（暑假预习课）专题10：圆综合-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦圆的性质与应用，通过分类讨论、辅助线添加等方法体系，构建从概念到综合应用的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|选择1/3/8/10|垂径定理+勾股定理、分类讨论|半径/弦→垂径定理→圆心角与圆周角关系| |位置关系|填空11/12/14/15|切线性质、点圆位置判定|点/线与圆位置→切线判定→角度转化| |计算应用|解答17/19|扇形/圆锥转化、面积分割|弧长/面积公式→正多边形分割→实际应用（拱桥/筒车）| |综合证明|解答20/21|圆内接四边形性质、全等/菱形判定|直径性质→圆内接四边形→切线与几何图形综合|

（暑假预习课）专题10：圆综合-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．如图，翠湖公园一座拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱高为8米，求圆弧所在圆的半径为（    ）米． A．5 B．12 C．13 D．26 2．如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据，则这个圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 4．如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 5．如图，由边长相同的小正方形组成的网格，点都在小正方形的顶点上，则点是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．无法确定 6．如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 9．如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 13．如图，点、、在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是______． 14．如图，点为上一点，点为延长线上一点，切于点，连接，若，则的度数为______． 15．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形，一个巢房的横截面为正六边形（如图），正六边形内接于于点，且，则这个正六边形的边长是___________． 16．是的内切圆，与边分别相切于点，若点在内部（含边界）且满足，则所有点组成的区域的面积为__________． 三、解答题 17．如图，拱门的上部是一段圆弧，其圆心O在线段上，点E是弧的中点，下部是宽为，高为的长方形，已知拱门最高处E距离地面的高度为，于点P，连接．求上部圆弧的半径的长． 18．如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点 (1)在图①中，A、B、C三点是格点，请你画出经过A、B、C三点的圆的圆心O，在上作点D，使； (2)在图②中，经过格点A、格点B和格点C，圆心O也在格点上，连接，，请在上作点E，使平分，并在上作点F，使得． 19．如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 20．如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 21．如图1，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． (1)求证：； (2)若是的切线，，连接，如图2． ①证明四边形是菱形； ②当时，求与围成阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假预习课）专题10：圆综合-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D B C D B A B 1．C 【分析】延长到，使得，利用勾股定理和垂径定理解答． 【详解】解：延长到，使得，则为圆心， 拱桥的跨度米，， ， ， 即， 解得． 圆弧所在圆的半径为． 2．B 【分析】根据圆锥的主视图可得圆锥的底面直径和高，利用勾股定理求得母线长，再根据圆锥的侧面积公式和底面积公式计算即可． 【详解】解：由图可知，圆锥的底面直径为，高为， ∴圆锥的底面半径， ∴圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面积，圆锥的底面积， ∴圆锥的表面积． 3．B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 4．D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 5．B 【分析】本题考查了三角形的外心，勾股定理与网格，连接，由网格可得，然后根据三角形的外心的定义即可判断，熟练掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格可得， ∴点是的外心， 故选：． 6．C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 7．D 【分析】由圆的切线的定义得出，由直角三角形两个锐角互余可得出，最后由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是的切线，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．B 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．过 作于 ，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过 作于 ， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， ∵正方形的面积为 ∴这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为 9．A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 10．B 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 11．点P在外 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， 可得， 因此点与的位置关系是点在圆外． 12． 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 13．/95度 【分析】连接，设与交于点，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，由圆周角定理得到，然后由三角形外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵是弧的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．/度 【分析】连接，由切线的性质可以求出的度数，再利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：连接， 切于点， ， 又， ， ， ， 又是的外角， ， ． 15． 【分析】连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出，即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴这个正六边形的边长是． 16．/ 【分析】过点作，交于点，连接，由题意易得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可知要使点在内部（含边界）且满足，则有所有点组成的区域为的下方半圆，然后根据内心的性质可得的半径，进而问题可求解． 【详解】解：过点作，交于点，连接，如图所示： ∴，即垂直平分， ∴当点在上时，则根据线段垂直平分线的性质可知：， ∴， ∴要使点在内部（含边界）且满足，则有所有点组成的区域为的下方半圆， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的内切圆， ∴点到的三边距离都是的半径， ∵， ∴， ∴半圆的面积为， 即所有点组成的区域的面积为． 17． 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由题意得圆心在上，，设，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意得圆心O在上， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴上部圆弧的半径是． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）运用矩形的对称性，通过取格点N，确定圆心O，再运用全等三角形的性质与判定，取格点M，从而得到，连接，有圆的对称性，得到； （2）运用垂径定理确定点Q，从而得到平分，再构造三角形的中位线，得到． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，则O即为圆心，取格点M，连接，则，连接，则； （2）解：如图，根据网格的特点取的中点P，连接并延长交于点Q，连接交于点E，根据垂径定理可得，则； 连接，并延长交网格线于点H，则，连接交网格线于点G，则，则； 19．(1)证明：是弧AB的中点， ， ， ， ， 在和 中， 由，， ． (2)四边形是菱形 证明：如图连接、 由圆的性质知 ，由D、E分别是、的中点，得， 由知， 在和中， 由， ， ， 同理可证， ， 综上可得 ，故四边形是菱形． 【分析】（1）由C是弧的中点得到，故可证明，从而；（2）通过中点及圆的性质可知四边形四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 21．(1)证明见解析 (2)①四边形是菱形，理由见解析；② 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，然后根据等角的余角相等解题即可； （2）①根据圆周角定理得到，然后利用两组对边平行推导四边形是平行四边形，然后利用，得到结论； ②阴影部分的面积为，再利用扇形的面积公式和三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； ②由①知，四边形是菱形， ∴， ∴， 由①知，， 在中，， ∴， ∴与围成阴影部分的面积为 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $