专题07：圆的对称性问题（暑假预习课）2026-2027学年数学九年级上册苏科版

**基本信息** 聚焦圆的对称性，以垂径定理和勾股定理为核心，通过基础辨析、性质计算、综合证明及实际应用构建完整方法体系，强化几何直观与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2题|三线合一辨析、等圆性质应用|从圆的对称性概念出发，关联等腰三角形、正方形性质| |性质计算|单选3-9题、填空11-14题|垂径定理构造直角三角形、弦弧圆心角关系转化、分类讨论（如水面高度）|以垂径定理为桥梁，结合勾股定理实现半径、弦长、距离的互求| |综合证明|解答18-21题|对称性质证菱形、角平分线与弧中点关联|通过全等、等腰三角形性质深化对称性的逻辑推理| |实际应用|单选10题、填空15-16题、解答17题|“会圆术”模型、拱门/排水管道几何建模|将实际问题抽象为圆的对称模型，培养应用意识与空间观念|

（暑假预习课）专题07：圆的对称性问题-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．下列命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的角平分线、中线、高线“三线合一” B．等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 C．正方形兼具矩形和菱形的所有性质 D．实数与数轴上的点一一对应 2．如图，直径，弦，垂足为．若，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，，是上的两点，为劣弧的中点，，若，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 4．在中，为一条弦（不是直径），过作交于点，交于点，．若的半径为5，则的长为（     ） A．10 B．5 C． D． 5．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 6．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 7．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图是的直径，弦与相交于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 9．如图，已知的半径为5，，于点，且经过点，则的长是（    ） A． B． C． D． 10．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面高为_____m． 12．如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 13．半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则折痕的长为______． 14．如图，、、均为半径，，，点D为弧中点，则 ________． 15．沈括所著的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长的近似值l的计算公式：，当，时，______． 16．如图，于点，过，，三点作圆弧，其圆心为，作于点，于点．若，则的值为__________． 三、解答题 17．如图是我国古代园林的圆形拱门，它是的一部分，已知拱门的地面宽度，线段是过圆心且垂直于于点M，，求构成该拱门的的半径． 18．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 19．内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； (2)在图2中的圆上找一点，使得平分． 20．如图，与关于直线对称，为圆心，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若为的中点且，求⊙的半径． 21．如图，是的直径，弦于点E，F是上一点，连接，且平分， (1)求证：． (2)若，，求的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假预习课）专题07：圆的对称性问题-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D C C A A A D 1．A 【分析】根据各相关数学概念和性质，逐一判断选项正误即可得到答案； 【详解】解：∵等腰三角形"三线合一"的性质为：等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高线互相重合，并非任意角平分线、中线、高线都三线合一， ∴A选项说法错误，是假命题. ∵等圆中相等圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，符合圆的基本性质， ∴B选项是真命题. ∵正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，因此正方形兼具矩形和菱形的所有性质， ∴C选项是真命题. ∵根据实数与数轴的关系，所有实数都对应数轴上唯一的点，数轴上任意一个点也对应唯一的实数， ∴D选项是真命题. 综上，假命题为A； 2．B 【分析】连接， 由垂径定理可得的长，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，连接， 弦，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：． 3．B 【分析】连接，交于点，根据弦、弧、圆心角的关系得出和为等边三角形，进而得出四边形是菱形，根据菱形的性质，结合勾股定理分别求出、的长，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．D 【分析】先根据已知条件求出的长度，再结合勾股定理求出半弦长，最后根据垂径定理得到弦的长度． 【详解】解：如图， 的半径为， ， ， ， ， 由垂径定理得，且， 在中，由勾股定理得：， ． 5．C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 6．C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 7．A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 8．A 【分析】连接，过点作于点，先求出半径为，再证明是等腰直角三角形，得到，最后利用勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， 弦， ． 9．A 【分析】根据题意，可知，，结合垂径定理，可求得，然后利用勾股定理在以及中可分别求得以及． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： 根据题意可得：四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 11．0.2或0.8/或0.8或0.2 【分析】分水面在圆心下方和水面在圆心上方两种情况讨论，利用垂径定理结合勾股定理计算圆心到水面的距离，进而得到水面高度． 【详解】解：设截面圆的圆心为，弦为水面，已知，． 过点作于点，直线交下面圆弧于点D， 根据垂径定理可得： 在中，由勾股定理得： 分两种情况讨论： 当水面在圆心下方时， 水面高度为 ； 当水面在圆心上方时， 水面高度为 ． 故答案为或． 12． 【分析】连接，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，进而可知，再根据“弧、弦和圆心角的关系”可得，然后在中，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 13． 【分析】本题主要考查勾股定理，垂径定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．作交于，则，连接，根据勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：作交于，则，连接，如图 有， 对折后半圆弧的中点M与圆心O重合， 则，， ∴， 在中， ， ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题,垂线的定义理解，利用弧、弦、圆心角的关系求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据垂直的意义得出，从而可得，结合，可求得，再利用弧的中点得出，从而可利用两角的差求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D为弧中点， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 根据已知条件求得的长，代入即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是弦的中点，在上，， ∴， ∵， ∴在上，， 在中， ∴ ∴ 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识．连接，设，，得到，，．根据，，，得到四边形为矩形，，，进而求出，根据勾股定理得到，，进而得到，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴，． ∴四边形为矩形，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 17．构成该拱门的的半径为． 【分析】根据垂径定理求出，设的半径为，则，，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，线段是过圆心且， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴构成该拱门的的半径为． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理可知； （2）取格点，连接，此时交于一点I，作直线，交于点F，连接，此时点F为优弧的中点，则，则，可得到平分． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点F即为所求： 20．(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查了圆的垂径定理、轴对称的性质、菱形的判定定理以及勾股定理的应用，关键是结合轴对称性质得到线段的等量关系，利用垂径定理确定弦的中点，再通过设未知数结合勾股定理建立方程求解线段长度． （1）先根据轴对称的性质得到、，再由过圆心且，根据垂径定理推出，进而得到，由此证得四边形的四条边相等，依据四条边相等的四边形是菱形完成证明； （2）先由垂径定理求出的长度，结合为中点设，进而用表示出和半径，再在中根据勾股定理建立关于的方程，求解出的值后，代入计算即可得到⊙的半径． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴，； ∵为的圆心，， ∴， ∴； ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：设⊙的半径为， ∵，， ∴． ∵为的中点， ∴， 设，则． ∵与关于对称， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， 即，解得． ∴．故⊙的半径为． 21．(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）连接，证明，即可得证； （2）由（1）得到，垂径定理结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径，弦于点E， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， 设的半径为，则：，， 在中，由勾股定理，得， 解得； 故的半径为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $