第一章集合与常用逻辑用语单元检测--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语培优单元卷，知识覆盖全面，层次分明，通过基础概念辨析、逻辑推理应用及创新情境题，培养抽象能力、推理意识与创新意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合概念、集合相等、充要条件|基础巩固，如第6题考集合确定性，第4题结合集合关系判断充要条件| |多选题|3题|集合关系、命题真假|能力提升，如第11题新定义“M集”，考察逻辑推理| |填空题|3题|集合定义、充要条件、含参集合运算|基础与中档结合，如12题考集合定义，14题含参数集合运算| |解答题|5题|集合关系、命题与不等式、新定义“k-强可分集合”|综合创新，如19题新定义问题，考察数学抽象与创新意识|

第一章集合与常用逻辑用语（培优）试卷 一、单选题 1．已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 2．下列各组中的两个集合相等的是 （1），； （2），； （3），. A．（1）（2）（3） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2） 3．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 5．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 7．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 8．命题P：是命题Q：的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 二、多选题 9．下列关系中，正确的有（　　） A．  B． C． D． 10．已知集合，下列命题正确的有（    ） A．不存在实数使得 B．存在实数使得 C．当时， D．存在实数使得 11．设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论错误的是（    ） A．若集合是集，集合是非空数集，则是集 B．若是集，则 C．若集合是集，集合，则为集 D．且，使得是集 三、填空题 12．集合：把一些______组成的总体叫做集合，简称为______，常用大写拉丁字母______表示． 13．是的________条件． 14．设，集合， ，若，则__________． 四、解答题 15．指出下列各组集合与之间的关系： ，； ，； ，是的正约数； ，． 16．已知，命题，不等式恒成立；命题，成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围. 17．已知A={3,2a2-a,7}，B={3,5a2,3a}，A∩B={3,6}，求实数a的值． 18．设：，：（），若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19．对于正整数集合，定义：若任意去掉个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能划分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“-强可分集合”． (1)判断集合是否为“2-强可分集合”，并说明理由； (2)求证：集合一定不是“2-强可分集合”； (3)若集合是“1-强可分集合”． ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高中人教A版数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语综合检测培优试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D D D C D AB ACD 题号 11 答案 AB 1．D 【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，若为二次方程只需即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则变为，显然不成立， 则，不符合题意； 当，即时，则， 解得（舍）或， 所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为． 故选：D 2．B 【分析】根据集合相等的概念，逐一判断四个答案中的集合元素是否一一对应相等，可得答案． 【详解】对于（1），均表示全体偶数，两个集合相等， 对于（2），表示大于等于1的奇数，表示大于等于3的奇数，两个集合不相等， 对于（3），，两个集合相等， 故选B 【点睛】本题考查的知识点是集合的相等，正确理解集合相等的概念，是解答的关键． 3．D 【分析】联立求解即可. 【详解】联立，解得或， ∴． 故选：D. 4．D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，以及集合的交集与并集的意义可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，当时，成立，不成立，所以不是的充分条件，故A错误； 对于B，因为，所以， 因为，所以，所以，所以是的充分条件，故B错误； 对于C，因为，所以，当时， 成立，但不成立，所以不是的必要条件，故C错误； 对于D，因为，，所以，所以，所以是的充分条件， 由，可得，所以，所以是的必要条件， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：D. 5．D 【分析】先找到命题成立的等价条件，再分析充分不必要条件. 【详解】∵，∴. 若命题“，”是真命题，则，即. 命题“，”是真命题的充分不必要条件对应的范围是的真子集，根据选项可知D选项符合题意. 故选：D. 6．D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 7．C 【分析】先将三个集合化成形式差不多的结构，分别判断出其大小关系，最后可求出的值. 【详解】任取，则，其中，所以，故，所以；任取，则，所以，所以，所以 故选:C． 8．D 【分析】将命题P：去掉绝对值符号，分四种情况讨论，得出命题Q：不一定成立，即是的不充分条件；将命题Q：变形为后，分或情况讨论，得出不一定成立，即是的不必要条件. 【详解】命题Q：可变形为，即， 即，即或. ()当时，有和两种情况，此时不一定成立，故是的不必要条件； ()当时，有和两种情况，此时不一定成立，故是的不必要条件； 综上两种情况可知，是的不必要条件； 命题P：,去掉绝对值符号，有以下四种情况： ()当，即时，，，即， 故是的不充分条件； ()当，即时，，，即， 故是的充分条件； ()当，即时，，，即， 故是的充分条件； ()当，即时，，，即， 故是的不充分条件； 综上四种情况可知，是的不充分条件； 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 9．AB 【分析】根据与集合的关系判断A，D；根据常用数集的取值范围判断B，C 【详解】对于A，是任何非空集合的真子集，故A正确； 对于B，为有理数集，而是有理数，故B正确； 对于C，为整数集，为自然数集，故，故C错误； 对于D，是任何集合的子集，故D错误. 故选：AB 10．ACD 【分析】根据集合的包含关系，结合已知条件，分和两种情况讨论，求出相应的实数的取值范围，从而判断各选项． 【详解】若，则需满足，解得，， 不存在实数使得，故A正确，B错误； 若，当时，需满足，解得； 当时，需满足，解得，且，解得，， 时，无实数解， 时，，故存在实数使得，故D正确； ，当时，，故C正确， 故选：ACD. 11．AB 【分析】选项，结合题设定义举例判断即可；B选项，根据题设定义可得，或，或，进而求解判断即可；C选项，由是集可得存在（两两不等），使得，根据中的元素个数不小于2，可得且，使得，进而得到，即可判断；D选项，先假设是集，再推出矛盾即可判断. 【详解】选项，若取，则，显然不符合集的定义，A错误； B选项，由集的定义及已知得，，或，或， 解得或（舍去），B错误； C选项，由是集，所以存在（两两不等），使得， 因为中的元素个数不小于2，所以且，使得， 且两两不等，由，得，所以为集，C正确； D选项，设， 取， 满足（两两不等），存在, 是集，，D正确. 故选：AB. 12． 元素 集 A，B，C， 【分析】略 【详解】略 13．充要 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求出结果. 【详解】由得到，即， 当时，则，所以， 所以是的充要条件， 故答案为：充要. 14．1或2 【详解】， 解方程可得 因为，所以， 当m=1时，满足题意； 当，即m=2时，满足题意，故m=1或2. 15．；；；. 【分析】根据集合与集合间的关系判断即可. 【详解】解：，，但集合中的某些元素不属于集合. 所以. 由，可求得. 又由，可知. 由集合是的正约数，可求得， 由于，则. 因为集合表示正整数集，集合表示自然数集， 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）当时，求出函数的值域，可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，分两种情况讨论：真假、假真，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 若为真命题，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. （2）解：若为真命题，则，解得或. （i）若真假，则，可得； （ii）若假真，则，可得或或. 综上所述，实数的取值范围是. 17．2 【分析】由题知,故,得出有两根,分别代入分析是否满足题意,再判断的取值即可. 【详解】由与可知解得 或, 又当时不满足； 当时, 符合题意,故. 故答案为2. 【点睛】本题主要考查集合的互异性,对需要类似的分情况讨论的问题,可以先算出一个集合算出的参数的值,代入另一个集合进行验证是否满足题意,若满足题意则所求参数值正确,若不满足题意则所求参数值错误. 18． 【分析】设，，化简集合,再解不等式组即得解. 【详解】设，所以， 设，所以， 因为p是q的充分不必要条件，所以是的真子集， 即，所以. 所以实数a的取值范围为. 19．(1)不是“2-强可分集合”，理由如下： 因为，若去掉2和10， 则剩余元素之和为，故划分成的两个集合的元素之和应均为， 但是该集合的元素都是偶数，不管如何分割，元素之和不能为奇数， 所以不是“2-强可分集合”. (2) 不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，或者； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④. 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾． 因此当时，集合一定不是“2-强可分集合”. (3) ①设集合所有元素之和为． 由题可知，均为偶数， 因此均为奇数或偶数． 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数． 如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“1-强可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“1-强可分集合”． 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数． 综上所述，集合中元素个数为奇数. ②7. 【分析】（1）根据强可分集合分析求解即可； （2）根据强可分集合分析求解即可； （3）根据强可分集合分析求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）①略 ②当时，显然任意集合不是“1-强可分集合”． 当时，设，不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④． 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾． 因此当时，集合一定不是“1-强可分集合”； 当时，集合， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为24， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为23， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为22， 当移除7时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为21， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为20， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为19， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为18， 则集合是“-强可分集合”． 所以集合A中元素个数的最小值是7． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $