（暑假预习课）专题12：等可能条件下的概率-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦等可能条件下概率的系统性训练，以生活情境为载体，整合古典概型、几何概型及频率估计概率，提炼列表/树状图等通解方法，构建“概念-方法-应用”逻辑链，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选4-5题|随机事件判断/概率公式|从事件分类到概率定义，夯实概念基础| |古典概型|单选1-3/填空11-14|列表法/树状图法/不放回抽样|结合方程、三角形等知识，深化计数原理应用| |几何概型|单选6/填空15-16|面积比/频率稳定值估计|从区域面积到频率统计，体现概率与统计联结| |综合应用|解答17-21|统计图表结合/游戏公平性分析|从实际问题抽象数学模型，强化数学语言表达|

（暑假预习课）专题12：等可能条件下的概率-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．为激发学生对科技的浓厚兴趣，弘扬科学精神，某校开展了“机器人科普讲座”活动，需要两名志愿者维持秩序，准备从甲、乙、丙三人中随机抽取，则甲、乙同时被抽中的概率为（     ） A． B． C． D． 2．小明购买了1张经济舱机票，从如图所示的某排6个座位中随机选择1个，则所选座位靠窗的概率是（     ） A． B． C． D． 3．从1，2，3，4中任取一个数记为b，再从余下的三个数中，任取一个数记为c，则关于x的方程有实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（） A．2033年1月27日杭州会下雪是随机事件 B．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件 C．概率很小的事情不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 5．一个不透明的礼盒中装有8个八宝粽，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出1个粽子为八宝粽的概率为，则肉粽的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．8个 D．10个 6．内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 7．小明要钉一个三角形木框，已有两根长度为、的木棒．如图所示的桌上有长度不同的4根木棒，他从中随机取一根，加上原有的两根木棒，能钉成一个三角形木框的概率为（   ） A． B． C． D． 8．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（     ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C．从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D．从分别标有1，2，4，4，5的5张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数 9．下列4张大小形状都相同的卡片正面画着不同的数学元素符号，背面完全一样，从中随机抽取一张卡片，抽到的卡片正面符号图案是轴对称图形的概率是（     ） A． B． C． D．1 10．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（     ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到白球 C．掷出一枚均匀的硬币，落地后国徽面朝上 D．转动如图转盘，转盘停止后，指针停在黑色区域 二、填空题 11．从，，3，中随机任取一数，取到无理数的概率是________． 12．不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共6个，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．小明从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出1个球，这个球是蓝球的概率是__________． 13．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数为______． 14．有张正面分别标有数字，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，数记为，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，数记为，则使能被整除的概率为______． 15．如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 16．在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 三、解答题 17．如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B、转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相乘，如果乘积是奇数，那么甲获胜，否则为乙获胜．你认为这样的游戏规则是否公平？请用树状图或列表法说明理由． 18．2026年深圳市观澜河龙舟赛共有44支队伍参赛，分为三个组别：公开组12支，机关企事业组15支，社区组17支． (1)从全部队伍中随机抽取一支进行采访，抽到社区组队伍的概率为______； (2)若赛后组委会准备从公开组和机关企事业组中抽取9支队伍进行“龙舟文化”宣讲，小明认为：“既然机关企事业组比公开组多3支队伍，那么从机关企事业组抽6支，公开组抽3支，对每支队伍都公平．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由；如果不公平，请你重新设计一种对每支队伍都公平的抽取方式． 19．为了完成“舌尖上的中国”的录制，节目组随机抽查了某省“奶制品类，肉制品类，面制品类，豆制品类”四类特色美食若干种，将收集的数据整理并绘制成下面两幅尚不完整的统计图，请根据图中信息完成下列问题： (1)这次抽查了四类特色美食共______种，扇形统计图中______，扇形统计图中部分圆心角的度数为______； (2)补全条形统计图； (3)如果节目组想从类的甲、乙、丙、丁四种特色美食中随机选择两种进行节目录制，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两种美食的概率． 20．在9张完全相同的卡片上分别写上这9个数字，小明和小刚用这9张卡片做抽卡游戏：小明从中任意抽出一张卡片（不放回），小刚从剩余的卡片中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜．然后两人把抽到的卡片都放回，重新开始做游戏． (1)现小明已经抽到的数字为4，然后小刚抽卡，那么小明获胜的概率和小刚获胜的概率分别是多少？ (2)小明抽出一张卡片后，立即对小刚说：“我获胜的概率肯定比你获胜的概率大．”那么，小明抽到的数字可能是哪些？ 21．吴忠市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 85 86 b 城区 84 a 87 118.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出表格中a、b的值，______，______； （三）数据的分析与应用 (2)若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； (3)请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假预习课）专题12：等可能条件下的概率-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A B D A C A A 1．B 【详解】解：两种方法： ①根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，所有可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，甲、乙同时被抽中（记为事件A）的结果有2种， ∴． ②用列表法，如下表所示： 第一名第二名 甲 乙 丙 甲 —— （乙，甲） （丙，甲） 乙 （甲，乙） —— （丙，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） —— 由上表可知，所有可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，甲、乙同时被抽中（记为事件A）的结果有2种， ∴． 2．C 【分析】用靠窗的座位数除以座位总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有6个座位，其中靠窗的座位有2个， ∴从这6个座位中随机选择1个，所选座位靠窗的概率是． 3．C 【分析】画树状图，共有12种等可能结果，其中能使关于x的方程有实数根的有6种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中能使关于x的方程有实数根的有6种结果， ∴关于x的方程有实数根的概率为：． 4．A 【分析】根据必然事件随机事件概率的概念，必然事件是一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：A选项2033年1月27日杭州下雪可能发生也可能不发生，是随机事件，此选项正确． B选项发生可能性非常大的事件不一定必然发生，不属于必然事件，此选项错误． C选项概率很小的事件也有可能发生，不是不可能发生，此选项错误． D选项投掷质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数是随机的，不一定是500次，此选项错误． 5．B 【分析】先根据八宝粽及其概率求出肉粽和八宝粽的总个数，再用肉粽和八宝粽的总个数减去八宝粽的个数即可得到肉粽的个数． 【详解】解：由题意可得，肉粽和八宝粽的总个数为：（个） ∴肉粽的个数为（个）． 6．D 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得点落在投影的概率，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右， ∴点落在投影的概率约为， ∴估计玉龙投影的面积为． 7．A 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，从而找出符合条件的木棒根数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 已有两根木棒长度分别为、， 根据三角形三边关系可得：，即， 桌上的4根木棒长度分别为、、、， 满足的木棒有和这2根， 能钉成一个三角形木框的概率为． 8．C 【分析】观察统计图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在 附近，即概率约为 ，分别计算各选项的概率，找出概率为 的选项即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数增加，频率稳定在 附近， 该事件发生的概率约为 ． A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为 ，不符合题意； B．掷一枚质地均匀的骰子，出现点数是的概率为，不符合题意； C．从只装有张黑桃和张红桃的扑克牌盒中随机抽取一张，总共有种等可能结果，红桃有种，抽出的牌是红桃的概率为，符合题意； D．从分别标有的张纸条中，随机抽出一张，其中的倍数有共个， 抽到的倍数的概率为，不符合题意． 9．A 【详解】解：从4张卡片中任意抽出一张，有4种情况，而轴对称图形（后三张）的情况有3种， 则抽到的卡片正面符号图案是轴对称图形的概率． 10．A 【详解】解：由题干折线统计图可得，当试验次数很多时，频率稳定在， A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数的概率为，故A符合题意； B、从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到白球的概率为，故B不符合题意； C、掷出一枚均匀的硬币，落地后国徽面朝上的概率为，故C不符合题意； D、转动如图转盘，转盘停止后，指针停在黑色区域的概率为，故D不符合题意． 11． 【详解】解：从，，，中随机任取一数，共有种等可能的结果，其中无理数只有，共种结果， 取到无理数的概率为． 12． 【分析】先根据概率公式求出三种颜色球的个数，再计算拿出1个红球后剩余球的总个数和蓝球个数，最后根据概率公式求解取出蓝球的概率． 【详解】解：∵袋子中有红球、绿球和蓝球共6个，取出红球的概率为，取出绿球的概率为， ∴红球个数为 （个），绿球个数为（个）， ∴蓝球个数为（个）， ∵拿出个红球后，剩余球的总个数为（个），蓝球个数仍为个， ∴再随机取出个球是蓝球的概率为． 13．25 【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【详解】解：根据题意，盒子中小球的个数为：． 14． 【分析】先画出树状图，则可得从中随机抽出两张卡片的所有等可能的结果，再找出使能被整除的结果，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从中随机抽出两张卡片共有种等可能的结果，其中，使能被整除的结果有4种， 则使能被整除的概率为． 15． 【分析】由图②得小球落在不规则图案内的概率约为，求出矩形的面积，再根据小球落在不规则图案内的概率估计其面积即可． 【详解】解：由图②得，小球落在不规则图案内的概率约为， 由题意得矩形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， ∴， ∴不规则图案的面积大约为． 16．25 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率，根据统计图得到频率的稳定值，进而得到摸到白球的概率，再根据概率公式估计白球的数量即可． 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐步稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为， ∴估计盒子里白球有个． 17．此游戏规则不公平，理由为： 列表如下： 3 4 5 6 1 3 4 5 6 2 6 8 10 12 3 9 12 15 18 ∵所有等可能的情况数有12种，其中乘积为奇数的情况有4种，乘积为偶数的情况数有8种， ∴P（甲获胜）＝，P（乙获胜）＝， ∵， ∴此游戏规则不公平． 【分析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出乘积为奇数和偶数的情况数，进而求出甲乙两人获胜的概率，比较即可． 【详解】略 18．(1) (2)小明的说法不正确， 按照小明的抽取方案，公开组每支队伍被抽中的概率为， 机关企事业组每支队伍被抽中的概率为， 二者概率不相等，因此小明的说法不正确； 要保证公平，需使两组单支队伍被抽中的概率一致，公开组和机关企事业组共27支， 抽取9支，单支被抽中的概率为， ∴，， ∴公平的抽取方案为从公开组抽取4支队伍，从机关企事业组抽取5支队伍 【分析】（1）利用简单概率公式进行计算； （2）根据概率求出频数． 【详解】（1）解：抽到社区组队伍的概率为； （2）解：略． 19．(1)20，40， (2)补全条形统计图如图所示： (3) 【分析】（1）根据A类的种数除以占的百分比即可得到总种数；再根据总数依次求出即可； （2）求出B的种数是，进而补全统计图即可； （3）画出树状图得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：这次抽查了四类特色美食共（种）， ∵， ∴， ∵， ∴扇形统计图中A部分圆心角的度数是； （2）解：B的种数是，图略； （3）解：树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两种美食的结果有2种， ∴恰好选中甲和乙两种美食的概率为． 20．(1) 小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为 (2) 小明抽到的数字可能是 【分析】（1）先确定小明抽到4后剩余的所有等可能结果，再分别找出两人获胜的结果数计算概率； （2）设小明抽到的数字为，分别表示出两人获胜的概率，根据条件列不等式求解，结合数字范围得到结果； 【详解】（1）解：小明已经抽到数字4，不放回后小刚抽卡，剩余卡片共有8种等可能的结果， 小明获胜需要小刚抽到的数字比4小，比4小的数字有1，2，3，共3种结果， 因此小明获胜的概率为； 小刚获胜需要小刚抽到的数字比4大，比4大的数字有5，6，7，8，9，共5种结果， 因此小刚获胜的概率为． （2）解：设小明抽到的数字为（是1到9的整数），剩余共有8种等可能结果，比小的数字有个， 因此小明获胜的概率为， 比大的数字有个，因此小刚获胜的概率为， 根据题意，小明获胜概率大于小刚获胜概率，可得， 解得， 因为是1到9的整数，所以的可能取值为， 即小明抽到的数字可能是6，7，8，9． 21．(1)；； (2)； (3)示例：从中位数看，城区学校艺术成绩整体水平高于农村学校，建议加大农村学校艺术教学投入，提升农村学生艺术成绩.（答案不唯一，合理即可）． 【详解】（1）解：为城区学校第5名第6名两名学生成绩的平均数， , （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为城区学校95分以上学生有2人，分别记为，画树状图如下： 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种， ． （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $