第二十五章《一元二次方程》单元测试 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 2026年新人教版九年级上册《一元二次方程》单元卷，90分钟100分，覆盖定义、解法、应用等核心知识，融合数学文化与现实情境，适配单元复习，发展抽象能力、模型意识与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|一元二次方程定义、配方、根的判别式|赵爽几何解法题体现文化传承，世界杯小组赛情境培养应用意识| |填空题|5题|方程的解、根与系数关系、增长率|新能源汽车销量问题发展数据意识| |解答题|8题|解方程、几何动点、利润问题|“对称方程”新定义考查推理能力，月历与利润问题强化模型意识|

2026年新人教版九年级上册数学第二十五章《一元二次方程》单元测试 阶段评估检测试卷 考试时间：90分钟；满分：100 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B．4x+8=0 C． D． 2．一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 3．若2是方程的一个根，则c的值是（  ） A．6 B． C． D． 4．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 6．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 7．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 8．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 9．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 11．若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 12．已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 13．已知是方程的一个根，则__________． 14．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________． 15．据统计2025年新能源汽车销量逐月增加，8月至10月由万辆增加到万辆，设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为．则可列方程为___________． 三、解答题 16．（6分）解方程：(1) (2) 17．（7分）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 18．（7分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 19．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)每轮传播中平均一人传染几个人？ (2)经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 20．如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 21．定义：如果关于x的方程（，，，是常数）与（，，，是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： (1)直接写出方程的“对称方程”：________； (2)已知关于x的方程与互为“对称方程”． ①________，_______； ②求方程的解． 22．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 23．某科技园区内一家企业为迎合市场需求，推出了具有独特交互功能的智能摆件．请根据以下素材，探究完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 素材3 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时 问题解决 任务 求智能摆件的销售价． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年新人教版九年级上册数学第二十五章《一元二次方程》单元测试 整体难度：容易 考试范围：方程与不等式,数与式 试卷题型 题型 数量 单选题 10 填空题 5 解答题 8 试卷难度 难度 题数 容易 18 适中 5 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.85 一元二次方程的定义 2 0.85 解一元二次方程——配方法 3 0.85 由一元二次方程的解求参数 4 0.85 一元二次方程的根与系数的关系 5 0.85 根据判别式判断一元二次方程根的情况 6 0.95 化成一元二次方程的一般式 7 0.85 公式法解一元二次方程 8 0.65 一元二次方程的定义；根据一元二次方程根的情况求参数 9 0.79 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 10 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 二、填空题 11 0.85 由一元二次方程的解求参数 12 0.85 判断是否是一元二次方程的解；已知式子的值，求代数式的值 13 0.85 由一元二次方程的解求参数 14 0.65 根据一元二次方程根的情况求参数 15 0.85 增长率问题(一元二次方程的应用) 三、解答题 16 0.85 解一元二次方程——直接开平方法；因式分解法解一元二次方程 17 0.85 由一元二次方程的定义求参数 18 0.81 由一元二次方程的解求参数；因式分解法解一元二次方程；根据判别式判断一元二次方程根的情况 19 0.85 传播问题(一元二次方程的应用) 20 0.85 动态几何问题(一元二次方程的应用) 21 0.85 因式分解法解一元二次方程；化成一元二次方程的一般式 22 0.62 数字问题(一元二次方程的应用)；列代数式 23 0.85 营销问题(一元二次方程的应用) 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 方程与不等式 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23 2 数与式 12,22 难度分布 容易 适中 78.26 21.74 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年新人教版九年级上册数学第二十五章《一元二次方程》单元测试阶段评估检测试卷答题卡 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 选择题（请用2B铅笔填写） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 11题、 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、 20题、 21题、 22题、 23题、 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026年新人教版九年级上册数学第二十五章《一元二次方程》单元测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D A C D B B D A 1．A 【分析】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可； 【详解】解： ∵一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，②只含一个未知数，③未知数的最高次数为2. 选项A． 满足所有三个条件，是一元二次方程； 选项B． 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C． 未知数最高次数为3，不符合要求； 选项D． 中 是分式，该方程不是整式方程，不符合要求； 2．B 【详解】解：， ， ， ， ． 3．D 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程得， 解得． 4．A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 5．C 【分析】通过计算判别式并判断其符号即可确定方程根的情况即可 【详解】解：对于一元二次方程， 其中，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此方程无实数根 6．D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 7．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 8．B 【分析】先得出、方程根的判别式，再得出，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴，其根的判别式， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即，则选项B正确； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项A错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项C错误； 假设成立，则，解得，与矛盾，则假设不成立，选项D错误． 9．D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 10．A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 11． 【分析】将代入原方程即可求解的值． 【详解】解：是一元二次方程的解 整理得 解得 ． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 13．2022 【分析】把代入方程，求出，整体代入法求值即可. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴. 14． 【分析】已知方程为一元二次方程，且有两个不相等的实数根，根据根的判别式的意义，可得根的判别式大于0，据此建立关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得． 15． 【分析】根据平均增长率问题的数量关系，结合题干已知量列方程．本题中8月销量为初始量，经过两次增长后得到10月销量，代入平均增长率问题的数量关系即可得到方程． 【详解】解：设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为， 8月销量为万辆．则9月销量为：， 10月销量为：， 由题意得． 16．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：， ， 或， ，． 17． 【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键． 直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 18．(1)见解析 (2)； 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为. 19．(1)8个人 (2)会，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患流感的人数等于经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，根据题意得， ， 解得：（不符合题意，舍去）. 答：每轮传播中平均一人传染8个人； （2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：（人）， ∵， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用． （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据路程速度时间得： ，， 则； 故答案为：． （2）解：∵的面积等于四边形的面积的 ∴面积等于面积的 ∴ 即 解得． 答：当时，的面积等于四边形的面积的． 21．(1) (2)①，  ②， 【分析】本题考查了解一元二次方程，“对称方程”的定义，熟练掌握“对称方程”的定义是解此题的关键． （1）根据“对称方程”的定义即可得解； （2）①根据“对称方程”的定义即可得解；②将，代入，得，再解方程即可得解． 【详解】（1）解：方程的“对称方程”； （2）解：①由，移项可得． 由互为“对称方程”的定义可得，，， 解得，． ②将，代入，得， 解方程得，． 22．(1)； (2) 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 23．智能摆件的销售价为75元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 设智能摆件的销售价为元，然后利用（售价进价）销量利润，列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设智能摆件的销售价为元， 根据题意得： 解得：．当优惠力度最大时，． 答：智能摆件的销售价为75元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $