专题02：反比例函数与实际问题（暑假预习课）2026-2027学年数学九年级上册苏科版

**基本信息** 以实际问题为载体，系统构建反比例函数建模方法，通过跨学科场景培养数学眼光与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解与表达式确定|选择1-5、填空10-16|待定系数法、表格数据关联|从实际变量关系抽象反比例函数y=k/x，通过k值建立数学模型| |图像与性质应用|选择6-9、解答17-18|图像分析、增减性判断|结合图像解决变量变化问题，体现数形结合思维| |综合实践与跨学科应用|解答19-21（杆秤、浓度、二胡）|函数建模与实际决策|融合物理、生活场景，培养用数学语言表达现实问题的能力|

（暑假预习课）专题02：反比例函数与实际问题-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 2．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 3．已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 4．某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 6．根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A．B． C． D． 7．某景区有一种叫“喊泉”的游玩项目．它是通过声音的响度刺激声敏电阻，声敏电阻的阻值（）和声音的响度（）成反比例关系，且满足．当声敏电阻低于时，水泵开始喷水；当响度越大时，声敏电阻越小，则喷出的水柱越远．如图是某人声音的响度（）随时间（）变化的关系图，下列说法错误的是（     ） A．第时，声敏电阻的阻值为 B．超过时开始产生水柱 C．在第至时喷出的水柱最高 D．喷出水柱的时长超过 8．/跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图像如图所示．根据图像，下列结论正确的是（     ） A．该函数图像满足的表达式为 B．当振动弦长为时，振动频率为 C．当振动弦长时，振动频率 D．该函数图像与坐标轴有一个交点 9．自动加热饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直到降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．某天初始水温和室温均为，小林放满水后接通电源，收集了如下数据，并绘制了如图所示的水温y()关于通电时间x()变化的图象，其中，内，y与x满足反比例函函数关系．下列说法正确的是（     ） 通电时间 0 4 8 16 20 32 40 水温 20 60 100 50 40 25 20 A．第一次加热到用了 B．通电内，y关于x的函数表达式为 C．一个循环内水温高于的时间为 D．小林在期间可以接到不低于的水 二、填空题 10．功率P与时间t成反比例，图像经过，若，则_________． 11．已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 12．汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 13．氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 14．无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力（单位：）与速度（单位：）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为，牵引力．为保证耕地的效果，牵引力不能低于，则拖拉机速度（单位：）的最大值为_______． 15．将一瓶氯化钠溶液加水稀释的过程中，氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为_____． 16．山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 三、解答题 17．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； (2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 18．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 19．如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； (2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 20．杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； (2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； (3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 21．在学校开展的红领巾爱心义卖活动中，某小组计划售卖自制的黑糖奶茶．他们采购了一定质量的黑糖，加入适量清水后熬煮糖浆，黑糖总质量不变的情况下，糖浆浓度（）与糖浆总体积（）成反比例关系，其中与的对应值如下表： x（L） 2 2.5 3 4 y（） 750 600 500 375 (1)求关于的函数表达式； (2)为保证奶茶风味，熬煮时要控制加水量，若熬制出的糖浆总体积最多为，则糖浆浓度至少是多少？ (3)该小组熬制出糖浆，试喝后发现甜度偏高（试喝损耗忽略不计），于是加水稀释至，稀释后糖浆浓度比原来降低了，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假预习课）专题02：反比例函数与实际问题-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A C C B D D D B D 1．A 【分析】先利用待定系数法求出电压的值，得到与的函数关系式，再分别计算电流为和时对应的电阻值，最后求差即可． 【详解】解：设， 由图象可知，函数图象经过点， 把，代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， ， 当电流从增加到时，电阻减小了． 2．C 【分析】设反比例函数表达式为，表示出甲、乙、丙、丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，然后结合图象判断即可． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴甲、、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数， ∴，即甲、丁两个班级合格人数相同； ，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙． 3．C 【分析】根据题意确定与的函数关系为反比例函数，求出常数的值，再根据反比例函数图象的性质及图象上点的坐标进行判断即可． 【详解】，且为定值 是的反比例函数，且，图象位于第一象限 排除选项A、B 将，代入 得 函数解析式为 对于C选项，当时，，图象经过点，符合题意 对于D选项，当时，，不符合题意． 4．B 【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】解：由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴， ∴当时，，故C错误； 当时，， ∵当时，h随的增大而减小， ∴当时，，故B正确； 由图象得，当时，，故D错误． 5．D 【分析】根据题意，判断出人均耕地面积y与总人口x成反比例关系，根据成反比例关系可判断A、B，再根据所列代数式求x值或y值，可判定C，D． 【详解】解：根据题意，，则， 故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少， 故选项B、A错误，不符合题意； 当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意； 当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意． 6．D 【详解】已知该物体原受力面积为，压力是定值， 由压强公式可得，原压强为， 受力面积增加， 变化后的受力面积为，变化后的压强为， 由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ， 可得方程． 7．D 【分析】本题考查反比例函数的实际应用以及一次函数图象的分析．重难点在于理解电阻R与响度h的相互制约关系，以及将图象中的响度变化转化为电阻的变化，从而判断喷水状态和水柱高度． 【详解】解：①当时，设， 把代入，得， ②当时， ③当时，设， 把和代入，得， 解得， ， 综上所述：， 选项A：由关系图知，第时，， ， 故选项A说法正确，不符合题意； 选项B：当时，， ，解得 故选项B说法正确，不符合题意； 选项C：当，h始终保持最大值100，所以声敏电阻最小，喷出的水柱最高， 故选项C说法正确，不符合题意； 选项D：把代入，得， 把代入，得, 喷出水柱的时长为， 故选项D说法错误，符合题意． 8．B 【分析】首先结合图像确定该反比例函数的解析式，然后结合反比例函数的图像与性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：设弦的振动频率与振动弦长的函数关系为， 由图可知，该函数图像经过点，即， 解得， ∴该函数图像满足的表达式为，故选项A错误，不符合题意； 当振动弦长为时，振动频率，B选项正确，符合题意； ∵， ∴该函数图像在第一象限内，随的增大而减小， 当振动弦长时，振动频率， 故选项C错误，不符合题意； 该反比例函数的图像只会与坐标轴无限接近，不会与坐标轴相交， 故D选项错误，不符合题意． 9．D 【分析】A、根据平均每分钟水温上升计算，即可判断； B、根据y与x满足反比例函数关系，用待定系数法求解，即可判断； C、分别求出水温第一次上升到所需的时间，及水温再次回落到的时间，即可判断； D、正好是一次循环，是第二次循环的开始，当水温达到时，用时，时间为恰好时，再计算水温维持在所用的时间，即可判断答案． 【详解】解：A、第一次加热到，水温上升了，用时，所以选项A错误，不符合题意； B、设y关于x的函数解析式为， 将代入得， 解得， 关于x的函数解析式为， 所以选项B错误，不符合题意； C、当水温第一次上升到时，用时， 通电内，令， 则， 解得， 一个循环内水温高于的时间为()， 所以选项C错误，不符合题意； D、由图可知，正好是一次循环， 后，当水温再上升到时，用时，时间为， 令，则， 解得， 水温在以上的时间是()， ， 小林在期间可以接到不低于的水， 所以选项D正确，符合题意． 10．45 【分析】设此函数表达式为：，用待定系数法求出表达式解决即可． 【详解】解：根据图像经过， 设此函数表达式为： ， 则 ， ∴若，则. 11． 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知对应值求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得：， 因此与之间的函数关系式为． 12．60 【分析】首先根据题意确定与的函数关系，然后将代入计算即可． 【详解】解：根据题意，将点代入， 可得， 即该汽车的功率P（瓦）为一定值，可得， 当它所受牵引力为1000牛时， 汽车的速度为（米/秒）． 13．60 【详解】解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． 14． 【分析】因为牵引力F和速度v是反比例函数关系，所以先设反比例函数的一般形式，其中k为常数且，把已知的、代入反比例函数表达式，求出k的值，确定F与v的函数解析式，因为要求，所以将代入已得到的函数解析式，求解对应的v值，结合反比例函数的增减性，得到v的最大值． 【详解】∵牵引力和速度是反比例函数关系， ∴设， 将，代入解析式，得， ∴函数关系式为， 当时，代入得， ∵， 解得， ∴拖拉机速度的最大值为． 15．2 【分析】根据函数图象求出反比例函数的解析式，令，求解y． 【详解】解：已知氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系， ∴设y与x之间的函数解析式为， 由图象可得函数图象过点， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为． 16． 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出当时，此时的值即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ， 反比例函数的表达式为， 当时，， 解得：， 当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为． 17．(1) 反比例， (2) 不能到达乙地 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系， 设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵11时30分9时（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 18．(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 (2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 19．(1)反比例函数，； (2)解：将代入中，得， 解得． ∵， ∴y不可能等于2． 【分析】（1）根据表格数据可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：观察表格数据可得：，即为定值， 因此y与x之间是反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）略． 20．(1)①；②零刻度所对应的点与点之间的距离为 (2)生锈秤砣的质量为 (3) 【分析】（1）①根据公式代入已知数量可得答案；②由零刻度时，，即可求解； （2）根据题意可得当一个物体的质量为，，设生锈的秤砣的质量为，可得，即可求解； （3）把 ，代入，可得，从而得到越大，越小，即可求解． 【详解】（1）解：① ，，， ， ． ②∵零刻度时， ， ． ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为． （2）解：∵当一个物体的质量为， ， ， 设生锈的秤砣的质量为， ， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． （3）解：由题意得： ，代入．得： ， ， ， 越大，越小， 当时，， ． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）设关于的函数表达式为，代入，，求得，即可求解； （2）当时，求得； （3）根据题意可列方程，，解方程即可求得的值． 【详解】（1）解：∵糖浆浓度与糖浆总体积成反比例关系， ∴设关于的函数表达式为， 当时，， ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）解：，， ∴当糖浆总体积最多为，则糖浆浓度至少是； （3）解，由题意得，， ， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴的值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $