第一章 集合与常用逻辑用语 章末检测- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦“集合与常用逻辑用语”，通过单选、多选、填空、解答题（8/3/3/5题，40/18/15/77分）覆盖集合运算、命题否定、充要条件等核心知识，注重数学抽象与逻辑推理，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合交并补、命题否定|基础概念辨析，如第3题结合补集考查交集运算| |多项选择|3/18|充分条件、命题真假|选项分层，如第9题考查全称命题充要条件的充分条件| |填空题|3/15|集合关系、命题否定|情境简洁，如第14题通过集合包含关系求参数范围| |解答题|5/77|充要条件证明、创新集合运算|综合应用，如18题证明充要条件培养逻辑推理，19题笛卡尔积运算体现数学抽象|

章末检测（一）　集合与常用逻辑用语 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题为（　　） A.某班至多有一个男生爱踢足球 B.某班至少有一个男生不爱踢足球 C.某班所有的男生都不爱踢足球 D.某班所有的女生都爱踢足球 2.设集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是（　　） A.1 B.3 C.4 D.6 3.集合A＝{x｜－1≤x≤2}，B＝{x｜x＜1}，则A∩（∁RB）＝（　　） A.{x｜x＞1} B.{x｜x≥1} C.{x｜1＜x≤2} D.{x｜1≤x≤2} 4.“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 集合，，若，则实数的值为（　　） A. 1 B. -1 C.  D. 0或 6.下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是（　　） A.所有能被2整除的正整数都是偶数 B.存在三角形的一个内角，其余弦值为 C.∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解 D.∀x∈N，x3＞x2 7.若命题“存在x∈R，x2－2x－m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是（　　） A.m≤－1 B.m≥－1 C.－1≤m≤1 D.m＞－1 8.定义集合的商集运算为＝{x｜x＝，m∈A，n∈B}，已知集合S＝{4，6}，T＝x｜x＝－1，k∈S，则集合∪T中的元素个数为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.命题“∀x∈{x｜1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充分条件可以是（　　） A. a≤4 B. a≥4 C. a≤5 D. a≥5 10.下列说法中正确的是（　　） A. “a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件 B.命题p：∀x∈R，x2＞0，则􀱑p：∃x∈R，x2＜0 C.命题“若a＞b＞0则＜”的否定是假命题 D. “a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件 11.定义集合运算：AⓧB＝{z｜z＝（x＋y）×（x－y），x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则（　　） A.当x＝，y＝时，z＝1 B.x可取两个值，y可取两个值，z＝（x＋y）×（x－y）对应4个式子 C.AⓧB中有4个元素 D.AⓧB的真子集有7个 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.命题“同位角相等”的否定为　　　　　　　　. 13.已知集合A＝{0，｜a｜}，集合B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a＝　　　　. 14.已知集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x＜m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，判断其真假： （1）有一个奇数不能被3整除； （2）∀x∈Z，x2与3的和不等于0； （3）三角形的三个内角都为60°； （4）存在一个实数x，使＞2. 16.（本小题满分15分）已知集合A＝{x｜－1≤x≤3}，集合B＝{x｜m－2≤x≤m＋2，m∈R}. （1）若A∩B＝{x｜0≤x≤3}，求实数m的值； （2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围. 17.（本小题满分15分）从给出的三个条件①a＝1；②a＝2；③a＝3，中选出一个合适的条件，补充在下面问题中，并完成解答. 已知集合A＝{0，a＋2}，B＝{0，1，a2}. （1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的值； （2）已知　　　　，若集合C含有两个元素且满足C⊆A∪B，求集合C. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 18.（本小题满分17分）设x，y∈R，求证：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜成立的充要条件是xy≥0. 19.（本小题满分17分）对于集合A，B，我们把集合{（a，b）｜a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有：A×B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，B×A＝{（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}，A×A＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}，B×B＝{（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）}.据此，试回答下列问题： （1）已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D； （2）已知A×B＝{（1，2），（2，2）}，求集合A，B； （3）已知A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素. 章末检测（一）　集合与常用逻辑用语 1.B　命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，即命题􀱑p为“某班至少有一个男生不爱踢足球”. 2.C　易知A＝{1，2}，又A∪B＝{0，1，2}，所以集合B可以是{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}，共4个. 3.D　由题意可知∁RB＝{x｜x≥1}，∴A∩（∁RB）＝{x｜1≤x≤2}. 4.B　∵｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜，∴两边同时平方得a2－2ab＋b2＝a2＋2｜ab｜＋b2，即｜ab｜＝－ab，∴ab≤0.故“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的必要不充分条件. 5.D　.当时，，满足；当时，，因为，所以或，即.综上所述，或.故答案为：D. 6.D　对于A，所有能被2整除的正整数都是偶数，是全称量词命题，但为真命题，不合题意；对于B，不是全称量词命题，不合题意；对于C，“∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解”为存在量词命题，不合题意；对于D，∀x∈N，x3＞x2，是全称量词命题，当x＝1或0时，x3＝x2，故为假命题，符合题意.故选D. 7.B　由题意知方程x2－2x－m＝0有实数解，∴Δ＝（－2）2－4×（－m）≥0，解得m≥－1. 8.A　因为T＝＝{1，2}，所以＝{2，3，4，6}，所以∪T＝{1，2，3，4，6}.所以集合∪T中元素的个数为5.故选A. 9.BD　命题“∀x∈{x｜1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，即当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，可转化为a≥（x2）max，∵1≤x≤2，∴1≤x2≤4，因此（x2）max＝4，故a≥4.∵a≥4⇒a≥4，a≥5⇒a≥4，∴B、D正确. 10.AC　对于选项A，a＞1，b＞1时，易得ab＞1，故A正确；对于选项B，全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p：∀x∈R，x2＞0的否定为􀱑p：∃x∈R，x2≤0，故B错误；对于选项C，其否定为“若a＞b＞0，则≥”，当a＝2，b＝1时，显然为假命题，故C正确；对于选项D，由“a＞b”并不能推出“a2＞b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误. 11.BD　当x＝，y＝时，z＝（＋）×（－）＝0，故A错误；x可取，，y可取1，，则z可取（＋1）×（－1）＝1，（＋）×（－）＝0，（＋1）×（－1）＝2，（＋）×（－）＝1，4个式子，选项B正确；AⓧB＝{0，1，2}，共3个元素，选项C错误；AⓧB的真子集有23－1＝7（个），选项D正确. 12.有的同位角不相等　解析：全称量词命题的否定是存在量词命题. 13.－1　解析：∵A＝{0，｜a｜}，B＝{1，a}，A∩B＝{1}，∴｜a｜＝1，a≠1，解得a＝－1. 14.m＞1　解析：由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，得A⫋B，即即m＞1. 15.解：（1）是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题. （2）是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0，假命题. （3）是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题. （4）是存在量词命题，否定为：任意一个实数x，都满足≤2，假命题. 16.解：（1）因为A∩B＝{x｜0≤x≤3}， 所以解得m＝2. （2）∁RB＝{x｜x＜m－2，或x＞m＋2，m∈R}， 因为A⊆∁RB，所以m－2＞3或m＋2＜－1， 所以m＞5或m＜－3. 17.解：（1）因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⫋B，当a＋2＝1，即a＝－1时，得B＝{0，1，1}，不符合题意；当a＋2＝a2，即a＝－1（舍去），或a＝2时，故a＝2，此时A＝{0，4}，B＝{0，1，4}，满足题意.所以a＝2. （2）根据题意，若选择条件①，则B＝{0，1，1}，不符合题意，故可选择条件②或③. 若选择条件②，A＝{0，4}，B＝{0，1，4}，所以A∪B＝{0，1，4}，所以C＝{0，1}或C＝{0，4}或C＝{1，4}. 若选择条件③，A＝{0，5}，B＝{0，1，9}，所以A∪B＝{0，1，5，9}，所以C＝{0，1}或C＝{0，5}或C＝{0，9}或C＝{1，5}或C＝{1，9}或C＝{5，9}. 18.证明：充分性：如果xy＝0，那么，①x＝0，y≠0，②x≠0，y＝0，③x＝0，y＝0.总有｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，显然成立. 如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0， 当x＞0，y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜， 当x＜0，y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜， 总之，当xy≥0时，｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜成立. 必要性：由｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜及x，y∈R，得（x＋y）2＝（｜x｜＋｜y｜）2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜xy｜＋y2， 故｜xy｜＝xy，所以xy≥0，故必要性成立， 综上，原命题成立. 19.解：（1）C×D＝{（a，1），（a，2），（a，3）}. （2）因为A×B＝{（1，2），（2，2）}，所以A＝{1，2}，b＝{2}. （3）从以上解题过程可以看出，A×B中元素的个数与集合A和集合B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与集合B中的每一个元素对应结合，得到集合A×B中的一个新元素，若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A×B中的元素应为（m×n）个，所以若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则集合A×B中有3×4＝12（个）元素. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $