（暑假预习课）专题08：圆周角问题-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 以圆周角定理为核心，通过基础计算、综合证明、实践操作三级训练，系统构建“概念-性质-应用”逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|16（单选1-10、填空11-16）|圆周角定理及推论（同弧等角、直径对直角）|从圆心角与圆周角关系切入，逐步拓展至圆内接四边形对角互补| |综合证明|5（解答17-21）|辅助线添加（连半径/直径）、等量代换推理|结合菱形、矩形等图形性质，构建“定理应用-多结论推导”链条| |实践操作|2（解答18-19作图）|尺规作图（垂直平分线、外接圆）|通过图形操作深化对垂径定理、圆的对称性的理解|

(暑假预习课)专题08：圆周角问题-2026-2027学年数学九年 级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1.如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点.若∠B0C=68°，则∠C的度数为( A.30° B.34° C.38 D.60° 2.如图，AB是⊙0的弦，点C在⊙0上.若∠ACB=26°，则∠AOB=() A.10° B.26° C.40° D.52 3.如图，在⊙O中，弦AB,CD交于点E,连接AD,BC.若∠A=50°，∠AED=100°， 则∠B=() 4 B D A.30° B.40° C.50° D.60° 试卷第1页，共3页 4.如图，点A、B、C、D为O0上的点，四边形AOBC是菱形，则∠ADB的度数是() B A.30° B.45° C.50° D.60° 5.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点P为边AC上不与点A,C重 合的任意一点，连接BP.若∠BAC=60°，则∠ABP的度数可能为() B A.20° B.35° C.45° D.60° 6.如图，AB是OO的直径，CD是⊙O的一条弦，CD1AB,连接OD,若∠CAB=22°， 则∠BOD的度数是() 夕 D A.12° B.22° C.44° D.40° 7.刻图，四边形BCD内接于O0:连接0：已知∠B1D-BCD,且C-C,则 ∠BDC的度数为() 试卷第2页，共3页 B A.25° B.30 C.50° D.60° 8.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,点F为O0上一点，且满足 ∠AFC=22.5°，AB=8,则CD的长为() B A.4V2 B.4V5 C.4 D.22 9.如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，∠B0C=50°，以点C为圆心，CB长为半径 1 作弧交AB于点D,再分别以B,D为圆心，大于2BD长为半径作弧，两弧交于点E,连 接CE并延长交O0于点F,点P在4C上，连接PA,PF,则∠P的度数为() A.50° B.55° C.65° D.75 10.如图，在⊙0中，OA⊥BC,∠BC0=40°，则∠BDA的度数是() 试卷第3页，共3页 B C A.20° B.25° C.30° D.35 二、填空题 1.同圆中，己知B所对的圆心角是80°，则B AB 所对的圆周角度数 12.如图，C是以AB为直径的 0上一点，点D在8C上，∠ABC=20°，则∠CDB= D B 13.如图，点A,B,C在⊙0上，若∠A=28°，则∠0=度. A B 14.如图，己知AB是⊙0的直径，∠D=38°，则∠BAC的度数是 A B 试卷第4页，共3页 15.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，连接A0,OC,∠OCD=40°，AO∥CD。 则∠ADC的度数为一. B 16.如图，△ABC内接于⊙0，连接OB,OC,作BD∥OC交⊙0于点D,若∠A=66°， 则∠CBD的度数为 三、解答题 I7.如图，圆中两条弦AB、CD相交于点E,且AB=CD.求证：EB=EC. 18.图①、图②是由边长为1的小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 其中点A、D为格点，⊙O经过点A、D,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务！ 试卷第5页，共3页 图① 图② (I)如图①，过点O作AD的垂线，交⊙O于点E、F: (2)如图②，点B在⊙0上，过点B作弦BC‖AD 19.已知矩形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE,BE,F为EB上一点，且EF=ED, D F E 图① 图② (I)如图①，作⊙O,满足圆心O在AB上，且⊙O经过点4F(要求：尺规作图，保留作 图痕迹，不写作法)： (2)在(1)的条件下，如图②，若点B在⊙0上，求证：BA=BE. 20.如图1和图2，△ABC是等边三角形. 图1 图2 (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出△ABC的外接圆⊙0.（保留作图痕迹，不写作 法) 试卷第6页，共3页 ②点P在AC上《点P不与点A、C重合)，在图2中连接P1、PB、PC,求证： PB=PA+PC 2L.四边形ABCD是OO的内接四边形，AC是对角线，CA平分∠BCD. D D D A E 0 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB=AD; (2)如图2，点E在线段CD上，连接AE,AB=AE,连接BE,∠BED=135°，求证： BC⊥CD: (3)如图3，在(2)的条件下，作BH⊥AB交⊙O于点H,交线段AC于点F,连接CH, 请你探究线段DE、线段CH的数量关系，并证明你的结论. 试卷第7页，共3页 《（暑假预习课)专题08：圆周角问题-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教 材)》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D 0 B B 1.B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半， 【详解】解：∠A=∠B0C,∠B0C=68° .∠A=34°， 又：OA=OC, .∠C=∠A=34°， 2.D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解. 【详解】解：∠AOB=2∠ACB=2×26°=52° 3.A 【分析】根据同弧对等角和对顶角相等推出∠C和∠CEB的度数，最后根据内角和定理即 可求出∠B度数. 【详解】解：由图可知，∠A=∠C,∠AED=∠CEB」 :∠A=50°，∠AED=100° .∠C=∠A=50°，∠CEB=∠AED=100°， .∠B=180°-∠C-∠CEB=180°-50°-100°=30° 4.D 【分析】连接OC,根据菱形的性质和圆的半径相等，可证得△AOC和△BOC均为等边三 角形，从而求出圆心角∠AOB的度数，最后利用圆周角定理即可求得∠ADB的度数. 【详解】解：连接OC, 答案第1页，共2页 B 四边形 是菱形， AOBC ∴.OA=AC=BC=OB, .0A=OB=OC, ∴OA=AC=OC,OB=BC=OC, ∴△AOC和△BOC均为等边三角形， ∴.∠AOC=∠BOC=60° ∴.∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°， :∠ADB与∠AOB分别是弧AB所对的圆周角和圆心角， :∠ADB=1∠A0B=600 5.A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出∠ACB=90°，根据∠BAC=60°，求出 ∠ABC=90°-60°=30°，得出0°<∠ABP<30°，再进行判断即可. 【详解】解：：AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° ∠BAC=60°， ∴.∠ABC=90°-60°=30° :点P为边AC上不与点A,C重合的任意一点， .0°<∠ABP<30°， .0°<20°<30°<35°<45°<60° 四个选项中只有A选项符合题意 6.C 【分析】连接C0,由圆周角定理得到∠B0C=2∠BAC=44°，再由垂径定理得到 BD=BC ，即可根据等弧所对圆心角相等求解。 【详解】解：连接CO, 答案第2页，共2页 B BC=BC .∠B0C=2∠BAC=2×22°=44° ,AB是直径，AB⊥CD, BD-BC .∠BOD=∠B0C=44° 7.B 【分析】先利用圆内接四边形对角互补结合已知角度关系求出∠BCD的度数，再根据等弧 对等弦判定△BCD为等腰三角形，最后计算得到∠BDC的度数， 【详解】：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠BAD+∠BCD=180°. :∠BAD=5∠BCD .3∠BAD=180°， .∠BAD=60°， .∠BCD=120°. BC=DC .BC=DC, .∠DBC=∠BDC, ,△BCD是等腰三角形， .∠DBC=∠BDC=30°， 8.A 【分析】连接OC,由垂径定理得到CD=2CE,根据圆周角定理，得到 ∠COE=2∠AFC=45°，由此得到△CE0是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质 答案第3页，共2页 即可求解. 【详解】解：如图，连接OC, B ,OO的直径AB垂直于弦CD, ∴.∠CEO=90°，CD=2CE, ∠AFC=22.5°， .∠COE=2∠AFC=45°， .△CEO是等腰直角三角形， .'.OE CE, AB=8, 1 ..OC=AB=4 2 ,在RtACE0,CE2+OE2=OC2,即CE2+CE2=42, :CE=25 CD=2CE=42 9.C 【分析】根据作图可得 CF⊥AB 根据垂径定理可得 CB=CF ∠BOF=50° 得出 进而得 出∠AOF=130°，再根据圆周角定理，即可求解. 【详解】解：如图，连接OF, 根据作图可得CF⊥AB 答案第4页，共2页 .CB-CF .:∠B0C=50 ∴.∠BOF=50° ∴.∠AOF=130° 2P-40F-130=6 10.B 【分析】由垂径定理可得∠40B=50°，AC=B 再利用圆周角定理即可得到答案. 【详解】解：OA⊥BC,∠OCB=40 ∴.∠A0C=90°-40°=50°AC=AB ∠ADB32A0C=250 11.40° 【分析】根据圆周角定理，同圆中同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半. 【详解】解：同圆中，B所对的圆周角是80°×2=40° 2 12.110 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB=90°，利用三角形内角和定理求出 ∠CAB的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解. 【详解】解：AB是⊙O的直径， .∠ACB=90 ∠ABC=20°， ∴.∠CAB=90°-∠ABC=70° 四边形ACDB内接于⊙O, .∠CDB+∠CAB=180°， ∴.∠CDB=180°-70°=110° 13.56 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.根据 图形可知∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC(即∠O)是弧BC所对的圆心角，利用定理 答案第5页，共2页 直接计算即可， 【详解】解：：∠A是OO中弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角， .∴.∠BOC=2∠A :∠A=28° .∠B0C=2×28°=56°.即∠0=56°」 14.52° 【分析】先根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠ABC=∠D=38°，再根据直角三角形的性 质求解即可. 【详解】解：由圆周角定理得，∠ABC=∠D=38°， ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， 则∠BAC=90°-∠ABC=52° 15.110°/110度 【分析】平行线的性质求出∠AOC的度数，圆周角定理求出∠ABC的度数，再根据圆内接 四边形的性质，求出∠ADC的度数即可. 【详解】解：∠OCD=40°，AO∥CD, .∠A0C=180°-∠0CD=140° ADC=ADC A∠ABC=)∠40c=70 ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180° .∠ADC=110° 16.24°/24度 【分析】先由圆周角定理得到∠BOC=2∠A=132°，再由等边对等角和三角形内角和定理 得到∠OBC=24°，根据平行线的性质求解， 【详解】解；∠A=66°， .∠B0C=2∠A=132°， ..OB=OC, 答案第6页，共2页 :∠0C=∠0CB=180-B0C-24、 2 ,BD∥OC, .∠CBD=∠OCB=24°. 17.证明：：AB=CD, AB=CD :AB-AD-CD-AD 即AC=D ..AC=BD .∠ABD=∠ACD,∠AEC=∠BED :△1CE≌DBE(AAS,) .'EB=EC 【分析】根据已知求得AC=BD,可得AC=BD,再通过证明△ACE≌aDBE即可得. 【详解】略 18.(1)解：EF即为所求作： DK✉O (2)解：BC即为所求作： 答案第7页，共2页 【分析】(I)取格点Q,K,连接QK交AD于N,过O,N作直线交OO于E,F即可： (2)取格点O,K,连接QK交AD于N,过O,N作直线交⊙0于E,F,连接AB交EF 于M,连接DM并延长交⊙O于C,连接BC,则BC即为所求。 【详解】(I)解：理由：由格点图形可得：四边形AQDK为正方形， .DN=AN, .ON⊥AD,即EF⊥AD; (2)解：理由：同(1)得：EF是AD的垂直平分线， ∴.MA=MD, .∠MAD=∠MDA, '∠MAD=∠MCB .∠MDA=∠MCB, .BCIlAD 19.(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)利用垂径定理知圆心在弦的垂直平分线上，画AF的垂直平分线即可； (2)先利用直径所对圆周角为直角和矩形的性质，证得RIAADES≌Rt△AFE,得到对应角 相等，再利用平行线的性质得到对应角相等，等量代换后，利用在同一个三角形中，等角 对等边求出答案。 【详解】(1)解：如下图所示，⊙0即为所求 ,圆心在AB上， .AF是圆上的弦， 则圆心在弦的垂直平分线上， 答案第8页，共2页 ∴作AF的垂直平分线交AB于点O, 以点O为圆心，OA为半径画圆， 则⊙0为所求圆： (2)证明：如下图所示，连接AF, ,AB是直径， ∴.∠AFB=∠AFE=90° ,四边形ABCD是矩形， ∴，∠D=∠AFE=90°，CDIIAB」 AE=AE,ED=EF, ,Rt△ADE≌Rt△AFE(HL) ∴.∠AED=∠AEF, .CD/lAB ∴.∠AED=∠EAB, ∴.∠AEF=∠EAB, ∴.BA=BE D E B 20.(1) 如图1所示，⊙0即为所求 0 B 图1 答案第9页，共2页 (2) 证明：如图2，延长PA至点E,使AE=PC,连接BE, 图2 ,四边形ABCP是⊙O的内接四边形， ∴.∠BAP+∠BCP=180° ,∠BAP+∠BAE=180°， ∴.∠BCP=∠BAE ,△ABC是等边三角形， .BA=BC, :△PBC≌△EBA(SAS) ∴.PB=EB,∠PBC=∠EBA」 .∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， ∴，△PBE是等边三角形， .PB=PE, ∴.PB=PE=PA+AE=PA+PC 【分析】(1)分别作AB,BC的垂直平分线交于点O,以OA为半径作⊙0即可； (2)延长PA至点E,使4E=PC,连接BE,证 △PBC≌△EBA(SAS) 进而证明 △PBE是等边三角形，根据线段的和差关系，即可求解， 【详解】(1)略 (2)略 21.(1) 证明：，CA平分∠BCD .∠ACB=∠ACD, .AB=AD 答案第10页，共2页 .AB=AD: (2) 证明：AB=AE, 可设∠ABE=∠AEB=, .∠BAE=180°-2a, .∠BED=135°， .∠AED=135°-a, AB=AD, .AE AD, .∠AED=∠ADE=135°-a, ,∠DAE=180°-2(135°-a）=2a-90° .∠DAB=∠DAE+∠EAB=180°-2a+2a-90°=90° ,四边形ABCD内接于⊙O, .∠BAD+∠BCD=180°. .∠BCD=90°， .BC⊥CD (3) 解： DE =2CH 证明：连接DH,延长AC使CH=CK,连接HK,BK, D 由(2)得∠BAD=90°， LBHD=∠BCD=90°， ,BH⊥AB, .∠ABH=90°， 答案第11页，共2页 .∠BAD=∠BHD=90° .四边形ABHD是矩形， AB=AD ,矩形ABHD是正方形. :AD=BH=AB=DH, :AB=DH=AD .∠ACB=∠DCH=∠ACD」 又：∠4CB=)∠BCD=45° .∠DCH=∠ACD=45°， .∠BCH=135°，∠HCK=90°， .∠BCK=135°， .∠BCK=∠BCH, 在△BCH和△BCK中， BH=BK ∠BCH=∠BCK BC=BC △BCH≌△BCK(SAS) .∠CBK=∠CBH,BH=BK, .∠HBK=2∠CBH 又HC=HC .∠CDH=∠CBH, .∠ADE=90°-∠CDH, .∠DAE=2∠CDH. .∠DAE=∠HBK, 在△ADE和△BHK中， AD=BH ∠DAE=∠HBK AE=BK 答案第12页，共2页 △ADE≌△BHK(SAS) .DE HK, 又HK2=CH2+CK2, CH=CK, .HK2=2CH2 HK=CH DE=2CH AB=AD 【分析】(1)由圆的基本性质得 ,即可得证： (2)由等腰三角形的性质得可设∠ABE=∠AEB=a, ∠DAE=180°-2(135°-a)=2a-90° ”,可得∠DMB=∠D1E+∠EAB=90°，由圆的内接四 边形的性质∠BCD=90°，即可得证； (3)连接DH,延长AC使CH=CK,连接HK,BK,由正方形的判定方法得矩形 ABHD是正方形，由圆的基本性质得∠ACB=∠DCH=∠ACD,由SAS可判定 △BCH≌aBCK,由全等三角形的性质得∠CBK=∠CBH,BH=CK,同理可证DE=HK, 由勾股定理得HK2=CH+CK2,即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 答案第13页，共2页