第4章因式分解暑假自主巩固提升训练题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以“概念辨析-方法应用-综合拓展”为主线，系统整合因式分解基础方法与高阶技巧，渗透整体思想、配方法及数形结合，强化知识逻辑与核心素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1题|因式分解定义判断|从整式乘法逆向思维建立概念认知| |基本方法|5题（选择2-3、填空8-10）|提公因式法、公式法|从单一方法到多法综合，强化分解彻底性| |综合方法|6题（解答17-19）|分组分解法、整体思想、配方法|通过代数变形培养推理意识与运算能力| |实际应用|4题（选择7、填空14、解答20）|面积模型、整除问题|以几何直观与模型意识链接代数与现实|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》 假期自主巩固提升训练题（附答案） 一、单选题 1．下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 3．能被下列数整除的是（   ） A．5 B．8 C．10 D．11 4．已知a，b，c均为正数，且满足，则下列关系式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 7．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．因式分解：=___． 9．若能用完全平方公式因式分解，则k的值为__________． 10．计算______． 11．已知，，则代数式________． 12．已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 13．计算：__________． 14．如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b．若阴影部分的面积为48，，则的值为______． 三、解答题 15．因式分解： (1) (2) 16．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 17．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 18．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 19．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：①______；②______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，，求第三边的取值范围． 20．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要2号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是________． (4)请你依照该同学的方法，画出拼图并利用拼图将分解因式． 参考答案 1．D 【详解】解：A选项右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； B选项右边未化为几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； C选项是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； D选项将多项式化为两个整式的乘积，变形正确，符合因式分解定义. 2．B 【详解】解：∵， ∴． 3．B 【分析】根据提公因式法对原式因式分解，根据化简结果判断能被哪个数整除． 【详解】解：对原式变形提取公因式， ∵，是8的整数倍， ∴原式能被8整除． 4．A 【分析】通过对等式移项分解因式，结合a，b，c为正数的条件，推导出正确结论． 【详解】解：将已知等式移项整理得：， 利用平方差公式分解前两项，提取后两项公因式得：， 提取公因式得：， ∵，，均为正数， ∴， ∴， 即， 因此一定正确的关系式是． 5．D 【分析】本题采用作差法比较大小，对作差的算式利用完全平方公式化简，再根据平方数的非负性即可判断与的大小关系． 【详解】解： ∵任何实数的平方都满足， ∴ ， 即． 6．A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 7．D 【分析】根据，再根据长方形一边长为，得出另外一条边长即可． 【详解】解： ， ∵长方形一边长为， ∴长方形的另外一条边长为． 8． 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，直至分解彻底. 【详解】解：原式. 9．5或/或5 【详解】解： 能用完全平方公式因式分解， 根据完全平方公式的结构特征可得： ， 即或 ， 解得：或 ∴k的值为5或． 10． 【详解】解： ． 11． 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知，代入计算即可． 【详解】解： 将，代入得，原式 ． 12． 【详解】解：原式， ，，， ∴． 13． 【分析】利用平方差公式将每个因式分解，分解后式子可通过约分简化计算，最终得到结果． 【详解】解： 14．8 【分析】根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为， ， ， ， ， ， ， ． 15．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．(1) (2)4 (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．(1) (2)等腰三角形 【分析】（）应用分组分解法，把分解因式即可． （）首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出的形状即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， 或， 或， 是等腰三角形． 18．(1) (2) 【分析】（1）令，再根据完全平方公式解答即可； （2）令，再根据整式乘法法则整理，然后根据完全平方公式解答． 【详解】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到：； （2）解：令， 则 ； 将“B”还原，可以得到： ． 19．(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解； ②在一次项后加上​，再减去，得到完全平方式后用平方差公式分解； （2）先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值；（3）先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解： ， ，， 当，有最大值； （3）解： ， ， ， 即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 20．(1) (2)4张，5张 (3) (4)图见解析， 【分析】（1）等积法作答即可； （2）求出多项式乘以多项式的积，即可得出结果； （3）等积法作答即可； （4）按要求画图后，即可得出结果. 【详解】（1）解：由题意，这个乘法公式是； （2）解：， 故需要2号卡片4张，3号卡片5张； （3）解：由图可知，； （4）解：由题意，画图如下： 由图可知：. 学科网（北京）股份有限公司 $