精品解析：天津市西青区杨柳青第一中学2025-2026学年第二学期高二第二次阶段性测试数学试卷

2025—2026学年度第二学期高二年级第二次阶段性测试 数学试卷 （2026.6） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷 注意事项：本卷共9道小题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求． 1. 以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误； 对于B：两个变量不具有线性相关性，故B错误； 对于C：两个变量之间的关系为负相关关系；故C错误； 对于D：两个变量之间的关系为正相关关系，且散点图中的点分布在一条直线附近，线性相关程度较高；故D正确. 2. 已知是函数的导函数，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得，所以 3. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【详解】得，所以， 所以，所以. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负，得出函数的单调性，再由特殊点的函数值的正负，运用排除法，可得选项. 【详解】当时，则． 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，所以在区间上单调递减，排除A，B． 又，排除D． 故选：C． 5. 二项式的展开式的常数项是（ ） A. 28 B. 56 C. 36 D. 40 【答案】A 【解析】 【详解】二项式的展开式通项为：   , 令，解得， 所以常数项为. 6. 随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 交易量（万套） 0.8 1.0 1.2 1.5 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 根据表中数据可知，变量与正相关 B. 经验回归方程中 C. 可以预测时房屋交易量约为（万套） D. 时，残差为 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出、，根据回归方程必过样本中心点求出参数，从而得到回归方程，再一一判断即可. 【详解】对于B，依题意，， 所以，解得，所以，故B正确； 对于A，因为经验回归方程，， 所以变量与正相关，故A正确； 对于C，当时，， 所以可以预测时房屋交易量约为（万套），故C正确； 对于D，当时，， 所以时，残差为，故D错误. 故选：D 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，由条件知在上单调递减，利用奇偶性将化为，比较即可判断. 【详解】设函数，则， 所以根据题中条件，当时，，即函数在上单调递减， 因为为奇函数，所以，所以为偶函数， ，，， 因为，所以，即. 【点睛】本题主要考查抽象函数导数问题，此类问题常考常新，成为近年来命题的热点，主要是利用导数研究函数单调性，根据题中条件，结合导数四则运算法则和复合函数求导来构造新函数，使多个分散条件集中指向某一个函数的导数，然后通过新函数的单调性来解题.在构造的过程中，有的需要直接构造，有的需要变形构造，不论哪种构造，都要结合问题的外形结构特征及求导法则的特征进行合理恰当的构造. 8. 已知函数，有下列说法 ①的递增区间是和； ②有三个零点； ③不等式的解集为； ④关于的不等式恒成立，则的最大值为1. 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数分析单调性可得①正确；由图象可得②错误；由极值结合函数的图象可得③正确；当时，分离参数后构造函数求导，当结合复合函数的单调性可得④正确. 【详解】对于①，当时，，令； 当时，，令， 所以的递增区间是和，故①正确； 对于②，当时，；当时，； 当时，，又在上为递减函数，在为递增函数， 做出函数图象如下： 所以函数有两个零点，故②错误； 对于③，，结合图象可得不等式的解集为，故③正确； 对于④，当时，不等式恒成立等价于即恒成立， 令，， 令可得，所以当时，，为递减函数；当时，，为递增函数， 所以，即， 当时，不等式恒成立， 当时，， 当时，由简单复合函数的单调性可得；当时，，此时即可； 综上的最大值为1，故④正确； 故选：D 9. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得图象与直线，共4个交点，分别利用导数研究函数与函数，可得大致图象，据此可得答案. 【详解】， 由题则图象与直线，共4个交点. 令，则，. 则在上单调递增，在上单调递减，. 又，据此可得大致图象如下. 令，则，又，据此可得大致图象如下. 由图易得图象与直线有1个交点，则图象与直线有3个交点. 则. 故选：B 第Ⅱ卷 注意事项：本卷共11道小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上． 10. 已知随机变量，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为随机变量，，故，解得, 所以， 因此. 11. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据全概率公式求解概率即可. 【详解】用表示任选一题选到灯谜题目中逻辑推理，传统灯谜，一中文化， 则， 记伟同学任意抽取一道题目答对为事件为， 则， 所以 . 故答案为：. 12. 如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望______________，方差______________． 【答案】 ①. 5 ②. 1 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线求得即可求期望和方差. 【详解】由图可知，当时，有最大值为， 所以， 所以，所以，， 故答案为:5;1. 13. 大于500无重复数字的三位偶数有__________个． 【答案】184 【解析】 【分析】要得到大于无重复数字的三位偶数，需要分情况讨论百位数字，再根据百位数字确定个位数字的可能情况，最后确定十位数字的可能情况，利用分步乘法计数原理计算每种情况的个数，最后将所有情况的个数相加. 【详解】当百位数字是5，个位数字是其中一个时，有种选法； 当百位数字是6，个位数字是时，有种选法； 当百位数字是7，个位数字是时，有种选法； 当百位数字是8，个位数字是时，有种选法； 当百位数字是9，个位数字是时，有种选法； 将上述各种情况的个数相加，即. 14. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布求概率即可； （2）利用条件概公式求解即可. 【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球” 所以. （2），. 故答案为：；. 15. 已知函数的定义域为，对于任意 当 时，（其中c为自然对数的底数），若，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】变形，构造函数，根据单调性即可求解. 【详解】由题意得，，， 令, 则在上单调递增,且, 由,得,即, 所以，解得, 故答案为：. 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 近期，我国国产大模型深度求索（）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为行业的发展提供了新的可能性， （1）为了评估的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了下列数据： 高满意度 低满意度 频繁使用 70 30 不频繁使用 50 50 依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用频率与用户满意度之间有关联； （2）按照分层抽样的方式从该校抽取对高满意度的6人，低满意度的4人．若从选定的10人中随机抽取2人做进一步调查，求所选2人中对高满意度的人数的分布列和期望． 参考公式：，其中．． 【答案】（1）能认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； （2）的分布列为： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）直接计算，计算后与比较大小可得出是否能认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； （2）考查超几何分布的用法，样本人数为10人，抽取2人，样本中对高满意度的有6人，故可分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望. 【小问1详解】 由题意得， 所以，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，能认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为0，1，2. 可得，，， 的分布列为： 0 1 2 可得数学期望为. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，，M，N分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 取中点，连接，由是的中点， 故，且，由是的中点， 故，且， 则有、，故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接NP、MP，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式求解三棱锥的高，借助余弦定理、正弦定理求解底面面积，最后代入体积公式即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、、， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为． 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有，即点到平面的距离为， 根据两点间的距离公式易得，，， 则， ，所以， 所以． 18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，短轴长是2． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为，．设的斜率为（），的面积为，当，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据离心率和短轴长求出，可得椭圆的方程； （2）写出直线和的方程，并与椭圆方程联立求出的坐标，求出和，求出直角三角形的面积，代入，解不等式可得结果. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 根据题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，椭圆的方程为，， 所以直线，， 设，， 联立，消去并整理得， 所以， 所以， 所以， 联立，消去并整理得， 所以，所以， 所以, 所以， 由，得， 整理得，得， 又，所以， 所以或. 19. 等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，. （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和. （Ⅲ）求. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用等差等比数列的通项公式用公差和公比表示已知条件，可求得公差和公比，进而得到通项公式；（Ⅱ）利用分组求和法，转化为,第一部分利用等差数列求和公式求和，第二部分，利用错位相减求和法求得；（Ⅲ）可裂项为，然后相加相消求和. 【详解】（Ⅰ）设数列的公差为d，数列的公比为q， 及得 解得 所以. （Ⅱ） 设前项n和为A 设前项n和为B 综上可知 （Ⅲ） 令 【点睛】本题考查等差数列等比数列的通项和求和，分组求和方法，错位相减法求和和裂项相消求和法，关键是第二问中的分组求和和第三问中的裂项技巧. 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个零点，（其中）. （i）求实数的取值范围； （ii）若存在实数，当时，使不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求处的切线方程； （2）（i）问题化为有两个不等的实根，构造，应用导数研究其单调性，进而确定值域，即可得的取值范围； （ii）由在为单调递增函数，将问题化为恒成立，令、且，则有两个正根，，应用导数研究单调性，再令进一步转化问题为在上恒成立，构造函数研究不等式恒成立求参数范围. 【小问1详解】 由，则， 所以，即切点坐标为，切线斜率， 故切线方程为，即； 【小问2详解】 （i）由题意有两个不等的正根，等价于有两个不等的实根， 设，则， 设，，则在为增函数，，， ∴存在唯一的，使，得①. 当时，则，为单调减函数； 当时，则，为单调增函数. 所以，代入①式得，当趋向于或时趋向， 所以时，函数 有两个零点，即函数有两个零点. （ii）设，而，所以在为单调递增函数， 由题意，恒成立即可， 令，得，即有两正根，，， 设且，则有两个正根，， 由恒成立，故在上单调递增，且， 由，得，得 ，则， 令，由，整理得 ， 对于等价于在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，则， 注意到，则，解得 ， 当时，当时恒成立，所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，所以符合题意； 当时，，， 存在使，又在上单调递增， 所以当时，为单调递减，则，不合题意. 综上：实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：第二问二小问，首先转化问题为恒成立，再构造中间函数并利用导数研究单调性，最后应用换元思想进一步将问题转化为函数不等式恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高二年级第二次阶段性测试 数学试卷 （2026.6） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷 注意事项：本卷共9道小题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求． 1. 以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是函数的导函数，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 二项式的展开式的常数项是（ ） A. 28 B. 56 C. 36 D. 40 6. 随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 交易量（万套） 0.8 1.0 1.2 1.5 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 根据表中数据可知，变量与正相关 B. 经验回归方程中 C. 可以预测时房屋交易量约为（万套） D. 时，残差为 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，有下列说法 ①的递增区间是和； ②有三个零点； ③不等式的解集为； ④关于的不等式恒成立，则的最大值为1. 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 9. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项：本卷共11道小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上． 10. 已知随机变量，且，则__________． 11. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为_______． 12. 如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望______________，方差______________． 13. 大于500无重复数字的三位偶数有__________个． 14. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________. 15. 已知函数的定义域为，对于任意 当 时，（其中c为自然对数的底数），若，则实数a的取值范围为___________. 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 近期，我国国产大模型深度求索（）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为行业的发展提供了新的可能性， （1）为了评估的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了下列数据： 高满意度 低满意度 频繁使用 70 30 不频繁使用 50 50 依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用频率与用户满意度之间有关联； （2）按照分层抽样的方式从该校抽取对高满意度的6人，低满意度的4人．若从选定的10人中随机抽取2人做进一步调查，求所选2人中对高满意度的人数的分布列和期望． 参考公式：，其中．． 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，，M，N分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，短轴长是2． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为，．设的斜率为（），的面积为，当，求的取值范围． 19. 等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，. （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和. （Ⅲ）求. 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个零点，（其中）. （i）求实数的取值范围； （ii）若存在实数，当时，使不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $