（暑假预习课）专题09：直线与圆的位置关系-2026-2027学年数学苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦直线与圆位置关系，以切线性质与判定为核心，通过分层题型构建“概念-性质-应用”逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1题（四心位置）|分类讨论三角形四心位置特征|从三角形心概念延伸至圆的位置关系| |切线性质|5题（含角度计算）|切线垂直半径、圆周角定理转化|切线性质→角度/线段计算→几何推理| |内切圆计算|3题（半径、周长）|等面积法、切线长定理|直角三角形性质→内切圆半径公式推导| |综合证明|3题（切线判定、线段关系）|构造辅助线（连圆心、作垂线）|切线判定定理→全等/相似证明→综合应用|

（暑假预习课）专题09：直线与圆的位置关系-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 2．在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 5．如图，是的切线，为切点，连接，与交于点，为上一动点（点不与点，重合），连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，，分别与相切于A，B两点，点C在优弧上，点D在劣弧上，且，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，、与半径为2的相切于、两点，是的直径，，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，分别是的切线，A，D为切点，经过圆心O交于点E，连接，若，则（　　） A．28° B．45° C．52° D．59° 10．如图，在中，，，，是的内切圆，是的切线，交，分别于点．则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 二、填空题 11．若以点为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是______． 12．如图，P为外一点，切于点A，若，，则的半径是________． 13．如图，，是的切线，切点分别是A，B．若，，则_____ ． 14．如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点，量得的长是，则剩余（阴影）部分的面积是______． 15．如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则_____． 16．如图，在矩形中，是的中点，若是直径，是直线上任意一点，与相切于点，，当最大时，的长为___________． 三、解答题 17．如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 18．如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 19．如图，是的直径，是的半径，，点为上方圆周上一点，连接，，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线上取点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． (3)在（1）的条件下，若，，求的长． 20．如图，为的直径，点在上，点，分别在的边，上，，分别与相切于点，． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 21．综合与探究 课堂上，老师和同学们一起探讨一道课本习题． 习题再现 (1)如图①，为的直径，是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，则与的数量关系为________； 习题变式 (2)善思小组对（1）中题目的条件和结论进行了置换，请你解答：如图①，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线； 拓展探究 (3)智慧小组对（1）中的题目进行了改编：如图②，是的直径，是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，直线与的延长线交于点．的平分线交于点，交于点． ①若，求的度数； ②观察图形，直接写出图中与相等的一条线段． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假预习课）专题09：直线与圆的位置关系-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A D B D D D C 1．B 【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可得到答案． 【详解】解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部； 重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部； 外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，因此外心不满足条件； 垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因此垂心不满足条件． 综上所述，满足条件的心共有种． 2．A 【分析】设的三边分别与相切于点、、，连接，，，，，，然后利用等面积法进行计算即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴， 设的三边分别与相切于点D、E、F，连接，，，，，， ∴，，， 设的半径为， ∴， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ， ∴． 3．A 【分析】连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 4．A 【分析】取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点， ∴经过球心， ∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，，即， 解得：， ∴球的半径为． 5．D 【分析】连接，由切线的性质可得，则，由圆周角定理可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．B 【分析】连接，，利用圆内接四边形的对角互补，求出，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出，再由切线的定义得出，最后利用四边形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接，， 圆内接四边形的对角互补，， ， ， ，分别与相切于点A，B， ， ． 7．D 【分析】连接，由圆周角定理得，得，证明是等边三角形，得，，由勾股定理可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又、是的切线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． 8．D 【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 9．D 【分析】如图：连接，由切线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得、，由圆周角定理可得，即，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵分别是的切线，A，D为切点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即D选项符合题意． 10．C 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，正方形的判定与性质，勾股定理，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为，则，，得到的周长为，勾股定理求出，利用，求出，证明四边形是正方形，得到，求出，即可得到结果． 【详解】解：如图，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为， 则，， ∴的周长为， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 11．或2 【分析】本题考查了切线的性质，圆与坐标轴的交点问题，正确分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：①经过原点；②与轴相切且与轴相交，再结合图形分别求出对应的圆的半径长即可． 【详解】解：①如图，当经过原点时，与两坐标轴只有3个交点， 此时该圆的半径长； ②如图，当与轴相切（切点为）且与轴相交时，与两坐标轴只有3个交点， 则轴， 此时该圆的半径长； ∴综上，该圆的半径长是或2． 故答案为：或2． 12．3 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，连接，由切线的性质可得，则可证明是等腰直角三角形，得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵切于点A， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的半径是3， 故答案为：3． 13．6 【分析】本题考查了切线长定理、含的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据切线长定理推出平分，进而解题． 【详解】解：由题意知，平分， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：6 ． 14． 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆的面积计算，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接，由切线的性质可得，即得，即得到，再根据圆的面积公式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接， ∵小圆与相切于， ∴， ∴， ∴， ∴剩余部分的面积为， 故答案为：． 15．/74度 【分析】本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得的度数，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别与相切于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 16． 【分析】连接，延长交的延长线于点，过点作于点，由矩形的性质得到，，根据勾股定理求出，由切线的性质推出，判定，得到，从而推出，由，推出当最大时，，得到点与点重合，证得，推出，，进而求出，，最后利用三角形面积公式，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，延长交的延长线于点，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴在中，， ∵与相切于点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当最小时，最大，最大， ∴当最大时，， 此时，点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，关键是判定当最大时，，由三角形面积公式得到． 17．证明：连接 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上， ∴为半径， ∴直线是的切线． 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明为等腰三角形，则由三线合一得到，即可证明． 【详解】略 18．(1)证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； (2)， 证明：如图，连接，过点作于点， ∴ 由（1）可得 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，根据得出，等量代换可得，即可得出； （2）连接，过点作于点，证明得出，进而证明，得出，根据线段的和差关系，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 19．(1) (2)证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，即， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线． (3) 【分析】（1）根据题意作的垂直平分线交于点； （2）根据得出，根据对顶角相等可得，则，根据，得出，由可得即，即可得证； （3）设，则，由（2）可知，且，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设． ∵， ∴． ∵， ∴， 由（2）可知，且， ∴在中，由勾股定理，得， ∴，解得， ∴的长为． 20．(1)证明：∵为的直径， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，分别与相切于点，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； (2) 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据平行四边形的性质得到，再由圆的切线的性质证明即可； （2）过点作于点，由垂径定理得，然后求出， 再证明四边形是矩形，则，，再由勾股定理求解，最后由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，则， ∵经过圆心， ∴， ∵在中，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵，四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21．(1) (2)证明：连接，如图所示： ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； (3)①；② 【分析】（1）连接，由切线性质及已知条件，结合平行线的判定与性质得到，在中由半径相等得到，等量代换即可确定与的数量关系； （2）连接，在中由半径相等得到，再由角平分线定义得到，等量代换得出，进而判定，再由平行线的性质及判定，从而由切线的判定即可得证； （3）①连接，由切线性质及已知条件，结合平行线的判定与性质得到，在中由半径相等判定是等边三角形，由等边三角形性质及切线性质，数形结合表示出，代入角度计算即可； ②先由切线性质、直径所对的圆周角是直角得到，，再由圆的半径相等得到，确定、然后由外角性质及已知得到、，再由角平分线定义得到，即可得到，最后由等角对等边即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 为的切线，切点为点， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：①连接，如图所示： 为的切线，切点为点， ，则， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； ②为的切线，切点为点， ，则， ， 是的直径， ，则， ， ， ，， ， 是的一个外角， ， 平分， ， ， ，则． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $