专题02 配方法的常见应用（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以配方法为核心，通过8类题型系统构建从基础配方到综合应用的方法体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |完全平方公式中的配方|1典例+3变式|补常数项构造平方式，明确“取一次项系数一半平方”步骤|从公式本质出发，奠定配方基础| |求字母值/比较大小/符号判断|各1典例+3变式|平方非负性应用、作差配方、“平方±常数”判断符号|结合非负性拓展，形成代数推理链| |最值/求值/三角形形状/新定义|各1典例+3变式|顶点式求最值、分组配方求参、新定义转化配方|综合几何与代数，提升运算能力与应用意识|

专题02 配方法的常见应用 （题型突破·举一反三） 题型01 完全平方公式中的配方 题型02 利用配方变形求字母的值 题型03 利用配方法比较代数式的大小 题型04 利用配方法判断二次多项式的符号问题 题型05 利用配方法解决二次三项式的最值问题 题型06 利用配方法恒等变形后求值 题型07 利用配方法判断三角形的形状 题型08 利用配方法解决新定义问题 ▌题型01 完全平方公式中的配方 ◆1、核心知识点 完全平方公式： 配方本质：补常数项，构造平方式，缺一次项补常数、缺常数项配一次项系数一半的平方。 ◆2、解题步骤 （1）观察二次项、一次项； （2）取一次项系数除以 2，再平方，得到需要补上的常数； （3）原式加、减同一个常数，等式不变，完成配方。 【典例1】用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 【变式1-3】（25-26七年级下·山东聊城·期末）若关于x的二次三项式 是一个完全平方式，则常数k的值是（     ） A．5或 B．5 C． D． ▌题型02 利用配方变形求字母的值 ◆1、核心原理 平方具有非负性：任意实数的平方≥0； 若多个平方相加等于 0，则每一个平方都等于 0，对应字母分别解方程。 ◆2、解题步骤 （1）移项，把所有项移到等式左侧； （2）分组配方，拆成若干完全平方相加； （3）根据平方非负性，令每个平方 = 0； （4）分别解出字母取值。 【典例2】 （24-25九年级上·辽宁丹东·期中）把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．10 【变式1-1】将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【变式1-3】如果方程 可以配方成 ，那么 _____． ▌题型03 利用配方法比较代数式的大小 ◆1、两个代数式作差； ◆2、对差值进行配方； ◆3、根据平方非负判断差值正负： （1）差值＞0 → 前者更大 （2）差值＝0 → 两式相等 （3）差值＜0 → 后者更大 【典例3】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知任意实数满足等式，，则x，y的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知a、b满足等式，，则x、y的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】已知，，请比较和的大小． 【变式1-3】对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． 请根据以上材料完成下面的题目： (1)已知，，，且，试判断y的符号； (2)已知为三角形的三边，比较和的大小． ▌题型04 利用配方法判断二次多项式的符号问题 ◆1、将二次三项式配方成「平方 ± 常数」形式： ◆2、配方后： ◆3、根据平方≥0 判断整体取值范围： 平方恒非负，结合常数 n，判断式子恒正 / 恒负 / 可正可负。 【典例4-1】 代数式的值（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 【典例4-2】 不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（　　） A．总大于7 B．总不小于9 C．总不小于﹣9 D．为任意有理数 【变式1-1】不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【变式1-2】试证明，不论x,y取何值，x2-4x+y2-6y+13的值不小于0. 【变式1-3】试说明不论x,y取何值，代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数． ▌题型05 利用配方法解决二次三项式的最值问题 ◆1、通用步骤 对 配方： （1）提出二次项系数； （2）括号内配完全平方； （3）整理成顶点式： ◆2、最值结论 ，，当时，式子有最小值； ，，当时，式子有最大值。 【典例5-1】 ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 【典例5-2】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【变式1-1】读下面的材料 并解答后面的问题： 小李：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小华：能．求解过程如下： 因为 而，所以的最小值是． 问题： (1)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程． (2)你能否求出的最大值？如果能，写出你的求解过程． 【变式1-2】仔细阅读材料，再尝试解决问题： 完全平方式以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比如探求x2+6x+10的最大（小）值时，我们可以这样处理： 例如：用配方法解题如下：， 原式， 因为无论x取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0；此时x=﹣3时，进而+1的最小值是0+1=1；所以当x=-3时，原多项式的最小值是1．请根据上面的解题思路，探求： (1)若，则x=_____； (2)已知，求x+y的值； (3)已知多项式A为；问当x，y分别取何值时A有最小值？并求出A的最小值． 【变式1-3】将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． ▌题型06 利用配方法恒等变形后求值 ◆1、考法特点 已知含多个字母的等式，求代数式的值； ◆2、解题思路 （1）对已知等式配方，利用平方和为 0 求出所有字母； （2）将字母数值代入所求代数式计算结果。 【典例6】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．30 D．36 【变式1-1】 【阅读材料】 若，求x，y的值． 解：， ， ∴x＋4＝0，y－3＝0， ∴x＝－4，y＝3． 【解决问题】 (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围． 【变式1-2】阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足12b+61=0，求的最大边c的值． 【变式1-3】阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】 (1)若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为_________． (2)配方：________； 【知识运用】 (3)已知，则______，______； (4)求多项式：的最小值． ▌题型07 利用配方法判断三角形的形状 1.已知三边满足整式等式； 2.分组配方，得到多个平方相加 = 0； 3.得（等边三角形）、或或（等腰三角形）； 4.若同时满足两边平方和 = 第三边平方，则为直角三角形。 【典例7】若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式1-1】已知在△ABC中，三边长a、b、c满足a2+8b2+c2-4b（a+c）=0，试判断△ABC的形状并加以说明． 【变式1-2】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求的周长的最大值及最小值； (2)若a，b，c满足，试判断的形状，并说明理由． 【变式1-3】先阅读材料，再解决下列问题． 例如：用配方法求代数式的最小值． 原式． ∵， ∴当时，有最小值是2． 根据上述所用方法，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． ▌题型08 利用配方法解决新定义问题 1.读懂题目给出的全新运算、定义规则； 2.按定义列式后，借助配方法化简、求参、求最值； 3.结合配方后的非负性、取值范围作答。 【典例8】把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是__________． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“雅美数”有 个； ①10         ②28       ③45       ④39 （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为　　　； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值； （4）拓展结论：已知实数x，y满足，直接写出的最小值． 【变式1-3】配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 配方法的常见应用 （题型突破·举一反三） 题型01 完全平方公式中的配方 题型02 利用配方变形求字母的值 题型03 利用配方法比较代数式的大小 题型04 利用配方法判断二次多项式的符号问题 题型05 利用配方法解决二次三项式的最值问题 题型06 利用配方法恒等变形后求值 题型07 利用配方法判断三角形的形状 题型08 利用配方法解决新定义问题 ▌题型01 完全平方公式中的配方 【典例1】【答案】C 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】A ▌题型02 利用配方变形求字母的值 【典例2】 【答案】A 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】 ▌题型03 利用配方法比较代数式的大小 【典例3】【答案】B 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质，把与代入中，去括号合并后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质判断差的正负，即可确定出与的大小．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 即． 【变式1-3】 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意得到，因式分解得到，进而得到y的符号即可； （2）将和作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴， ∴，； （2）解：∵为三角形的三边， ∴，， ∵， ∴， 所以的符号为负． ∴． 【点睛】本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法． ▌题型04 利用配方法判断二次多项式的符号问题 【典例4-1【答案】A 【典例4-2】 【答案】C 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】 【答案】见解析 【详解】试题分析：利用配方法得到原式=（x-2）2+（y-3）2，然后根据非负数的性质进行证明． 试题解析：证明：x²−4x+y²−6y+13=x²−4x+4+y²−6y+9=(x−2) ²+(y−3) ²， ∵(x−2) ²⩾0，(y−3) ²⩾0， ∴x²−4x+y²−6y+13⩾0， 即不论x、y取何值，x2−4x+y2−6y+13的值不小于0. 【变式1-3】 【答案】详见解析 【分析】先利用完全平方公式将代数式变形为2个完全平方加一个常数，再根据非负数的性质得出结论． 【详解】证明：x2+y2+6x-4y+15 = x2 +6x+9+y2-4y+4+2 =(x+3)2+(y-2)2+2， 因为：(x+3)2≥0, (y-2)2≥0 所以(x+3)2+(y-2)2+2的值不小于2， 所以代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数. 【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是认真审题，准确配方． ▌题型05 利用配方法解决二次三项式的最值问题 【典例5-1】 【答案】A 【典例5-2】 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 【变式1-1】 【答案】(1)能，求解过程见解析． (2)能，求解过程见解析． 【分析】（1）本题考查配方法的运用，解题关键在于同时加上且减去一次项系数一半的平方，配成一个完全平方公式，并结合完全平方式的非负性，即可解题． （2）本题同样考查配方法的运用，只是注意二次项系数为负，配方前要先提，再配成完全平方公式． 【详解】（1）解： ． 而，所以的最小值是． （2）解： ． 而，则，所以的最大值是7． 【变式1-2】 【答案】(1)5 (2)x+y=2； (3)当x=，y=-时，A的值最小，最小值是-9． 【分析】（1）根据平方根的定义即可得到结论； （2）把原式配方得到，根据非负数的性质即可得到结论； （3）把原式配方得到，根据非负数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴x-5=0， ∴x=5； 故答案为：5； （2）解：∵， ∴x+1=0，y-3=0， ∴x=-1，y=3， ∴x+y=2； （3）解：∵ ， ∴当时，A的值最小， 解方程组得， ∴当x=，y=-时，A的值最小，最小值是-9． 【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． ▌题型06 利用配方法恒等变形后求值 【典例6】【答案】B 【变式1-1】 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先把整式进行化简，然后利用非负数的性质，分别求出m，n的值，再代入计算，即可得到答案； （2）先把整式进行化简，然后利用非负数的性质，分别求出b，c的值，结合三角形的三边关系，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴m＋5＝0，n－6＝0， ∴m＝－5，n＝6， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴b－4＝0，c－2＝0， ∴b＝4，c＝2． ∵a是△ABC中最长的边， ∴4≤a<6，即a的取值范围为4≤a<6． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，整式的化简求值，非负数的应用，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 【变式1-2】 【答案】(1)的值是9 (2)的最大边c的值可能是6，7，8，9，10 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性； （1）先配方，然后由非负数性质求得结果； （2）先配方，然后由非负数性质求得a、，进而由三角形三边关系求解即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴． ∴， 即的值是9． （2）解： ∴，． ∴，． ∵，， ∴． ∴的最大边c的值可能是6，7，8，9，10． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)19 (3)，4 (4)2 【分析】（1）根据完全平方式的形式求解即可； （2）利用配方法的步骤求解即可； （3）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解m、n值即可； （4）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可． 【详解】（1）解：∵多项式是一个完全平方式， ∴，则， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：19； （3）解：由得 ， 即， ∴，， 解得：，， 故答案为：，； （4）解： ， ∵， ∴当时，有最小值2． 【点睛】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解答的关键． ▌题型07 利用配方法判断三角形的形状 【典例7】 【答案】为等腰三角形，理由见解析． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解：为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∵， ∴为等腰三角形． 【变式1-1】 【答案】三角形是等腰三角形 【分析】把原式根据完全平方公式进行因式分解，根据非负数的性质求出a、c的关系，判断即可． 【详解】三角形是等腰三角形． a2+8b2+c2-4b（a+c）=0， a2+8b2+c2-4ab-4bc=0， a2-4ab+4b2+c2-4bc+4b2=0， （a-2b）2+（c-2b）2=0， 则a=2b，c=2b， ∴a=c， 则三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，掌握分组分解法、公式法因式分解的一般步骤是解题的关键． 【变式1-2】 【答案】(1)周长的最小值为，周长的最大值为 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式变形求值，等边三角形的判定． （1）根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而作答即可； （2）根据完全平方公式将原式变为，可知，即是等边三角形． 【详解】（1）解：，，且c为整数， ，即， ，5，6， 当时，周长的最小值； 当时，周长的最大值； （2）解：是等边三角形． 理由：， ， ， ，， ∴， 是等边三角形． 【变式1-3】 【答案】(1)3 (2)1，大，-2 (3)直角三角形，见解析 【分析】（1）凑成完全平方加一个数值的形式． （2）和（1）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式． （3）先因式分解，判断字母，，三边的关系，再判定三角形的形状． 【详解】（1）解：； ∴的最小值是3． （2）， ， ， ∴当的时，有最大值． 故答案为：1，大，． （3）， ， ， 三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0． ，，， 解得，，． ∵， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题． ▌题型08 利用配方法解决新定义问题 【典例8】【答案】 【变式1-1】【答案】2025 【变式1-2】 【答案】（1）2；（2）9；（3）13；（4）3 【分析】本题考查的是配方法的应用，理解并掌握雅美数的定义是解题的关键． （1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论； 【详解】（1）解：∵，， ∴10，45，都是“雅美数”， 故答案为：2； （2）∵， ∴，， ∴ 故答案为：9； （3）∵ ； ∵S为“雅美数”， ∴， ∴； （4）∵， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 【变式1-3】 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 配方法的常见应用 （题型突破·举一反三） 题型01 完全平方公式中的配方 题型02 利用配方变形求字母的值 题型03 利用配方法比较代数式的大小 题型04 利用配方法判断二次多项式的符号问题 题型05 利用配方法解决二次三项式的最值问题 题型06 利用配方法恒等变形后求值 题型07 利用配方法判断三角形的形状 题型08 利用配方法解决新定义问题 ▌题型01 完全平方公式中的配方 ◆1、核心知识点 完全平方公式： 配方本质：补常数项，构造平方式，缺一次项补常数、缺常数项配一次项系数一半的平方。 ◆2、解题步骤 （1）观察二次项、一次项； （2）取一次项系数除以 2，再平方，得到需要补上的常数； （3）原式加、减同一个常数，等式不变，完成配方。 【典例1】用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的性质，根据等式的性质即可求解． 【详解】解： 移项， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，， 整理得，，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查配方法，掌握完全平方公式的性质，等式的性质的知识是解题的关键． 【变式1-1】将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解： 故选C 【变式1-2】用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 【变式1-3】（25-26七年级下·山东聊城·期末）若关于x的二次三项式 是一个完全平方式，则常数k的值是（     ） A．5或 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方式的对应系数相等列方程，即可求出k的值． 【详解】∵二次三项式是完全平方式，且， 根据完全平方式的结构，可得一次项系数满足：， 当时，化简得，解得； 当时，化简得，解得， ∴常数k的值是5或． ▌题型02 利用配方变形求字母的值 ◆1、核心原理 平方具有非负性：任意实数的平方≥0； 若多个平方相加等于 0，则每一个平方都等于 0，对应字母分别解方程。 ◆2、解题步骤 （1）移项，把所有项移到等式左侧； （2）分组配方，拆成若干完全平方相加； （3）根据平方非负性，令每个平方 = 0； （4）分别解出字母取值。 【典例2】 （24-25九年级上·辽宁丹东·期中）把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】A 【分析】依题意，把展开得，结合，得出，解得，即可作答．此题考查了解一元二次方程配方法，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】解：由得， ∵把关于x的一元二次方程配方，得， 则， 解得， ∴， 故选：A． 【变式1-1】将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 【变式1-2】将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 【变式1-3】如果方程 可以配方成 ，那么 _____． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，把方程配方成，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵方程 可以配方成 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ▌题型03 利用配方法比较代数式的大小 ◆1、两个代数式作差； ◆2、对差值进行配方； ◆3、根据平方非负判断差值正负： （1）差值＞0 → 前者更大 （2）差值＝0 → 两式相等 （3）差值＜0 → 后者更大 【典例3】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知任意实数满足等式，，则x，y的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用做差法进行解答即可． 【详解】解： 令，则， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查整式的加减，涉及完全平方公式等知识，解题关键是将看作一个整体，将的结果进行配方，根据平方的非负性进行解答． 【变式1-1】已知a、b满足等式，，则x、y的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可． 【详解】解：∵ >0， ∴x>y， 故选：C． 【点睛】此题考查了完全平方公式，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式1-2】已知，，请比较和的大小． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质，把与代入中，去括号合并后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质判断差的正负，即可确定出与的大小．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 即． 【变式1-3】对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． 请根据以上材料完成下面的题目： (1)已知，，，且，试判断y的符号； (2)已知为三角形的三边，比较和的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意得到，因式分解得到，进而得到y的符号即可； （2）将和作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴， ∴，； （2）解：∵为三角形的三边， ∴，， ∵， ∴， 所以的符号为负． ∴． 【点睛】本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法． ▌题型04 利用配方法判断二次多项式的符号问题 ◆1、将二次三项式配方成「平方 ± 常数」形式： ◆2、配方后： ◆3、根据平方≥0 判断整体取值范围： 平方恒非负，结合常数 n，判断式子恒正 / 恒负 / 可正可负。 【典例4-1】 代数式的值（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，通过完成平方将代数式变形，利用平方的非负性判断其值恒为正数． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的值一定为正数， 故选：A． 【典例4-2】 不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（　　） A．总大于7 B．总不小于9 C．总不小于﹣9 D．为任意有理数 【答案】C 【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可． 【详解】解：4x2+3y2+8x﹣12y+7 ＝4x2＋8x＋4＋3y2−12y＋3 ＝4（x2＋2x＋1）＋3（y2−4y＋1） ＝4（x＋1）2＋3（y2−4y＋4−4＋1） ＝4（x＋1）2＋3（y−2）2−9， ∵（x＋1）2≥0，（y−2）2≥0， ∴4x2+3y2+8x﹣12y+7≥−9． 即不论x、y为什么实数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值总不小于−9． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法． 【变式1-1】不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 【变式1-2】试证明，不论x,y取何值，x2-4x+y2-6y+13的值不小于0. 【答案】见解析 【详解】试题分析：利用配方法得到原式=（x-2）2+（y-3）2，然后根据非负数的性质进行证明． 试题解析：证明：x²−4x+y²−6y+13=x²−4x+4+y²−6y+9=(x−2) ²+(y−3) ²， ∵(x−2) ²⩾0，(y−3) ²⩾0， ∴x²−4x+y²−6y+13⩾0， 即不论x、y取何值，x2−4x+y2−6y+13的值不小于0. 【变式1-3】试说明不论x,y取何值，代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数． 【答案】详见解析 【分析】先利用完全平方公式将代数式变形为2个完全平方加一个常数，再根据非负数的性质得出结论． 【详解】证明：x2+y2+6x-4y+15 = x2 +6x+9+y2-4y+4+2 =(x+3)2+(y-2)2+2， 因为：(x+3)2≥0, (y-2)2≥0 所以(x+3)2+(y-2)2+2的值不小于2， 所以代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数. 【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是认真审题，准确配方． ▌题型05 利用配方法解决二次三项式的最值问题 ◆1、通用步骤 对 配方： （1）提出二次项系数； （2）括号内配完全平方； （3）整理成顶点式： ◆2、最值结论 ，，当时，式子有最小值； ，，当时，式子有最大值。 【典例5-1】 ”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法的应用，仿照题意求出，再根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解： ∵ ∴ ∴， ∴对于代数式的最值，最大值为13， 故选：A． 【典例5-2】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 【变式1-1】读下面的材料 并解答后面的问题： 小李：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小华：能．求解过程如下： 因为 而，所以的最小值是． 问题： (1)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程． (2)你能否求出的最大值？如果能，写出你的求解过程． 【答案】(1)能，求解过程见解析． (2)能，求解过程见解析． 【分析】（1）本题考查配方法的运用，解题关键在于同时加上且减去一次项系数一半的平方，配成一个完全平方公式，并结合完全平方式的非负性，即可解题． （2）本题同样考查配方法的运用，只是注意二次项系数为负，配方前要先提，再配成完全平方公式． 【详解】（1）解： ． 而，所以的最小值是． （2）解： ． 而，则，所以的最大值是7． 【变式1-2】仔细阅读材料，再尝试解决问题： 完全平方式以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比如探求x2+6x+10的最大（小）值时，我们可以这样处理： 例如：用配方法解题如下：， 原式， 因为无论x取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0；此时x=﹣3时，进而+1的最小值是0+1=1；所以当x=-3时，原多项式的最小值是1．请根据上面的解题思路，探求： (1)若，则x=_____； (2)已知，求x+y的值； (3)已知多项式A为；问当x，y分别取何值时A有最小值？并求出A的最小值． 【答案】(1)5 (2)x+y=2； (3)当x=，y=-时，A的值最小，最小值是-9． 【分析】（1）根据平方根的定义即可得到结论； （2）把原式配方得到，根据非负数的性质即可得到结论； （3）把原式配方得到，根据非负数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴x-5=0， ∴x=5； 故答案为：5； （2）解：∵， ∴x+1=0，y-3=0， ∴x=-1，y=3， ∴x+y=2； （3）解：∵ ， ∴当时，A的值最小， 解方程组得， ∴当x=，y=-时，A的值最小，最小值是-9． 【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键． 【变式1-3】将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． ▌题型06 利用配方法恒等变形后求值 ◆1、考法特点 已知含多个字母的等式，求代数式的值； ◆2、解题思路 （1）对已知等式配方，利用平方和为 0 求出所有字母； （2）将字母数值代入所求代数式计算结果。 【典例6】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．30 D．36 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，配方法等．根据题意将原方程通过配方法转化为完全平方的形式，利用平方数的非负性确定x和y的值，进而求解的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴， 故选：B． 【变式1-1】 【阅读材料】 若，求x，y的值． 解：， ， ∴x＋4＝0，y－3＝0， ∴x＝－4，y＝3． 【解决问题】 (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先把整式进行化简，然后利用非负数的性质，分别求出m，n的值，再代入计算，即可得到答案； （2）先把整式进行化简，然后利用非负数的性质，分别求出b，c的值，结合三角形的三边关系，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴m＋5＝0，n－6＝0， ∴m＝－5，n＝6， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴b－4＝0，c－2＝0， ∴b＝4，c＝2． ∵a是△ABC中最长的边， ∴4≤a<6，即a的取值范围为4≤a<6． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，整式的化简求值，非负数的应用，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 【变式1-2】阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足12b+61=0，求的最大边c的值． 【答案】(1)的值是9 (2)的最大边c的值可能是6，7，8，9，10 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性； （1）先配方，然后由非负数性质求得结果； （2）先配方，然后由非负数性质求得a、，进而由三角形三边关系求解即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴． ∴， 即的值是9． （2）解： ∴，． ∴，． ∵，， ∴． ∴的最大边c的值可能是6，7，8，9，10． 【变式1-3】阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】 (1)若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为_________． (2)配方：________； 【知识运用】 (3)已知，则______，______； (4)求多项式：的最小值． 【答案】(1) (2)19 (3)，4 (4)2 【分析】（1）根据完全平方式的形式求解即可； （2）利用配方法的步骤求解即可； （3）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解m、n值即可； （4）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可． 【详解】（1）解：∵多项式是一个完全平方式， ∴，则， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：19； （3）解：由得 ， 即， ∴，， 解得：，， 故答案为：，； （4）解： ， ∵， ∴当时，有最小值2． 【点睛】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解答的关键． ▌题型07 利用配方法判断三角形的形状 1.已知三边满足整式等式； 2.分组配方，得到多个平方相加 = 0； 3.得（等边三角形）、或或（等腰三角形）； 4.若同时满足两边平方和 = 第三边平方，则为直角三角形。 【典例7】若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】为等腰三角形，理由见解析． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解：为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∵， ∴为等腰三角形． 【变式1-1】已知在△ABC中，三边长a、b、c满足a2+8b2+c2-4b（a+c）=0，试判断△ABC的形状并加以说明． 【答案】三角形是等腰三角形 【分析】把原式根据完全平方公式进行因式分解，根据非负数的性质求出a、c的关系，判断即可． 【详解】三角形是等腰三角形． a2+8b2+c2-4b（a+c）=0， a2+8b2+c2-4ab-4bc=0， a2-4ab+4b2+c2-4bc+4b2=0， （a-2b）2+（c-2b）2=0， 则a=2b，c=2b， ∴a=c， 则三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，掌握分组分解法、公式法因式分解的一般步骤是解题的关键． 【变式1-2】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求的周长的最大值及最小值； (2)若a，b，c满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)周长的最小值为，周长的最大值为 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式变形求值，等边三角形的判定． （1）根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而作答即可； （2）根据完全平方公式将原式变为，可知，即是等边三角形． 【详解】（1）解：，，且c为整数， ，即， ，5，6， 当时，周长的最小值； 当时，周长的最大值； （2）解：是等边三角形． 理由：， ， ， ，， ∴， 是等边三角形． 【变式1-3】先阅读材料，再解决下列问题． 例如：用配方法求代数式的最小值． 原式． ∵， ∴当时，有最小值是2． 根据上述所用方法，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)3 (2)1，大，-2 (3)直角三角形，见解析 【分析】（1）凑成完全平方加一个数值的形式． （2）和（1）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式． （3）先因式分解，判断字母，，三边的关系，再判定三角形的形状． 【详解】（1）解：； ∴的最小值是3． （2）， ， ， ∴当的时，有最大值． 故答案为：1，大，． （3）， ， ， 三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0． ，，， 解得，，． ∵， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题． ▌题型08 利用配方法解决新定义问题 1.读懂题目给出的全新运算、定义规则； 2.按定义列式后，借助配方法化简、求参、求最值； 3.结合配方后的非负性、取值范围作答。 【典例8】把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是__________． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了新定义运算和配方法求最小值问题，解决此题的关键是正确理解题目中新定义；由题中新定义得到的值，再把配方得到最小值即可； 【详解】解：∵一元二次方程与是“同族二次方程”， 即一元二次方程与是“同族二次方程”， 由新定义可知：此两个方程是一样的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴代数式的最小值是2025． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“雅美数”有 个； ①10         ②28       ③45       ④39 （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为　　　； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值； （4）拓展结论：已知实数x，y满足，直接写出的最小值． 【答案】（1）2；（2）9；（3）13；（4）3 【分析】本题考查的是配方法的应用，理解并掌握雅美数的定义是解题的关键． （1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论； 【详解】（1）解：∵，， ∴10，45，都是“雅美数”， 故答案为：2； （2）∵， ∴，， ∴ 故答案为：9； （3）∵ ； ∵S为“雅美数”， ∴， ∴； （4）∵， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 【变式1-3】配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $