（暑假预习课）专题03：反比例函数综合-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 以题载法构建反比例函数从概念到综合应用的完整训练体系，通过分层题型培养抽象能力与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1题|定义判断法|从表达式特征抽象反比例函数本质| |图象性质|3题|k符号分类讨论、坐标乘积法|由k值推导图象分布与点坐标关系| |几何综合|5题|一线三等角构造、k几何意义转化|几何图形性质与函数坐标互化| |实际应用|2题|数学建模法|用函数关系描述现实问题中的变量规律|

（暑假预习课）专题03：反比例函数综合-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 3．如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A．B．C． D． 5．一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 6．小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（   ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 7．如图，已知正六边形的一边在轴上，点在轴上，点坐标，反比例函数的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C．24 D．48 8．盐城市学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述甲、丁两所学校情况的点，恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中，成绩优秀人数最多的学校是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 10．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知反比例函数的图象经过点，则k为______． 12．若点都在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 13．如图，直线与轴、轴分别相交于点、，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点，则____________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，与y轴相交于点M，轴，若，则的长为_______． 15．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的边平行于轴，点在反比例函数的图象上，，，，将水平向右平移，当点落在反比例函数的图象上时，平移的距离为___________． 16．已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为________． 三、解答题 17．已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点． (1)正比例函数的解析式； (2)正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集． (3)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接，求的面积． 19．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且点的横坐标为1，． (1)求的值； (2)已知点在反比例函数的图象上，连接，若，求点的坐标． 20．如图1是某新款茶吧机，一次通电后，水温为，立即开始加热，经过8分钟加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．通电加热时水温y与通电时间t之间的函数关系如图2所示（此题只探究一次升温后持续降温的过程）． (1)将水从加热到，水温每分钟上升_________； (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间t的函数表达式； (3)请描出反比例函数的另外三个格点（横、纵坐标均为整数），并画出函数图象； (4)请直接写出加热一次，水温不低于的时间有多长？ 21．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于和两点． (1)分别求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在反比例函数图象上取点，过点作直线（不与轴垂直），交轴于点，连接． （i）如图，当直线与反比例函数的图象有且只有交点时，求点的坐标； （ii）设直线与反比例函数的图象在第一象限内相交于另一点，连接．当时，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假预习课）专题03：反比例函数综合-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C B B A B C C 1．B 【详解】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数； ②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数； ⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数； ∴符合条件的反比例函数共有4个． 2．D 【分析】反比例函数图象上的点，满足横纵坐标的乘积等于，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断正确选项． 【详解】解：∵ 反比例函数解析式为， ∴ 对图象上任意一点，都满足． A、，不满足，故此选项不符合题意； B、，不满足，故此选项不符合题意； C、，不满足，故此选项不符合题意； D、，满足条件，故此选项符合题意． 3．C 【分析】过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，构造一线三等角，然后证得，证得点的横纵坐标相等，将点代入反比例函数中求解． 【详解】解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作交的延长线于点， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点的横纵坐标的绝对值相等， 又∵点在第一象限， ∴点的横纵坐标相等， 设点，，且点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 4．C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 5．B 【分析】不等式表示一次函数值小于反比例函数值，结合两个交点坐标及对应函数图象即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为，其函数图象分别位于第二、四象限； 把，代入，得， 解得，即一次函数的表达式为． ∴反比例函数与一次函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，的取值范围是或． 6．B 【分析】已知与是反比例函数关系，先设反比例函数解析式，从图像读取一组对应点代入求出，再把代入解析式求出对应的． 【详解】解：由题意，设反比例函数解析式为．从图2中可得，当m时，N，将代入解析式： ， 解得，因此函数解析式为： ， 当拉力N时，代入解析式： ， 解方程： ， 即点与点之间的距离为4m． 7．A 【分析】连接，过点作于点，由条件可知，，则，，，易证四边形是矩形，根据勾股定理求出的长，即可得到点的坐标，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 由条件可知，， ，，， ， ，， ， ． ， ∴四边形是矩形， ， ∴． 在中，， ∴，解得（负值舍去）， ∴点． ∵反比例函数的图象经过点， ． 8．B 【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：根据题意可知，的值即为该校的成绩优秀人数． 描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 甲、丁两所学校的的值相同，即成绩优秀人数相同． 描述乙学校情况的点在反比例函数图象上方，描述丙学校情况的点在反比例函数图象下方， 乙学校的的值最大，即成绩优秀人数最多． 9．C 【分析】连接，设，则得点D的坐标，根据三角形的面积为3求得k的值，再由得点C的坐标，由点C在反比例函数的图象上，求得的值，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵垂直于轴，为垂足，点D在的图象上， ∴， ∴， ∵三角形的面积为3， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．C 【分析】由正方形的性质以及反比例函数可得，即、．再根据的面积为10列方程可求得，即；再利用轴对称和勾股定理求最值即可． 【详解】解：∵正方形的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴， ∴，． ∵的面积为10， ∴， 解得：， ∴． 如图：作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，的最小值为的长． ∴，， ∴． 11．2 【详解】解：反比例函数的图象经过点， 将代入得：， 解得． 12． 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限及增减性，再根据两点横坐标的大小比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：对于反比例函数，其比例系数，因此函数图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 点，的横坐标满足， 说明两点都位于第三象限， 所以． 13．12 【分析】先求出点，可得，作轴，垂足为E，连接，证明，可得，，从而得到点D的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 当时，，当时， 解得， ∴点， ∴， 如图，作轴，垂足为E， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为， ∵曲线在第一象限经过点D， ∴． 14． 【分析】利用反比例函数的“”的几何意义求出的面积，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点P，Q分别在反比例函数和的图象上， 且轴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 解得． 15． 【分析】根据点A在反比例函数的图象上，得出反比例函数的解析式，过点C作交于点D，依据勾股定理和所对的直角边是斜边的一半算出点C坐标，进而得出平移的距离． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 所以， 所以反比例函数， 因为，，， 所以，， 过点C作交于点D， 所以 所以， 所以， 所以， 所以点C纵坐标为，横坐标为， 在反比例函数中，当时，， 所以当点落在反比例函数的图象上时，平移的距离为． 16． 【分析】设，则，，可求出，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴，轴， ∴，点M的横坐标为m，点N的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴． 17．(1) (2) 另一个交点的坐标为. 【分析】（1）把代入求出m，把代入即可求出正比例函数的解析式； （2）求出方程组的解即可． 【详解】（1）解：把代入，得； 所以， 把代入，得， 解得， 所以，正比例函数的解析式； （2）解：联立，解得或， 因为， 所以，正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标为． 18．(1)， (2)或 (3)12 【分析】（1）把代入可得反比例函数解析式，求解，再利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）利用数形结合的方法解题即可； （3）设与x轴交于点D，连接，求解，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数过， ∴， ∴反比例解析式：． 将代入：，即． 把、代入： ∴， 解得：， 一次函数解析式：． （2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点． ∴结合函数图象，的解集：或． （3）解：设与x轴交于点D，连接， 由题意可知，点A与点C关于原点对称， ， 在中，当时，， ， 轴于点D， ． 19．(1)， (2) 【分析】（1）先求解，结合，可得，求解一次函数的表达式是；再求解，进一步可得答案； （2）求解，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象分别与轴，轴交于点， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 一次函数的表达式是； ∵反比例函数的图象交于点，且点的横坐标为1， ∴， ∴， 反比例函数表达式为． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．(1)10 (2) (3)见解析 (4)13分钟 【分析】（1）根据“升温速率=总温差÷总时间”计算即可， （2）设反比例函数解析式为，根据图象过点，利用待定系数法求出值即可， （3）根据求出的反比例函数解析式，取为800的因数且的整数值，计算对应的值，描点画图， （4）水温不低于包含两个阶段：加热阶段和降温阶段。分别令加热时的函数值和降温时的函数值，求出对应的时间范围，计算时间差． 【详解】（1）解：由题意可知，水温从加热到用时分钟， 温度上升的总量为：， 水温每分钟上升：， 故答案为：10． （2）解：在水温下降的过程中，设关于的函数表达式为， 由图象可知，当时，， 将代入，得： ． 解得， 在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为． （3）解：根据函数表达式，取为800的因数（且），寻找横、纵坐标均为整数的点： 当时，，点为， 当时，，点为， 当时，，点为， （注：答案不唯一，如等亦可） 函数图象为经过点以及上述三个点的平滑曲线（双曲线的一支），图象如下： （4）解：我们需要求水温的持续时间， ①在加热过程中： 设加热过程的函数表达式为， 图象过点和， ，解得， ， 令，解得，即， 所以在加热阶段，从第分钟开始水温不低于； ②在降温过程中： 函数表达式为， 令，解得，即， 所以在降温阶段，直到第分钟水温都不低于， 综上所述：水温不低于的时间段为， 持续时间为：（分钟）． 21．(1)， (2)（i） （ii） 【分析】（1）先求出点A坐标，再将点A坐标代入反比例函数求解即可，反比例函数与正比例函数图象交点关于原点对称； （2）（i）先求出点M的坐标，直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，联立直线l和反比例函数的表达式，，即可求出直线的表达式，令，即可求出点C的坐标； （ii），则和所在直线的K相等，C、D、M三点共线，则和所在直线的K相等． 【详解】（1）解：∵在直线的图象上， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数的图象相交于A和两点， ∴点A、点B关于原点对称， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 答：反比例函数的表达式为，点的坐标为； （2）（i）∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将代入得：， 即， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 整理得：， ∵直线与反比例函数的图象有且只有交点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 令， 解得： ， ∴点的坐标； （ii）设点的坐标为，点C的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 设所在直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 设所在直线的表达式为：， 将、代入得：， 解得：； 设所在直线的表达式为：， 将、代入得：， 解得： ， ∵点C、D、M在同一条直线上， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∵点D在第一象限内， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，联立两个表达式，，两条直线平行，则两条直线的所在直线的比例系数相等． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $