5.4.1专题：平抛运动的两个推论 斜面相结合的问题 导学案-2026-2027学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理导学案聚焦平抛运动的两个推论及与斜面、曲面结合的问题，通过复习平抛运动分解规律导入，引出“反延过中”“正切二倍”推论，再结合垂直落斜面、落斜面等不同情境，搭建从基础规律到综合应用的学习支架。 资料以多样化例题（如网球运动、飞镖击中墙面等）和表格化知识整理为特色，帮助学生建构平抛与斜面结合的物理模型，通过科学推理深化运动观念，提升解决复杂问题的能力，体现科学思维与物理观念的培养。

专题：平抛运动的两个推论 斜面相结合的问题 [学习目标]　 1.熟练运用平抛运动的推论解决相关问题。 2.掌握平抛运动与斜面和曲面结合问题的解题方法。 一、平抛运动的两个重要推论 【知识整理】 1.推论一：“反延过中” 做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。即xOB＝xA。 2.推论二：“正切二倍” 做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。 【例题】 1．如图所示，运动员将网球水平击出，经过时间t落地时，瞬时速度与水平方向的夹角为60°，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．网球水平抛出时的初速度大小为 B．网球在t时间内水平方向上的位移为 C．网球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为30° D．若网球平抛的初速度增大，则其从开始抛出至落地过程速度变化量变大 2．如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足 B．三只飞镖击中墙面的速度满足 C．三只飞镖击中墙面的速度满足 D．插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点 3．如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C三点，抛出点及落点A、B、C三点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角小于60° 二．与斜面和曲面有关的平抛运动 【知识整理】 运动情形 分析方法 从空中水平抛出垂直落到斜面上，速度偏转角与斜面倾角互余，即α＋θ＝ 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0，vy＝gt tan α＝＝ tan θ＝＝ 从斜面水平抛出又落到斜面上，斜面的倾角等于位移与水平方向的夹角 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝ 从斜面外水平抛出，要求以最短位移打到斜面，位移的方向与斜面垂直，即α＋θ＝ 分解位移 x＝v0t，y＝gt2 tan θ＝＝ tan α＝＝ 从斜面外水平抛出，沿斜面方向落入斜面，其合速度方向沿斜面方向 分解速度 vx＝v0，vy＝gt tan α＝＝ 【例题】 4．如图所示，小明将小球以初速度向对面山上水平抛出，小球落在点处。不计空气阻力，若小明想让小球落在点处，则（     ） A．增大小球水平抛出的初速度 B．减小小球水平抛出的初速度 C．初速度不变，换用质量更小的小球 D．初速度大小不变，将水平抛出变为斜向下抛出 5．如图，某学生将小球从O点水平抛出，小球恰好落在倾角为的固定光滑斜面顶端M上，且此时小球的速度方向恰与斜面平行。已知O、M两点间的水平距离，重力加速度取，，不计空气阻力，则小球的抛出速度的大小为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，池塘荷叶上可视为质点的青蛙以速度v0水平跳出，恰好垂直落在正对的堤面上。已知堤面的倾角θ=30°，不计空气阻力，青蛙落在堤面时的速度大小为（     ） A． B． C． D． 7．跳台滑雪训练中，运动员从跳台a点沿水平方向飞出，在斜坡b点着陆，如图所示。已知a、b间距离，斜坡与水平方向夹角为30°，不计空气阻力，取。求： (1)运动员在空中飞行的时间t； (2)运动员从a点飞出时的速度大小； (3)运动员落到b点时的速度大小v； (4)落地速度方向与水平方向夹角的正切值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【详解】A．网球落地时，根据几何关系有 解得，故A错误； B．网球在t时间内水平方向上的位移为，故B正确； C．网球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角正切值为 即α大于30°，故C错误； D．网球的速度变化量为 由此可知，若网球平抛的初速度增大，网球在空中的运动时间不变，则网球的速度变化量仍不变，故D错误。 故选B。 2．C 【详解】A．飞镖做平抛运动，水平分运动是匀速直线运动，有 x=v0t 飞镖击中墙面的速度与竖直方向夹角的正切值为 联立，解得 α越大，v0越大，故有 vA0>vB0>vC0 故A错误； BC．根据平行四边形定则并结合几何关系，可得飞镖击中墙面的速度 故 vA=vC＞vB 故B错误；C正确； D．飞镖做平抛运动，速度的反向延长线通过水平分位移的中点，而三只飞镖水平分位移的中点相同，故插在墙上的三只飞镖的反向延长线一定交于同一点。故D错误。 故选C。 3．B 【详解】A．竖直方向上，根据 可得 可知小球竖直位移越大，运动时间越长，故三个小球平抛运动时间的大小关系为 故A错误； B．三个小球下落相同高度的情况下，C小球抛得最远，A小球拋得最近，由x=vt知平抛初速度满足 故B正确； C．做平抛运动的物体，其某点的瞬时速度反向延长线交于此时水平位移的中点，落在C点的小球，在C点的瞬时速度若与碗垂直，则速度反向延长线交于碗心O点，并不是水平位移中点，故落在C点的小球，在C点的瞬时速度不可能与C点的切线垂直，故C错误； D．落在B点的小球，此时位移与水平方向的夹角为45°，设速度与水平方向夹角为，根据平抛运动速度偏转角与位移偏转角的关系 速度与水平方向夹角大于60°，故D错误。 故选B。 4．A 【详解】AB．根据， 解得 若想落到B点，则与A点相比，水平位移x增加，竖直位移y，减小，可知初速度v0要增大，A正确，B错误； C．初速度不变，换用质量更小的小球，因重力加速度g不变，则仍落在A点，C错误； D．初速度大小不变，将水平抛出变为斜向下抛出，则初速度与水平方向夹角为θ，则竖直方向由，则运动时间变短；水平位移，水平位移减小，则小球将落在A点左下方，无法落在B点，D错误。 故选A。 5．C 【详解】小球在空中做平抛运动，从O到M的过程中，水平方向有 竖直方向有 小球在M 的速度方向恰与斜面平行，则有 联立解得 故选C。 6．A 【详解】 如图所示，设青蛙落在堤面时的速度大小为，有 可得 故选A。 7．(1)2s (2) (3) (4) 【详解】（1）由图可知竖直位移 竖直方向，根据自由落体运动公式有 解得 （2）水平方向做匀速直线运动，则水平位移 解得。 （3）落地前水平方向速度为 竖直方向速度为 运动员落到b点时的速度大小 （4）设落地速度方向与水平方向夹角为，则 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $