13． 故选：C． 12．如果，其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如：，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，根据“矩数”定义，设，，由得方程，整理为．因t和s为正整数，枚举因子对求解，得，． 【详解】解：由题意，“矩数”p的最佳拆分点为t，故 ；“矩数”q的最佳拆分点为s，故． ∵，代入得：， 即， 因式分解得：， 由于t和s均为正整数，故和均为整数，且， ∴可能因子对为或， ①当，时，联立方程解得，； ②当，时，联立方程解得，，不满足正整数条件，舍去， 故，， ∴． 故答案为：． 13．定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（    ） A．17是和谐数 B．（，是整数）不一定是和谐数 C．如果，都是和谐数（），则也是“和谐数” D．当时，（，是整数）是“和谐数” 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．根据“和谐数”的定义，利用完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A.， 17是和谐数，故该说法正确，不符合题意； B. ， （是整数）一定是和谐数，故该说法错误，符合题意； C. ， 都是“和谐数”，设， 原式 ， 也是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意； D.， ， 当时，（是整数）是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意． 故选：B． 14．一个四位自然数各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位和百位数字后得到的两位数，则称此数为“美好数”．例如：四位数2436，因为，所以2436是“美好数”：又如：四位数3572，因为，所以3572不是“美好数”．按照这个规定，最小的“美好数”是 ． 已知“美好数”，记，．当为整数，为完全平方数时，满足条件的“美好数”为 ． 【答案】 1425 1764 【分析】本题考查新定义，因式分解，根据“美好数”定义有，据此代入计算即可． 【详解】解：“美好数”，根据“美好数”定义有，且互不相等且均不为0， 为求最小“美好数”，从开始尝试： 当、时，，不满足“美好数”； 当、时，，十位和千位重复，不满足“美好数”； 当、时，，即、，数字互异，满足“美好数”； ∴最小“美好数”为1425； ∵， ∴，， ∴， ∴当为整数时，是11的倍数或是11的倍数， ∵为两个不相等且不为0的数， ∴，则， ∴或 当时，，不合题意； ∴，即， ∴，， ∵为完全平方数， ∴， ∴， ∴， ∴当为整数，为完全平方数时，满足条件的“美好数”为1764， 故答案为：1425；1764． 15．阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 【答案】(1)a的值为0，b的值为 (2)x的值为或或4； (3)或或 【分析】本题主要考查了因式定理的应用、二元一次方程组的解法、一元三次方程的因式分解与求解、平方差公式的应用以及整数的性质，熟练掌握利用因式定理对多项式进行因式分解以及根据平方差公式和整数性质求解不定方程是解题的关键． （1）根据因式定理，将和代入多项式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先由(1)得到的具体表达式，再根据列出方程，通过因式定理找出方程的因式，分解因式后求解方程． （3）先计算和的值，根据题意设、，两式相减得到平方差，利用平方差公式分解后，根据正整数的性质列出所有可能的因数分解情况，进而求出的正整数解． 【详解】（1）解：∵， ∴即① ∵， ∴ 即② 联立①②得 解得 ∴a的值为0，b的值为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 当时，， ∴是的因式， 当时，， ∴是的因式， 设另一个因式为， 则， 即， 解得， ∵， ∴， ∴或或， ∴x的值为或或4； （3）解：当，， 当，， ∵能写成某些正整数的平方， ∴，能写成某些正整数的平方， 不妨设①，②（其中，都是正整数）， 得：，即， ∵， 且，同奇同偶，且， 所有可能情况如下： 或或或或， 解得或或或或， 此时或或或或， ∵正整数m， ∴或或． 16．定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“巧数”．例如：，所以8是“巧数”；再如：（x是整数），所以M也是“巧数”． (1)20_______“巧数”（填“是”或“不是”）．若是，请将其写成两整数平方差形式；若不是，请说明理由； (2)求证：当（x为整数）时，M是“巧数”； (3)已知：（k为常数），且N是关于任意整数x，y的“巧数”，求k值． 【答案】(1)是， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查新定义“巧数”的理解与应用，涉及平方差公式的逆用，解题的关键在于配方变形为平方差的形式． （1）根据“巧数”的定义变形即可； （2）对多项式进行配方法变形即可求解； （3）先对含参数的代数式配方变形，再根据已知令，即可求解． 【详解】（1）解：， 是“巧数”， 写成两整数平方差形式为； （2）证明：， 是“巧数”； （3）解： ， 要使多项式N能表示为两个关于x，y的整式的平方差，则必须有， ． 17．定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”． (1)若，求的“和积数”； (2)若，求的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，求（用含的式子表示），并计算的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)； 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解的应用、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“和积数”的定义进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形求出或，再由，代入数值进行计算即可； （3）把的右边利用提公因式法分解因式，再根据，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴a，b的“和积数”c为； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，c的值为或； （3）解：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 18．小天和小河在学完数学活动《月历中的奥秘》后，又发现了日历上某些数满足一定的规律，图1是2026年1月份的月历，如果用图2所示的折型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），先将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，然后将得到的积相减，例如：，，发现这两个算式计算结果相等．设折型框架中位置C上的数为x． (1)小天利用整式的运算对发现的规律给予证明．请你完成该规律的证明； (2)小河在研究中进一步发现：设位置A，B，C上的数的乘积为M，位置C，D，E上的数的乘积为N，令，求y与x的关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了乘法公式、单项式乘法、因式分解，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． （1）设折型框架中位置C上的数为x，分别求出在位置上的数，再列式，根据整式的乘法与加减法即可得； （2）先根据题意列式，再根据整式的乘法与加减法即可得； 【详解】（1）解：先将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，然后将得到的积相减等于定值35． 证明：设折型框架中位置C上的数为x，则位置B上的数为，位置A上的数为，位置D上的数为，位置E上的数为， 则：            ． （2）解： ． 重难点四、配方法的应用 配方法是通过加减项构造完全平方式。主要用于：1. 证明代数式恒正或恒负，配方成形式，根据平方非负性判断；2. 求最值，当平方项系数为0时取到极值；3. 分解二次三项式，如。配方的关键：二次项系数为1时，加一次项系数一半的平方；系数不为1时，先提取系数再配方。 19．【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法在因式分解和求代数式最值中的应用，熟练掌握配方法的步骤以及完全平方式的非负性是解题的关键． （1）先通过配凑，将转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）先提取二次项系数，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最小值． （3）先提取二次项系数的负号，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最大值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 故代数式的最小值为． （3）解： ， ， ， ， 故代数式的最大值为． 20．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． ； 又例如：求代数式的最小值． ， ，当即时，的最小值为， 即的最小值为． 根据阅读材料，利用“配方法”解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)多项式有最小值为1，求出k值； (3)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求出边长c的最大值． 【答案】(1) (2) (3)边长的最大值为4 【分析】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，求出，，然后根据三角形三边关系得到，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴； （3）解：∵， ， ， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∵的三边长a、b、c都是正整数， ∴边长c的最大值为4． 【点睛】本题考查了配方法分解因式和配方法求最值，三角形三边关系，通过例题和材料，明确配方法的步骤是解题的关键． 21．定义∶把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．例如∶．教科书中这样写道∶“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如∶(1)分解因式∶，做法∶； (1)分解因式∶； (2)当x为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． (3)已知a、b、c是三边的长，且满足，求三边的长． 【答案】(1) (2)当时有最小值，最小值为 (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握题干给定的方法是解题的关键： （1）利用题干给定的方法进行因式分解即可； （2）利用添项，构造完全平方，利用完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用完全平方公式法进行因式分解，利用非负性求出三边的长即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴， 当且仅当，即时，，值最小； 故当时有最小值，最小值为； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴． 22．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．定义：若一个整数能表示成(、为整数)的形式，则称这个数为“圆梦数”． (1)判断是否为“圆梦数”，并说明理由； (2)若、均为“圆梦数”，其中为奇数，为偶数，证明：为“圆梦数”． 【答案】(1)是“圆梦数”，理由见解析； (2)证明见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，核心是紧扣“能表示为两个整数的平方和的正整数是圆梦数”这一关键． （1）判断是否为“圆梦数”，只需找到两个整数，使它们的平方和等于，若能找到，则是“圆梦数”，反之则不是； （2）要证明是“圆梦数”，需先根据“圆梦数”定义设出、的表达式，再对进行代数变形，将其转化为两个整数的平方和形式，同时验证变形后的结果为整数，即可完成证明． 【详解】（1）解：∵，且4、1均为整数， ∴是“圆梦数”； （2）证明：设，， 则 ． ∵为奇数，为偶数， ∴一奇一偶，不妨设为奇数，为偶数；同为奇数或同为偶数， 令，，则， 当同为奇数时，均为奇数，则，均为整数， 当同为偶数时，均为偶数，，均为整数， ∴为“圆梦数”． 23．阅读下列材料，回答问题： 我们把形如 或 的式子叫做完全平方式，利用完全平方式可以进行很多数学变形． 例如：若 求a， b的值． 解：原式可变形为 即 解得． 根据上述材料，解决下列问题： (1)若 求x， y的值； (2)已知 的三边长a，b，c满足 判断 的形状，并说明理由； (3)求代数式 的最小值． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 (3)2 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形为，利用非负数的性质即可求出答案； （2）原式变形为，根据非负数的性质即可求出答案； （3）原式配方得： ，利用非负数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：原式变形为： 即 ∵平方数非负，． 解得 （2）是等边三角形 理由： 两边乘2得： 变形为： ∵平方数非负性， ，即 是等边三角形． （3）原式配方得： ， ∴当时，原式取最小值2 24．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． 【答案】(1)； (2)当时，代数式有最大值； (3) 【分析】本题考查配方法的综合应用，涵盖因式分解、代数式最值求解、完全平方数的整数解探究，核心是通过配方法将代数式转化为完全平方式，结合平方差公式、非负数性质或整数因数分解求解． （1）通过配方法构造平方差形式，再利用平方差公式完成因式分解； （2）先提取二次项系数，对括号内式子配方后，结合二次项系数的正负判断最值的存在条件与取值； （3）通过设完全平方数为整数平方的形式，配方后转化为整数因数分解问题，枚举所有可能的因数对求出整数，再计算乘积． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 当即时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：设(为非负整数)， 配方得：， 两边乘4得：，即， 、为整数， 和均为整数，且为的整数因数对，且， 的整数因数对为：、、、，分情况求解： ①当，两式相加得，解得； ②当，两式相加得，解得； ③当，两式相加得，解得； ④当，两式相加得，解得； 所有整数为5、2、、，它们的积为． 25．阅读材料：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若， ①当，，满足条件：时，求的值； ②若三边长是，，，且为偶数，求的周长． 【答案】(1) (2)① ②的周长为13或15或17 【分析】本题考查了乘法公式、因式分解、幂的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据配方法解题即可； （2）①用配方法求出、的值，运用幂的运算法则即可解题； ②根据三角形的三边关系求出，进而求周长． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； ①∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：； ②由题意知，， ∴， ∵为偶数， ∴的值为4或6或8， 当，，时，的周长是：； 当，，时，的周长是：； 当，，时，的周长是：； 综上，的周长为13或15或17． 26．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式：． 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． 阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：①___________；②___________． (2)①求多项式的最大值；②若，试求的最小值． (3)①若，，，求的值；②已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 【答案】(1)①② (2)①② (3)①② 【分析】（1）①先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解；②在一次项后加上​，再减去，得到完全平方式后用平方差公式分解； （2）①先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值；②对和分别配方，构造完全平方式，再利用非负性求最小值； （3）① 将原式转化为，代入，，计算；②先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【详解】（1）解：① ； ② ． 答：①②． （2）解：① ， ，， 当，有最大值； ② ， 且， 当且，即，时， 取得最小值． 答：①②． （3）解：①，，， ，，， ； ②， ， ，即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 答：①②． 【点睛】本题考查配方法的应用，因式分解，代数式的最值问题，三角形三边关系，代数恒等变形，通过添加和减去适当的项，构造完全平方式是解题关键． 重难点五、分组分解法的应用 分组分解法适用于四项及以上的多项式，核心是通过合理分组创造公因式或套用公式。常用策略：1. 按系数比分组（如1:1分组），使每组提公因式后出现新的公因式；2. 按公式特征分组（如三项一组构成完全平方，与另一项构成平方差）。分组时需尝试不同组合，目标是各组分解后整体有公因式可提。注意：分组后要保证每组都能继续分解，且整体分解要彻底。常见类型：。 27．阅读材料：在多项式因式分解中，存在一些无法直接用提公因式法或公式分解法分解的多项式．分组因式分解法是指将这类多项式重新分组后，再通过提公因式法或公式法继续分解的方法例如： ． 利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若a，b，c是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或． 【分析】本题考查整式的运算，掌握因式分解、平方差公式以及多项式乘以多项式是解题的关键，． （1）根据分解因式的方法-分组分解法分解因式即可； （2）不等式左边分解因式后，根据两边之和大于第三边验证即可； （3）先进行因式分解，然后解方程组即可得到结论． 【详解】（1）解： （2）证明： ， ∵，， ∴，， ∴， 则； （3）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵x，y为整数， ∴与也是整数， ∴， ∴或， ∴或． 28．我们已经知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法．但某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） 乙： （先分成两组）． ． 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组分解法．请结合甲、乙两名同学分解因式的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)若，求的值． (3)已知为等腰三角形的三边长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分组分解法，因式分解的应用，等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）前两项一组，后两项一组，利用平方差公式法和提公因式法进行因式分解即可； （2）前两项一组，后两项一组，利用分组分解法进行因式分解后，整体代入法求值即可； （3）等式左边利用分组分解法，转化为两个完全平方的和的形式，根据非负性，求出的值，根据等腰三角形的定义，分类讨论进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴原式； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等腰三角形， ∴当时，，满足题意，此时等腰三角形的周长为； 当时，，不能构成三角形，不符合题意； 综上等腰三角形的周长为7． 29．请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，非负数的性质，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法，结合平方差公式和完全平方公式，因式分解即可； （2）根据分组分解法，结合平方差公式和提公因式法，因式分解即可； （3）先将，变形为，然后根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 30．【综合应用】材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等． 如“”分法： 再如“”分法： 请根据上述材料的启发解决下列问题： (1)【理解】分解因式： ①； ②； (2)【应用】a，b，c是的三条边的长，试判断式子的值能否大于0？并说明理由； (3)【拓展】a，b，c是的三条边的长，若，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①，② (2)不可能大于，理由见解析 (3)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查利用公式法分组进行因式分解，因式分解的应用，三角形的三边关系，平方差公式，完全平方公式，判断三角形的形状； （1）根据材料的方法因式分解即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式，将目标公式因式分解，再根据三角形三边关系即可解答； （3）先将目标公式因式分解，再结合非负性即可解答． 【详解】（1）解：① ② （2）解：不可能大于，理由： ， ， 不可能大于； （3）解：为等边三角形，理由如下： ，， ，， ，， 为等边三角形 31．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是　　 （填序号）； 与；与；与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，用表示代数式的最简形式　　 ． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式运算的应用，完全平方公式，理解新定义是解题的关键． （）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （）由，然后根据与互为“对消多项式”，所以，，解得，，再代入求值即可； （）由，然后根据与互为“对消多项式”且对消值为，所以，，则，又，，得，再由，再把代入即可求解． 【详解】（1）解：，和不是常数，不符合题意； ，和是常数，符合题意； ，和是常数，符合题意； 故答案为：； （2）解：由， ∴ ， ∵与互为“对消多项式”， ∴，， 解得，， ∴对消值； （3）解：由， ∵与互为“对消多项式”， ∴ ， ∵与互为“对消多项式”且对消值为， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， 由得， ∴， 由 ， ∴原式 由代入， ∴原式 ． 32．在数学活动课上，老师带领大家探究了一种特殊的因式分解方法－－分组分解法．当遇到一些多项式既无法直接提取公因式，也不能直接套用平方差公式或完全平方公式时，我们可以尝试将多项式中的项进行合理分组，使每组出现相同的因式或符合公式的结构，从而完成分解．如①和②： ①． ②．请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)因式分解：． (2)若，求的值． (3)两个不相等的实数满足．若，，求和k的值． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公式是解题关键．（1）先分组得，再提取公因式法进行因式分解； （2）先分组得，再根据完全平方公式进行因式分解得到，利用非负数的性质求得，据此计算即可求解； （3）由已知，两式相减得到，左边分解后可得到，再由已知，两式相加结合即可求得的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，， 两式相减得， ∴，即， 因式分解得， ∵， ∴即， ∵，， 两式相加得，即， ∵，， ∴， ∴． 33．阅读材料1：对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”． 例如： 阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分别在组内进行因式分解，再提取组间公因式，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分组分解法”． 例如： 根据上述两个材料，按要求完成下列问题： (1)用“配方法”分解因式： (2)用“分组分解法”分解因式： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法与分组分解法，因式分解； （1）根据配方法因式分解，即可求解； （2）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 34．我们已经学习了用提公因式法、公式法等分解因式的方法，但有时多项式不能直接用上述的方法进行分解．某数学学习小组对分解因式的方法进行了如下探究． 【观察】分解因式：． 解法一：原式． 解法二：原式． 小结：对项数较多的多项式无法直接分解因式时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止）． 【类比】（1）分解因式：． 【挑战】（2）分解因式：． 【应用】（3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了因式分解，三角形三边关系，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分组，再进行因式分解，即可作答． （2）先进行分组，再进行因式分解，即可作答． （3）根据完全平方公式进行变形，得，再求出，．又因为的三边长a，b，c都是正整数，则运用三边关系求出，最后根据周长公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵的三边长a，b，c都是正整数， ∴， ∴ ∴， ∴的周长是． 重难点六、十字相乘法的应用 十字相乘法适用于二次三项式。基本步骤：将二次项系数分解成，常数项分解成，交叉相乘再相加得到，若等于一次项系数，则分解为。当时，直接找两个数乘积为、和为。注意符号规律：常数项为正时，两数同号；常数项为负时，两数异号。对于二元二次形式（如），将看作常数处理即可。 35．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的综合运用，涉及十字相乘法分解因式．先将看作一个整体，把原式转化为关于该整体的二次三项式，用十字相乘法分解；再对分解后得到的因式中可继续分解的部分，再次用十字相乘法分解，直至所有因式在有理数范围内均不能再分解． 【详解】解：原式， ． 36．阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键． （1）仿照题意找到两个数的和为负1，积为负12即可得到答案； （2）可分解为，其中，，根据题意可推出a、b都为整数，再把分解成两个整数的乘积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得，可分解为，其中，， ∵m为整数， ∴为整数， 又∵， ∴a、b都为整数， ∵， ∴或或或或或 ∴的可能值为，，． 37．阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 【答案】（1）；（2）；（3），画图见解析 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键； 任务一：（1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意得一次项系数为：2，二次项系数是1，常数项，一次项系数，再利用十字相乘法分解因式即可； 任务二：（3）根据提示方法求解即可． 【详解】解：任务一：（1） ； （2） ； 任务二：（3） ，二次项系数是1，常数项，一次项系数， ∴， 如图 故答案为：． 38．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：_____； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面式子分解因式： （2） 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：．反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试对下面的式子进行分解因式： ①_____； ②若、均为整数，且、满足，则_____． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②7或3． 【分析】本题考查阅读理解，因式分解，读懂题意，理解材料中因式分解的方法是解题的关键． （1）根据“十字相乘法”进行因式分解即可； （2）先把看成整体，运用“十字相乘法”进行因式分解，再运用完全平方公式和“十字相乘法”进行因式分解． （3）①将式子分为，两组进行因式分解即可； ②将式子化为，根据、均为整数，求解即可． 【详解】解：（1）如图， ． 故答案为：． （2）如图， ，． （3）① ． 故答案为：． ②∵， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴或或或， ∴或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ∴当时，， 当时，． 综上所述，或3． 故答案为：7或3． 39．阅读材料： 分解因式． 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为，进一步化简得到．先对代数式进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到． 以上对代数式进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”． 将代回原式得，进一步因式分解，得到． 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键． （1）模仿示例方法直接利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）模仿示例，利用换元法逐步进行因式分解即可． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式， （2）解：设，则原代数式化为， 对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解得到 所以，． 40．材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）材料的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式 41．综合实践 活动目的 探究因式分解的其他方法 材料1 在因式分解中有一类形如二次三项式的因式分解的方法叫作“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，如图所示，则． 材料2 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是“换元法”． 例如：因式分解：． 解：设， 则原式． 学习上述材料内容，合作交流完成下列任务 任务1 （1）因式分解： ①； ②． 任务2 （2）①因式分解：； ②求证：多项式的值一定是非负数． 【答案】（1）①；②；（2）①；②见解析 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据十字相乘法可进行求解①②； （2）①仿照题中所给方法可进行分解因式； ②原式可变形为，然后仿照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：（1）①； ②； （2）①， 设， 原式 ； ②证明： ， 令， 原式 ； 故的值一定为非负数． 42．阅读与理解 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现八年级上册教材133页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即，，则口算就可以得到，或，，然后再将p与q的值代入式子中即可得到．” (1)按照以上方法，若，那么二次三项式应如何分解呢？ ________； (2)请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：； (3)在松松，南南的共同努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，为了锻炼大家的思维，老师准备了一道拓展思考题：若可分解为两个一次因式，且m为整数，求m的所有可能值．请你帮他们一起完成这个题吧． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（）根据题意中十字相乘的方法即可求解； （）先提“” ，再用十字相乘的方法即可求解； （）根据十字相乘的方法把分成两个整数的积，再求这两个整数的和即可； 此题考查了利用十字相乘法因式分解，解题的关键是正确理解和掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】（1）解：二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后将与的值代入式子中即可得到， 故答案为： （2）解： ， ； （3）解：∵， ，，，，，， ∴可能为：，，． 1 / 29 试卷第60页，共61页 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题01 因式分解及其应用 重难点一、利用因式分解进行简便计算 简便计算的核心是构造公因式或套用公式。对于数字计算，先观察各项是否有公共因数，提取后往往能凑整（如提取3.14、17等）。对于平方差形式（如），直接套用变成，口算即得。对于完全平方式，写成简化运算。解题关键在于识别数字特征，将算式变形为乘积形式，避免直接乘除带来的繁琐计算。 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．利用因式分解计算：． 3．计算： (1)__________；__________；__________． (2)①；    ②． 4．运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 5．利用因式分解计算： (1)； (2)． 6．利用分解因式计算：． 重难点二、综合运用提公因式和公式法进行因式分解 遵循“一提二套三检查”的步骤。首先观察各项系数与字母，提取公因式（包括负号），确保公因式提尽。然后看剩余部分有几项：两项考虑平方差，三项考虑完全平方公式或十字相乘。分解时必须分解到每个因式不能再分为止。注意公式的变形，如，但平方差中与互为相反数，提取公因式时要处理好符号。 7．分解因式： (1)； (2)． 8．因式分解： (1) (2) (3)（用十字相乘法）． 9．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． 10．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． 重难点三、用因式分解解决数字问题 此类题常涉及整除、质数、倍数等概念。基本思路是将代数式表示的数问题转化为因式乘积形式。如证明一个三位数能被某数整除，可将该数按位展开（如），再提取公因式。对于两个连续偶数平方差能被8整除等问题，先设未知数表示数，然后作差并因式分解，观察因式中是否含有8的因子。关键是将文字语言转化为代数式，利用因式分解揭示数的结构特征，从而证明整除性或判断质数。 11．已知实数满足为自然数，则的最小值是（    ） A．11 B．12 C．13 D．16 12．如果，其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如：，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若，则的值为 ． 13．定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（    ） A．17是和谐数 B．（，是整数）不一定是和谐数 C．如果，都是和谐数（），则也是“和谐数” D．当时，（，是整数）是“和谐数” 14．一个四位自然数各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位和百位数字后得到的两位数，则称此数为“美好数”．例如：四位数2436，因为，所以2436是“美好数”：又如：四位数3572，因为，所以3572不是“美好数”．按照这个规定，最小的“美好数”是 ． 已知“美好数”，记，．当为整数，为完全平方数时，满足条件的“美好数”为 ． 15．阅读材料，回答问题． 材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若是P的因式，则当时，． 这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 材料二：用表示三次多项式，即，例如：当时，． 已知，求下列问题： (1)求中的a和b的值； (2)若，利用因式定理，求此时x的值； (3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数m，使得能写成某些正整数的平方．例如：当和时，，，存在常数，使得，．求当和时，满足结论的正整数m的值． 16．定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“巧数”．例如：，所以8是“巧数”；再如：（x是整数），所以M也是“巧数”． (1)20_______“巧数”（填“是”或“不是”）．若是，请将其写成两整数平方差形式；若不是，请说明理由； (2)求证：当（x为整数）时，M是“巧数”； (3)已知：（k为常数），且N是关于任意整数x，y的“巧数”，求k值． 17．定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”． (1)若，求的“和积数”； (2)若，求的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，求（用含的式子表示），并计算的最小值． 18．小天和小河在学完数学活动《月历中的奥秘》后，又发现了日历上某些数满足一定的规律，图1是2026年1月份的月历，如果用图2所示的折型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），先将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，然后将得到的积相减，例如：，，发现这两个算式计算结果相等．设折型框架中位置C上的数为x． (1)小天利用整式的运算对发现的规律给予证明．请你完成该规律的证明； (2)小河在研究中进一步发现：设位置A，B，C上的数的乘积为M，位置C，D，E上的数的乘积为N，令，求y与x的关系式． 重难点四、配方法的应用 配方法是通过加减项构造完全平方式。主要用于：1. 证明代数式恒正或恒负，配方成形式，根据平方非负性判断；2. 求最值，当平方项系数为0时取到极值；3. 分解二次三项式，如。配方的关键：二次项系数为1时，加一次项系数一半的平方；系数不为1时，先提取系数再配方。 19．【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 20．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． ； 又例如：求代数式的最小值． ， ，当即时，的最小值为， 即的最小值为． 根据阅读材料，利用“配方法”解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)多项式有最小值为1，求出k值； (3)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求出边长c的最大值． 21．定义∶把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．例如∶．教科书中这样写道∶“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如∶(1)分解因式∶，做法∶； (1)分解因式∶； (2)当x为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． (3)已知a、b、c是三边的长，且满足，求三边的长． 22．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．定义：若一个整数能表示成(、为整数)的形式，则称这个数为“圆梦数”． (1)判断是否为“圆梦数”，并说明理由； (2)若、均为“圆梦数”，其中为奇数，为偶数，证明：为“圆梦数”． 23．阅读下列材料，回答问题： 我们把形如 或 的式子叫做完全平方式，利用完全平方式可以进行很多数学变形． 例如：若 求a， b的值． 解：原式可变形为 即 解得． 根据上述材料，解决下列问题： (1)若 求x， y的值； (2)已知 的三边长a，b，c满足 判断 的形状，并说明理由； (3)求代数式 的最小值． 24．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． 25．阅读材料：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若， ①当，，满足条件：时，求的值； ②若三边长是，，，且为偶数，求的周长． 26．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式：． 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． 阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：①___________；②___________． (2)①求多项式的最大值；②若，试求的最小值． (3)①若，，，求的值；②已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 重难点五、分组分解法的应用 分组分解法适用于四项及以上的多项式，核心是通过合理分组创造公因式或套用公式。常用策略：1. 按系数比分组（如1:1分组），使每组提公因式后出现新的公因式；2. 按公式特征分组（如三项一组构成完全平方，与另一项构成平方差）。分组时需尝试不同组合，目标是各组分解后整体有公因式可提。注意：分组后要保证每组都能继续分解，且整体分解要彻底。常见类型：。 27．阅读材料：在多项式因式分解中，存在一些无法直接用提公因式法或公式分解法分解的多项式．分组因式分解法是指将这类多项式重新分组后，再通过提公因式法或公式法继续分解的方法例如： ． 利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若a，b，c是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 28．我们已经知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法．但某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） 乙： （先分成两组）． ． 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组分解法．请结合甲、乙两名同学分解因式的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)若，求的值． (3)已知为等腰三角形的三边长，且，求的周长． 29．请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 30．【综合应用】材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等． 如“”分法： 再如“”分法： 请根据上述材料的启发解决下列问题： (1)【理解】分解因式： ①； ②； (2)【应用】a，b，c是的三条边的长，试判断式子的值能否大于0？并说明理由； (3)【拓展】a，b，c是的三条边的长，若，请判断的形状并说明理由． 31．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是　　 （填序号）； 与；与；与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，用表示代数式的最简形式　　 ． 32．在数学活动课上，老师带领大家探究了一种特殊的因式分解方法－－分组分解法．当遇到一些多项式既无法直接提取公因式，也不能直接套用平方差公式或完全平方公式时，我们可以尝试将多项式中的项进行合理分组，使每组出现相同的因式或符合公式的结构，从而完成分解．如①和②： ①． ②．请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)因式分解：． (2)若，求的值． (3)两个不相等的实数满足．若，，求和k的值． 33．阅读材料1：对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”． 例如： 阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分别在组内进行因式分解，再提取组间公因式，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分组分解法”． 例如： 根据上述两个材料，按要求完成下列问题： (1)用“配方法”分解因式： (2)用“分组分解法”分解因式： 34．我们已经学习了用提公因式法、公式法等分解因式的方法，但有时多项式不能直接用上述的方法进行分解．某数学学习小组对分解因式的方法进行了如下探究． 【观察】分解因式：． 解法一：原式． 解法二：原式． 小结：对项数较多的多项式无法直接分解因式时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止）． 【类比】（1）分解因式：． 【挑战】（2）分解因式：． 【应用】（3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的周长． 重难点六、十字相乘法的应用 十字相乘法适用于二次三项式。基本步骤：将二次项系数分解成，常数项分解成，交叉相乘再相加得到，若等于一次项系数，则分解为。当时，直接找两个数乘积为、和为。注意符号规律：常数项为正时，两数同号；常数项为负时，两数异号。对于二元二次形式（如），将看作常数处理即可。 35．因式分解： 36．阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 37．阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 38．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：_____； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面式子分解因式： （2） 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：．反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试对下面的式子进行分解因式： ①_____； ②若、均为整数，且、满足，则_____． 39．阅读材料： 分解因式． 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为，进一步化简得到．先对代数式进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到． 以上对代数式进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”． 将代回原式得，进一步因式分解，得到． 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： (1)； (2)． 40．材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 41．综合实践 活动目的 探究因式分解的其他方法 材料1 在因式分解中有一类形如二次三项式的因式分解的方法叫作“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，如图所示，则． 材料2 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是“换元法”． 例如：因式分解：． 解：设， 则原式． 学习上述材料内容，合作交流完成下列任务 任务1 （1）因式分解： ①； ②． 任务2 （2）①因式分解：； ②求证：多项式的值一定是非负数． 42．阅读与理解 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现八年级上册教材133页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即，，则口算就可以得到，或，，然后再将p与q的值代入式子中即可得到．” (1)按照以上方法，若，那么二次三项式应如何分解呢？ ________； (2)请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：； (3)在松松，南南的共同努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，为了锻炼大家的思维，老师准备了一道拓展思考题：若可分解为两个一次因式，且m为整数，求m的所有可能值．请你帮他们一起完成这个题吧． 1 / 29 试卷第60页，共61页 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $