第25章 一元二次方程 单元测试卷1 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第25章一元二次方程单元卷，以黄梅戏艺术节、健康中国战略等真实情境为载体，覆盖全章核心知识，梯度设计适配单元复习，提升数学抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、配方法等，如第1题考定义|基础巩固，结合文化情境| |填空题|6/18|根与系数关系、增长率等，如第14题健康中国人次增长|能力提升，联系社会热点| |解答题|8/72|综合应用如24题制作收纳盒项目化学习|创新应用，体现数学建模与推理|

2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册 第25章 一元二次方程 单元测试卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 3．下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 6．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 7．中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 8．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 9．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 10．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．关于的一元二次方程的一个解为1，则________． 12．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 13．已知代数式的最小值是_________． 14．为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00—12：00）向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次．若进场人次的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率．设进场人次的周平均增长率x，依题意可列方程为__________________． 15．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 16．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程： (1)． (2) 18．（6分）已知关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 19．（8分）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得，      第一步， ，，，        第二步； ，      第三步；           第四步， 即，        第五步． (1)开始出现错误的步骤是第___________步； (2)请给出此题正确的解答过程． 20．（8分）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 21．（10分）已知不等边的三条边分别为，，． (1)若，求的值； (2)已知为边上一点，连接，若与的周长相等，求的长； (3)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求证：为直角三角形． 22．（10分）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 23．（12分）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 24．（12分）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）．    方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形．    方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形．    (1)任务一：用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为________，底面宽为________． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长的值 (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内．    答案解析 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A中方程含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义，所以A不符合题意； 选项B中方程整理为，只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程定义，所以B符合题意； 选项C中方程含，分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，所以C不符合题意； 选项D中方程展开化简得，即，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，所以D不符合题意． 2．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤将方程整理为的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ， 对比，可得，， 故选：D． 3．下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，，方程没有实数根，A不符合要求． 对选项B，，，方程没有实数根，B不符合要求． 对选项C，，，方程有两个相等的实数根，C不符合要求． 对选项D，，，方程有两个不相等的实数根，D符合要求． 4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的知识，先将一元二次方程整理为一般形式，一元二次方程的一般形式为 （），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.排除二次项系数为的错误选项，即可得到结果． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式：原方程为 移项得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 5．若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程两根之和的关系整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴由方程根的定义得， 由一元二次方程两根之和的关系得：， ∴， ∴ ． 6．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 7．中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键是理解互赠的含义． 计算总赠出书签的数量，从而列出方程． 【详解】解：∵八（1）班共有名学生，同学之间互赠书签，即每名同学需要向除自己以外的其他同学各赠送1张书签， ∴每名同学送出张书签，名同学送出书签的总张数为， 又已知共赠主题书签2450张， ∴可列方程． 8．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 9．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 【详解】解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 10．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长与宽的和表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可 【详解】解：设长为步，长和宽的和为步 宽为步 矩形面积长宽，已知矩形面积为平方步 可列方程为 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．关于的一元二次方程的一个解为1，则________． 【答案】2 【分析】将已知解代入原方程得到关于的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为的条件，确定的值． 【详解】解：把代入，得 ， 整理得，因式分解得 ， 解得，， 原方程为一元二次方程， 二次项系数 ，即， ． 12．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 13．已知代数式的最小值是_________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法可把所求式子变形为，再根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原代数式的最小值为5， 故答案为：5． 14．为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00—12：00）向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次．若进场人次的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率．设进场人次的周平均增长率x，依题意可列方程为__________________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设周平均增长率为x，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次，从第一周到第三周经过两周增长，故列方程． 【详解】解：根据增长率问题，第一周为基础值，经过两周增长后达到第三周的值， 因此第三周人次为，等于1440， 故列方程为． 故答案为： 15．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 16．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 18．（6分）已知关于的方程． (1)若方程总有两个实数根，求的取值范围； (2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于m的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得； （2）解：∵与是该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴ 解方程 得． 19．（8分）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得，      第一步， ，，，        第二步； ，      第三步；           第四步， 即，        第五步． (1)开始出现错误的步骤是第___________步； (2)请给出此题正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)，，解答过程见解析 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可； （2）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：将方程化为一般形式，得 ， ∴第一步开始出现错误． 故答案为：一． （2）解：解方程化为一般形式，得， ，，， ， ， 即，． 20．（8分）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【答案】这两日定制量的日平均增长率是 【详解】解：设这两日定制量的日平均增长率是x．由题意得：      解得：，（不合题意舍去）     答：这两日定制量的日平均增长率是． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式列出方程即可. 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一条边长为米，由题意，得： . 21．（10分）已知不等边的三条边分别为，，． (1)若，求的值； (2)已知为边上一点，连接，若与的周长相等，求的长； (3)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求证：为直角三角形． 【答案】(1)1 (2) (3)证明：设一元二次方程的两根为、， ∴， ∴，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， ，即， ， ∴，， 即， ∴， ，， 即， ， 设，则, ，即为直角三角形． 【分析】（1）由可得，即可得出， （2）根据周长的定义得出，根据线段的和差关系得出，即可得出； （3）设一元二次方程的两根为、，因式分解法解方程得，，根据方程有两个相等的实数根得出，结合得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：与的周长相等， ， ∴， ∵为边上一点， ∴， ∴， ． （3）解：略 22．（10分）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 23．（12分）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 24．（12分）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）．    方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形．    方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形．    (1)任务一：用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为________，底面宽为________． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长的值 (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内．    【答案】(1)； (2)裁去小正方形的边长的值为 (3)书本能完全放入该收纳盒内 【分析】（1）根据方案甲长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，可得长和宽为原来的长和宽分别减去； （2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可； （3）根据图示得出该收纳盒的高为，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断． 【详解】（1）解：依题意，方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为，底面宽为． （2）解：∵无盖收纳盒的底面长，底面宽，底面积为， ， 解得或， 底面宽，即， 舍去， ， 答：裁去小正方形的边长的值为； （3）解：根据题意可知，收纳盒的高为， 则盒子的底面的矩形中，， ∵收纳盒的底面积为， ， 解得或（不合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为，，， ，，， ∴书本能完全放入该收纳盒内． 学科网（北京）股份有限公司 $