第4章 因式分解 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第四章综合评价 （时间：120分钟满分：120分) 12 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 A.(x+2y)2=x2+4xy+4y2 新 B.x2-4y2=(.x-2y)(x+2y) C.a2-3ab+a-a(3a-b) D.x2-4x-1=x(x-4)-1 2.多项式8a3b+12ab3c的公因式是 ( ) A.abc B.4ab2 C.ab2 D.4ab2c 3.对多项式(a+b)(a一b)十(a一b)提取公因式(a一b)后，剩下的 一个因式为 ( A.a+6+1 B.2a C.2 D.a+b 4.下列因式分解正确的是 A.x2+y2=(x+y)(x-y) B.x2+4x+4=x(x+4)+4 C.(x+1)(x-2)=x2-x-2 D.2x+4=2(x+2) 封 5.下列各式能用完全平方公式分解因式的是 A.x2+2xy-y2 B.z2+xy+y C.-x2+2xy+y2 D女-叶y 6.如果(x+4)(x一3)是x2一mx-12的因式，那么m的值是 A.7 B.-7 C.1 D.-1 7.若a十b=3,a-b=7,则b-a2的值为 A.-21 B.21 C.-10 D.10 数8.如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算 出长方形的面积。通过分析图形中所标线段的长度，将多项式 m2十3mn十2n因式分解，其结果正确的是 A.（m+2n)2 B.(m+2n)(m+n) C.(2m+n)(m+n) D.(m+2n)(m-n) 第1页（共6页） 9.若a为实数，则整数a2(a2一1)一a2十1的值 A.不是负数 B.恒为正数 C.恒为负数 D.不等于0 10.取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密 码，方便记忆，原理是：如对于多项式x一y,因式分解的结果 是(x-y)(x十y)(x2十y2),当x=9,y=9时，各个因式的值 是x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162” 作为六位数的密码。对于多项式4x3一xy2,取x=10,y=10 时，用上述方法产生的密码可以是 ( A.101030 B.010103 C.100130 D.301001 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.因式分解：2a(y-z)-3b(之-y)= 12.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式x2一ay (“a”表示漏抄的部分)中y前的式子。若该二项式能因式分 解，则a的值可以是 。(只填一个即可) 13.如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道， 它的内径d=0.45m,外径D=0.75m,长l=3m,利用因式 分解计算制作一节这样的管道大约需要 m3的混凝 土。（结果保留π） 14.若关于x的二次三项式x2十(m十1)x十16可以用完全平方 公式进行因式分解，则m的值为 15.已知a+2b=1,则代数式a2-4b+4b+2025的值为 三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤) 16.(10分)(1)因式分解：3ab3-30a2b+75a3b; 第2页（共6页） (2)利用因式分解计算：7.6×200.1+4.3×200.1一1.9× 200.1。 17.(9分)给出三个多项式：2x2+4x-1,2x2+8x十1,2x2-4x。 请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式 分解。 18.(9分)先化简，再求值：(x-5y)(-x-5y)-(-x+5y)2,其 中x=7y=-1。 第3页（共6页） 19.(9分)小华同学分解因式9a(x一y)十4b(y一x)的过程如下， 请认真阅读，并解答下列问题。 解：原式=9a2(x-y)+4b(x-y)① =(x-y)(9a2+4b2)② =(x-y)(3a+2b)2③。 (1)以上解答过程从第 步开始出现错误；（填序号） (2)请你写出正确的解答过程。 20.(9分)如图，在一个边长为a的正方形木板上，挖掉四个边长 为b的小正方形，计算当a=18dm,b=6dm时，剩余部分的 面积。 第4页（共6页）》 21.(9分)在分解因式x2十ax十b时，甲看错了a的值，分解的结 果是(x+1)(x十9)；乙看错了b的值，分解的结果是（x一 2)(x一4)，求x2十ax十b分解因式的正确结果。 22.（10分)【阅读材料】 因式分解：(x十y)2+2(x+y)+1。 解：将“x十y”看成整体，令x十y=A,则原式=A+2A十1= (A十1)2。再将“A”还原，可以得到：原式=(x十y十1)2。 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用 的一种思想方法。 【问题解决】 (1)因式分解：1+6(x-y)+9(x-y)2; (2)因式分解：(a2-4a+1)(a2-4a+7)+9。 第5页（共6页）》 23.(10分)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将2a十3ab-4-6b因式分解。 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式=(2a-4)+(3ab-6b)=2(a-2)+3b(a-2)= (a-2)(2+3b)。 【类比】 (1)请用以上方法将x2一a十x十a因式分解； 【挑战】 (2)请用以上方法将b2一a2十c2-2bc因式分解； 【应用】 (3)已知△ABC的三边长a,b,c满足条件：a-b+bc2一 ac2=0,判断△ABC的形状，并说明理由。 第6页（共6页）务1：设该商店在无促销活动时，A款盲盒的销售单价是x元，B款盲盒的销售单价是y 元，根据题意，得〉0解和0答：该南店在无能销济动时，A款百 盒的销售单价是10元，B款盲盒的销售单价是8元。任务2：(1.6m十291)(1.8m十 288)任务3：根据题意，得1.6m十291<1.8m十288，解得m>15。又：0<m<40, ,15<<40。答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更 合算。23.解：(1)90°AF=号DE(2)由旋转的性质，得AB=AD=AE=BC= DE,∠CAE=30°，∠BAC=∠ABC=60°。∴.∠BAE=∠BAC+∠CAE=90° .△ABE是等腰直角三角形。.∠ABE=45°。，.∠EBC=∠ABC-∠ABE=15°。 F是BE的中点，-∠AFB=90°。△AFB是等腰直角三角形。易得AF=号AB。 :AB=DE,AF=号DE。(3)AF的长为1或。【解析】分两种情况讨论：①如答 图①，当点E在BC上方时，AB=AC=2,∠BAC=90°，∴.∠ABC=45°。∠EBC= 15°，·∠ABF=∠ABC-∠EBC=30°。由旋转的性质，得AB=AC=AE。:F是BE 的中点∴∠AFB=90。∴AF=号AB=1。②如答图@，当点E在BC下方时，同理 可得∠ABF=60,∠AFB=90,BF=号AB=1。AF=VAB-BF=5。综上 所述，AF的长为1或W3: 答图① 答图② 第四章综合评价 1.B2.B3.A4.D5.D6.D7.A8.B9.A10.A11.(y-x)(2a+3b) 12.1(答案不唯一)13.0.27π14.7或-915.202616.解：(1)原式=3ab(b 10ab+25a2)=3ab(b-5a)2。(2)原式=200.1×(7.6+4.3-1.9)=200.1×10= 2001.17.解：情况一：2x2+4x-1十2x2-4x=4x2-1=(2x-1)(2x+1)。情况二： 2x2十4x-1十2x2+8x十1=4x2+12x=4x(x十3)。情况三：2x2十8x十1十2x2-4x= 4x2十4x+1=(2x十1)2.18.解：原式=(x-5y)(-x-5y)一(x-5y)2=(x 5)(-1-5y-+5)=-2x(红-5).当x=合y=-1时，原式=-2×合×[号 -5×(-1D]=-号 19.解：(1)①(2)原式=9a(x-y)-4b2(x-y)=(x- y)(9a2-4b)=(x-y)(3a十2b)(3a-2b)。20.解：剩余部分的面积为a2-4b2= (a+2b)(a-2b)。当a=18dm,b=6dm时，原式=(18+2×6)×(18-2×6)=30×6= 180(dm2)。即剩余部分的面积为180dm2.21.解：.甲看错了a的值，分解的结果 是(x十1)(x+9)=x2十10x十9，.b=9。乙看错了b的值，分解的结果是(x 2)(x-4)=x2-6x十8，a=-6。.这个多项式是x2-6x十9。.x2-6x十9=(x 3)。22.解：(1)令x-y=A,原式=1十6A十9A=(1十3A)2。将“A”还原，可以得 到：原式=(1十3x-3y)。(2)令a2-4a=B,则原式=(B十1)(B十7)十9=B2+8B十 16=(B十4)。将“B”还原，可以得到：原式=(a2-4a十4)=(a-2)。23.解：(1)原 式=(x2-a)十(x十a)=(x十a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1)。(2)原式=( -2bc十c2)一a2=(b一c)2一a2=(b一c十a)(b一c一a)。(3)△ABC是等腰三角形或者 直角三角形。理由如下：a-b+62c2-ac2=(a4-6)十(bc2-a2c2)=(a2+b2)(a -b2)-c2(a2-)=(a2-)(a2+b2-c2)=(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0,.a,b,c 是△ABC的三边长，.a>0,b>0,c>0。.a十b>0。.a-b=0,或a2十b-c2=0。 当a-b=0时，a=b。此时△ABC是等腰三角形。当a2十62-2=0时，a2十b=c2。 此时△ABC是直角三角形。综上所述，△ABC是等腰三角形或者直角三角形。 第五章综合评价 1.D2.C3B4.B5.C6D7.A8B9B10.D1.12.413.号 1441区-：16解：1)原式=（号）· ,2m-4=(m+3)(m-3) n-2 m-2=-2(m十3)==2m-6。(2)原式无·9站·c2=6ab。”ab=2, -(m-3) =6×2=12.17.(1)解：因为分式中分母不能为零，所以x≠1。方程的两边都乘 3(x-1),得3x一3(x-1)=2x。解这个方程，得x=号。经检验，x=号是原方程的 根。(2)解：因为分式中分母不能为零，所以x≠0，土1。方程的两边都乘x(x十1)(x一 1),得7(x一1)十3(x十1)=6x,解这个方程，得x=1。经检验，x=1是原方程的增根， 所以，原方程无解。 18.解：原式=a-1)(a+卫). a ay-告.当a=+1 第31页（共48页） 时，原式=+1十1-1十2.19.解：设模型A每小时能处理xGB数据，则模型B √/2+1-1 每小时能处理(x十10)GB数据。根据题意，得300=200，解得x=20。经检验，x= x+10 20是所列方程的根。.x十10=20十10=30。答：模型A每小时能处理20GB数据， 费型B每小时能处理0GB数据。20解：1)二（②）原式=（号号） x-3 (x十2)(x-2) =2红=5-x+2.z+2)(x-2=-3.+2)g2=x+2。 x-2 x-3 x-2 x-3 x-2≠0，x-3≠0，x十2≠0，x≠士2,3，∴当x=4时，原式=4十2=6。（或当x= 5时，原式=5十2=7。)21.解：(1)方程的两边都乘x一2，得2x一3=3(x一2)，解得x =3,经检验，x=3是原方程的根。(2)设“9”为m,则分式方程为2二2十”2=3。方 程的两边都乘x一2，得2x十m=3(x-2),整理，得x=m十6。由于原分式方程无解， ∴.原分式方程有增根，即x=2。∴.把x=2代入，得2=十6，解得=一4。∴.原分式 方程中“？”代表的数是一4.22.解：(1)320-80-5每枝A种花卉的价格为a元 2x (2)根据题意，得-=g”n,解得m=7。经检验，m=7是所列方程的根。所以m=7。 等m9-m1 28解，是.A+B=+-+6+费 22=2,A与B互为“和整分式”，“和整数值”k=2。(2)@C十D=2月 x-2 (3x-4)(x十2) 已2)x2+228。C与D互为"和整分 式”，且“和整数值”k=3,.3x+2x-8十 (x+2)(x-2) =3,即3x2+2x-8+P=3(x十2)(x一2)。 .P=3(x十2)(x一2)-(3x2十2x-8)=-2x-4。②由(1)知P=-2x-4,.D= -2x-4 -2(x+2) 2 一4(x+2)(x-②=(x+2)(x②)=一x二2。廿分式D的值为正整数，且x为 正整数，.x一2=一1。解得x=1。.正整数x的值为1。 第六章综合评价 1.B2.B3.A4.C5.C6.B7.B8.D9.B10.A11.AD=BC(答案不唯一) 12.4√213.1314.415.√216.(1)解：∠C=90°，AB=17,AC=15,∴.BC= √AB-AC=8。,D,E分别是AB,AC的中点，.DE是△ABC的中位线。.DE BC之×8三4。(2)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AD》 BC。.∠DAF=∠BCE。.BE⊥AC,DF⊥AC,.∠BEC=∠DFA=90°。在△BCE ∠BCE=∠DAF, 和△DAF中，J∠BEC=∠DFA,.△BCE≌△DAF(AAS)。,.BE=DF。17.解： BC=DA, .四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC。.∠DAE=∠F,∠D=∠ECF。.E是 ∠DAE=∠F, CD的中点，∴.ED=EC。在△ADE和△FCE中，∠D=∠ECF,∴.△ADE≌△FCE ED=EC, (AAS)。.AD=CF=3,DE=CE=2。.DC=DE+CE=2+2=4。□ABCD的周 长为2(AD十DC)=2×(3+4)=14.18.证明：，D,E分别是AB,AC的中点，.DE 是△ABC的中位线。∴.DE∥BC,DE=号BC。·∠DEO=∠FCO。CF=号BC, ∴.DE=CF。∠DOE=∠FOC,∴.△DOE≌△FOC(AAS)。∴.OC=OE。19.证明： .'AO=CO,OE=OF,∠AOE=∠COF,.△AOE≌△COF(SAS)。.∠OAE= ∠OCF。.AD∥BC。∠EDO=∠FBO。又：OE=OF,∠EOD=∠FOB,∴.△EOD ≌△FOB(AAS)。.OB=OD。OA=OC,∴.四边形ABCD是平行四边形。 20.(1)证明：答案不唯一，如选②。.AE=BE,AE=CD,.BE=CD。.AB∥CD,. 四边形BCDE为平行四边形。(2)解：由(1)可知，四边形BCDE为平行四边形，.DE =BC=10。AD⊥AB,.∠A=90°。.AE=/DE-AD=√/102-82=6。即线段 AE的长为6.2L.(1)证明：AD∥BC,CE=AD,∴.四边形ACED是平行四边形。 ∴.AC=DE。:四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=∠DCB。又：BC=CB,△ABC≌ △DCB(SAS),.AC=BD。.BD=DE。(2)解：AD∥BC,CE=AD,∴.SABD= S△eE。.S格形ABCD=S△ABD十SACBD=S△CBD十SAE=SADBE=16。·AC⊥BD,AC∥ DE,∴BD⊥DE。·△BDE是等腰直角三角形。·号BD=16。BD=4E。 22.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC,AD∥BC。.BF=BE,CG= CE,BC是△EFG的中位线。·BC∥FG,BC=FG。·AD∥FH。:H为FG的 中点，FH=合FG,“BC=FH。AD=FH。四边形AFHD是平行四边形。 第32页（共48页） (2)解：，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=∠BAE=70°。∠DCE=20°，∴ ∠BCE=∠BCD-∠DCE=70°-20=50。CB=CE,∠CBE=∠CEB=2(180 -∠BCE)=号×(180-50)=65.23.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD,∠B=∠ADC。由折叠的性质，得∠B=∠ABE,∴∠AB'E= ∠ADC。B'E∥CD。∴.AB∥BE。又：AB∥BE,∴.四边形ABEB是平行四边形。 (2)解：过点D作DH⊥BC,交BC的延长线于点H。:AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB。 由折叠的性质，得∠AED=∠AEB,BE=B'E。,.∠DAE=∠AED。.DE=AD=BC =9。.B'D=DE-B'E=BC-BE=CE。AB∥CD,∠B=60°，.∠DCH=∠B= 60。∠CDH=90°-∠DCH=30。CH=号CD=号AB=3。DH= √CD-CF=33。.EH=√DE-Df=3√6。∴B'D=CE=EH-CH=3√6-3。 期末综合评价 1.B2.D3.C4.D5.C6.B7.D8.A9.A10.D11.(2,-2)12.59 2 13.x<114.m与15.8+45或1616.解：1)原式=4(x-2xy+广)=4(x y)。(2)解不等式①，得x5。解不等式②，得x>2。因此，原不等式组的解集为2 x5。 (x+3)·-3千3易得x≠±3， 17.解：原式三+3)。6=·=1 x十3 1 六x可取-4，一2，-1,0,1,2。当x=2时，原式=2十3=方。（答案不唯一，任选一个 即可)18.证明：(1)：∠B=40°，∠ADC=80°，∴.∠BAD=∠ADC-∠B=40°。 ∴∠B=∠BAD。∴AD=BD。(2):∠B=40°，∠BAC=70°，.∠C=180°-∠B- ∠BAC=70°。∴∠C=∠BAC。∴.△ABC是等腰三角形。19.解：(1)如图，△ABC即 为所求，点B的坐标为（一3，一5）。 (2)如图，△A2B2C2即为所 求，点B2的坐标为(5，一1)。20.解：(1)四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC, AD∥BC。.∠DAM=∠BCN。:DM⊥AC,BN⊥AC,∴.∠AMD=∠CNB=90° .△DAM≌△BCV(AAS)。∴.CN=AM=3。(2),四边形ABCD是平行四边形， .∠ABC=∠CDA=130°。.∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=30°。∴.∠CBN=90 一∠ACB=60°。21.解：(1)设每台A型电机的进价是x元，则每台B型电机的进价 是+40)元。根据题意，得000-000，解得=200。经检验，=200是原 方程的根，且符合题意。.x十400=2000十400=2400（元）。答：每台A型电机的进 价是2000元，每台B型电机的进价是2400元。(2)设购进a台A型电机。根据题 意，得2000a十2400(30-a)≤70000，解得a≥5。答：至少需要购进5台A型电机。 22.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.CD ZAB,AD &BC。.∠AED= ∠CDE,∠CFB=∠ABF。DE,BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，∴.∠ADE= ∠CDE,∠CBF=∠ABF。.∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF。..AE=AD,CF= CB。:AD=BC,AE=CF。AB-AE=CD-CF,即BE=DF。又：DF∥BE, 四边形DEBF是平行四边形。BD,EF互相平分。(2)解：过点D作DG⊥AB于 点G,∴.∠AGD=90°。∠A=60°，AE=AD,.△ADE是等边三角形。∴.DE=AE =AD=4。·AG=号AD=令X4=2。“AE=2EB,BE=2。六四边形DEBF的 周长为2(DE十BE)=2×(4十2)=12。在Rt△ADG中，由勾股定理，得DG= √AD-AG=√4-2=2√3，∴.四边形DEBF的面积为BE·DG=2X2√3=4√3。 23.解：(1)P'BPB(2)2PA2十PB=PC。证明如下：如答图①， 将△APC绕点A逆时针旋转90°，得到△APB,连接PP',∴∠PAP =90°，PA=PA,则△APP为等腰直角三角形。∠APP'=45°，PP1 =√PA2+PA=√2PA,PC=PB。∠APB=135°，∴∠BPP'= 135°-45°=90°。.PP2+BP2=PB2。.2PA2+PB2=PC。 答图① (3)k=√3。[解析：如答图②，将△APC绕A点顺时针旋转120°得到 △APB,连接PP,过点A作AH⊥PP于点H,∠PAP'=120°， PA=AP',PC=P'B。∠APP'=2X180°-120)=30°。AH PA.HP-AP-APA.PP'-2HP-5PA. 答图② ∠APB=60°，.∠BPP'=90°。在Rt△PBP'中，P'P2+PB=P'B,.(3PA)2+ PB=PC。:(kPA)2+PB=PC,∴k=±√3。k>0,∴k=3] 第33页（共48页）