暑假结业测试卷（范围：前3章）（暑假预习举一反三学情自测·提高篇）新九年级数学上册新教材苏科版

**基本信息** 暑假结业提高卷（苏科版前3章），24题150分，通过一元二次方程、反比例函数、圆等知识，以诗歌情境（如周瑜年龄问题）、几何动态（如动点面积）等设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识，可量化学生综合掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|一元二次方程根的判别、反比例函数性质、圆内接角|结合河南、陕西等地模拟题，如“同族二次方程”创新定义| |填空题|6/30|反比例函数图像点坐标、圆的直径与弦、图形旋转|如等腰三角形中点旋转与反比例函数交点，考查空间观念| |解答题|8/80|方程证明、函数综合、圆与菱形动态问题|20题菱形动点面积结合一元二次方程，24题圆内接四边形面积关系，体现运算能力与推理能力|

暑假结业测试卷（范围：前3章）（提高篇） 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（2026·河南驻马店·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：由题意可知：且， 且 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质的综合应用．根据反比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数图象的两个分支在第二、四象限， ∴，A正确； 由函数图象可知，在每个象限内，值随值的增大而增大，B正确； 根据反比例函数的对称性可知，若点的坐标为，则点的坐标为，C正确； 根据反比例函数k的几何意义可知，，D错误； 故选：D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，令的交点为，先求出，再利用垂径定理及三角形内角和定理得到，最后求出等腰三角形的底角的度数即可. 【详解】解：连接， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴即：， ∴， ∵， ∴. 4．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最大值是（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【分析】根据新定义求得a、b值，再利用配方得到，然后利用非负性求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴一元二次方程的 “同族二次方程”为，即， ∴，，解得， ∴， ∵， ∴，即， ∴能取到最大值． 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别位于轴、轴的正半轴上，、、、分别是、、、的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．12 B．6 C．3 D．2 【答案】B 【分析】连接，易得四边形均为矩形，矩形的面积等于四边形的面积，根据值的几何意义即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴， ∵、、、分别是、、、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形均为矩形， ∴， ∴四边形的面积， ∵反比例函数经过点， ∴， ∵反比例函数过第一象限， ∴， ∴. 6．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点，若，则的长为（   ） A．8 B．9 C．12． D． 【答案】C 【分析】取的中点O，连接，由三角形全等易得，即是半圆O的切线，则；设，在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，取的中点O，连接， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是半圆O的切线， ∵， ∴是半圆O的切线， ∴； 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍去）， 即的长为12； 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识，正确做出辅助线是解题的关键． 7．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【答案】A 【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东吴”的条件对根进行取舍即可得到答案． 【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为，则个位数字为，年龄可表示为． ∵个位平方与寿符， ∴可得方程 整理得， 解得，． 又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，时年龄为25岁，不符合题意舍去， ∴，个位数字为，年龄为岁． 8．（2026·河南平顶山·三模）如图，四边形是以点O为圆心，为直径的半圆的内接四边形，连接．若，，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点D作于点E，则．证明是等边三角形，得出，，，求出，再结合扇形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E， 则． 四边形为半圆O的内接四边形，， ． 又， ∴是等边三角形， ，， ，， ∵， ∴， ． 9．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点，与轴交于点．在轴上找一点使最大，则的最大值为（     ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】求得直线与轴的交点即为点，此时，最大，利用勾股定理即可求得最大值． 【详解】解：把代入， 得， ， 反比例函数的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， ， 把，代入， 得， ， 一次函数的解析式为； 令，则， 一次函数与轴的交点为， 此时，最大，即为所求， 令，则， ， 如图，过点向轴作垂线， 则， ，， 由勾股定理可得：， 故所求的最大值为． 10．如图，点是圆劣弧上的一个动点（不与点，重合），且满足，是内一点，，，，点在劣弧上运动的过程中，，则的值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使得，过点作于点，先求出，根据等边三角形的判定和性质可得，，推得，根据圆内接四边形的性质可得，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的判定的和性质可得，推得；根据直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得，根据勾股定理可得出，结合题意可得；将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作延长线交于点，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据勾股定理的逆定理可得，求得，根据直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得，，即可求解． 【详解】解：如图：延长到点，使得，过点作于点， 解：∵， ∴， 则， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵、、、四点共圆，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故， 则， 在中，，， 即， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作延长线交于点，如图： 则，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 即是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 则， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定的和性质，直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，圆心角、弦、弧的关系，圆周角定理等，解题的关键是借助旋转构建全等三角形得出，推出． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．若方程的正数根也是关于的方程的一个根，则方程的另一个根为________． 【答案】 【分析】先求出方程的解，再设所求方程的另一根为，再由根与系数的关系列式计算即可． 【详解】解：， ， 解得， 关于的方程的一个根为， 设方程的另一根为， 根据根与系数的关系可得， 即， ，即方程的另一个根为． 12．（2026·四川成都·三模）已知点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c间的大小关系为________（用“”号连接）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，先判断三个点所在象限，再比较函数值的大小即可． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象分布在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大， ， 点，在第二象限，点在第四象限， ，，， 又， ， ． 13．（2026·陕西西安·三模）如图，是的直径，是的一条弦，且，连接，若，则的度数是________． 【答案】/40度 【分析】先由圆周角定理求出的度数，再由垂径定理得到，进而得到的度数，最后在中，由直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， 是的直径，是弦，且， ， ， 设与相交于点， 在中，，， ∴． 14．（2026·广东深圳·三模）如图，的边在轴上，顶点在轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象同时经过的中点和的中点，交于点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意，求出点E坐标，据此得出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，据此得出的函数解析式，据此求出点G的坐标即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，边在x轴上， ∴轴， ∵点C的坐标为， ∴点D的坐标为， ∵E为中点， ∴点E的坐标为， 将点E的坐标代入反比例函数解析式得， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点D的坐标为，点B的纵坐标为0， ∴中点的纵坐标为2， 由得，， ∴中点的坐标为， ∴点B的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 则直线的函数解析式为， 由， 解得， ∵点G的横坐标大于2， ∴点G的横坐标为， 则， ∴点G的坐标为． 15．（2026·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰中，、的坐标分别为，，反比例函数的图像经过的中点．点是线段上一点，将点绕点顺时针旋转后，其对应点恰好落在该反比例函数图像上，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】设点绕点顺时针旋转后，其对应点为Q，连接，，，则，，根据等腰三角形的性质可求出，根据中点坐标公式得出，根据待定系数法求出反比例函数解析式为，证明，可得出，，则，设，可求出，然后代入函数解析式求解即可． 【详解】解：设点绕点顺时针旋转后，其对应点为Q，连接，， 则，， ∵等腰中，、的坐标分别为，， ∴，轴，， ∵为的中点， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵，为的中点，， ∴，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴，即， ∵Q在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知四边形为的内接四边形，平分，于点，，，则的值为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查圆内线段求解，解题的关键是熟知勾股定理、圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、垂径定理的应用． 延长到，使，连接，如图，根据圆周角定理得到，，再判断为等边三角形得到，于是可证明，所以，接着判断为等边三角形，所以，然后计算出得到的长，从而得到的长． 【详解】解：延长到，使，连接，如图， 平分， ， ，， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 而， 为等边三角形， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，突破口是计算根的判别式，因为一元二次方程，当时总有两个实数根，所以先写出该方程对应的，再计算并证明其非负． （2）突破口是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），因为已知方程的两根，所以先写出和的表达式，再将等式展开，代入和的表达式得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：在方程 中，,,, 则 ． ∵ ∴ ． ∴不论为何值，方程总有两个实数根． （2）解：在方程 中，,,, ∴ ． ∵ ∴, 解得． ∴的值为3． 18．（8分）（2026·安徽合肥·二模）设函数，（），当时，函数的最大值是，函数的最小值是． (1)求和的值； (2)直线与函数，的图象交于两点，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）利用反比例函数的性质解答即可求解； （）求出点的坐标，即得到线段的长，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴在每个象限内，随着的增大而减小，随着的增大而增大， ∵当时，函数的最大值是，函数的最小值是， ∴，， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：如图， 由（）可得，，， 当时， ，， ∴，， ∴， ∴． 19．（8分）（2026·西藏拉萨·模拟预测）已知：如图，是的直径，点C在上，的外角平分线交于D，与相切，交的延长线于E． (1)判断直线和是否平行，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)平行，理由如下： 连接，如图， 与相切， ． 由图可得，， ． 是的平分线，即， ． ． ，即． 是的直径，点C在上， ， ； (2)的长 【分析】（1）连接，根据切线性质得；由得，结合平分，可推，可得，进而得．又是直径，得，进而即可证明； （2）先求出，在中，，故，可求出．由平分得，结合，可知中，根据含的直角三角形的性质和勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，即， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴． 20．（10分）（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【分析】（1）解一元二次方程得到，利用菱形的性质结合勾股定理即可求解； （2）分三种情况，列出的表达式，解方程即可． 【详解】（1）解方程， 得， ， 在菱形中，， ， 在中，， ∴； （2）①当点M在上且点N在上时，，则， 解得（大于3，舍去）； ②当点M在上且点N在上时，，则， 此方程无解； ③当点M在上且点N在上时，，则， 解得（小于4，舍去）， 综上所述M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【点睛】注意菱形的对角线垂直且平分，勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）． 21．（10分）（2026·河南平顶山·三模）如图，反比例函数的图象经过点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，以，，为顶点作菱形，若，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用菱形的性质得到，过点作于点，结合，通过特殊角的三角函数值求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出的值； （2）根据图形关系，用菱形的面积减去扇形的面积，计算得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 四边形是菱形， ， 在中，， ，， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：由题图可得，． 22．（12分）（2026·江苏南京·一模）如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【详解】（1）证：， ， 即， ． （2）解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， 是中线， 即， 又中，， ， 故过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 【点睛】本题考查的知识点是弧、弦、圆心角的关系、三线合一定理、勾股定理，解题关键是结合三线合一定理证明过点． 23．（12分）（2026·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接并延长交双曲线于点，点为轴上一动点，点为直线上一动点，连接，求当最小时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为双曲线上一动点，平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数为；一次函数的表达式为 (2) (3)点N的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把B的坐标代入求得n的值，最后利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）先根据轴对称的最短路径问题作辅助线，可知：即当E与F重合时，的值最小，最小值是的长，此时D与K重合，证明是等腰直角三角形，可得，从而得结论； （3）分两种情况：为边和对角线时，根据两点的距离公式和中点坐标公式列方程可解答． 【详解】（1）解：（1）把代入中，得：， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 把，代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式是； （2）解：作点C关于y轴的对称点G，交y轴于L，连接交y轴于D，则，过点G作于F，交y轴于K，则，即当E与F重合时，的值最小，最小值是的长，此时D与K重合， ∵，且点与点关于原点对称， ∴， ∴， 对于，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，在轴上， ∴，即； （3）解：存在， 设，， 分三种情况： ①当为边时，对角线，且与互相平分，根据中点坐标公式得： ， ∴， 代入，整理得：， 解得：或， ∴或， ∴点的坐标为或； ②当为边时，对角线，且，互相平分，则有： ∴， 代入，整理得， 解得：或（此时点与点重合，舍去） 当时，，， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，对角线，则： ， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 变形为 解得或， 当时，此方程无实数根； 当时，解得或， 当时，点与点重合，不符合题意， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或． 24．（12分）（2026·湖南长沙·三模）如图，四边形内接于，直径与弦相交于点P，连接，． (1)若，求的大小； (2)若，且，求的半径长； (3)记，，的面积分别为，，，设，，求y关于x的函数解析式． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补求得，再根据圆周角定理求解即可； （2）过O作于G，根据垂径定理得，设，根据可得，证明是等腰直角三角形得到，则，进而可求解； （3）利用三角形的面积公式可得，，，进而可求解． 【详解】（1）解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过O作于G，则， 设，则，， ∵， ∴， 整理，得，即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， 在中，， ∴，即的半径长为3； （3）解：如图，过B作于E，过D作于F， ∴， ， ， ∵， ∴，则， 又∵，，， ∴， ∴， 即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假结业测试卷（范围：前3章）（提高篇） 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（2026·河南驻马店·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最大值是（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别位于轴、轴的正半轴上，、、、分别是、、、的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．12 B．6 C．3 D．2 6．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点，若，则的长为（   ） A．8 B．9 C．12． D． 7．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 8．（2026·河南平顶山·三模）如图，四边形是以点O为圆心，为直径的半圆的内接四边形，连接．若，，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点，与轴交于点．在轴上找一点使最大，则的最大值为（     ） A． B． C．4 D． 10．如图，点是圆劣弧上的一个动点（不与点，重合），且满足，是内一点，，，，点在劣弧上运动的过程中，，则的值满足（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．若方程的正数根也是关于的方程的一个根，则方程的另一个根为________． 12．（2026·四川成都·三模）已知点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c间的大小关系为________（用“”号连接）． 13．（2026·陕西西安·三模）如图，是的直径，是的一条弦，且，连接，若，则的度数是________． 14．（2026·广东深圳·三模）如图，的边在轴上，顶点在轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象同时经过的中点和的中点，交于点，则点的坐标是______． 15．（2026·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰中，、的坐标分别为，，反比例函数的图像经过的中点．点是线段上一点，将点绕点顺时针旋转后，其对应点恰好落在该反比例函数图像上，则点的坐标为____________． 16．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知四边形为的内接四边形，平分，于点，，，则的值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 18．（8分）（2026·安徽合肥·二模）设函数，（），当时，函数的最大值是，函数的最小值是． (1)求和的值； (2)直线与函数，的图象交于两点，求的面积． 19．（8分）（2026·西藏拉萨·模拟预测）已知：如图，是的直径，点C在上，的外角平分线交于D，与相切，交的延长线于E． (1)判断直线和是否平行，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 20．（10分）（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 21．（10分）（2026·河南平顶山·三模）如图，反比例函数的图象经过点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，以，，为顶点作菱形，若，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积． 22．（12分）（2026·江苏南京·一模）如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 23．（12分）（2026·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接并延长交双曲线于点，点为轴上一动点，点为直线上一动点，连接，求当最小时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为双曲线上一动点，平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（12分）（2026·湖南长沙·三模）如图，四边形内接于，直径与弦相交于点P，连接，． (1)若，求的大小； (2)若，且，求的半径长； (3)记，，的面积分别为，，，设，，求y关于x的函数解析式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $