1.4 正方形的性质与判定第2课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定，通过复习正方形定义、性质，结合长方形纸对折剪角实验引导探究，构建从平行四边形、矩形、菱形到正方形的判定路径，形成递进式学习支架。 其亮点在于以动手操作和几何证明结合，通过定理推导（如矩形+邻边相等得正方形）及中点四边形表格（原四边形对角线关系与中点四边形形状），培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力）。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

第1章 特殊平行四边形 4 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 1 复习导入 (1)正方形的定义：有一组邻边相等，且有一个角为直角的____________叫正方形。 (2)正方形的性质：①四条边都______；②四个角都是______；③对角线______，并且互相___________，每条对角线______一组对角；④是____对称图形，且有_______对称轴。 平行四边形 相等 直角 相等 垂直平分 平分 轴 四条 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (3)正方形是特殊的______，特殊的_______，也是特殊的_______________，因而正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。 (4)讨论：正方形的判定方法有哪些？ 正方形的判定既判定四边形是______，又判定四边形是_______。 矩形 菱形 平行四边形 矩形 菱形 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 探究一 探索正方形的判定条件 将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样剪才能剪出一个正方形？ 提示：剪口线与折痕成 45°角即可。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 4 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 对角线相等 对角线垂直 如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 判断四边形是正方形有哪些方法？ 1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角.（定义法） 2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等. 3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：ABCD 是矩形，且 AB = BC，试证明，ABCD 是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，试证明，ABCD 是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD 又∵AC ⊥ BD， ∴△AOB ≌ △AOD（SAS） ∴AB = AD ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 定理：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：ABCD 是菱形， ∠A=90°，试证明，ABCD 是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， 又∵∠A = 90° ， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 定理：对角线相等的菱形是正方形. 已知：ABCD 是菱形， AC = BD，试证明，ABCD 是正方形. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， OA = OC = OB = OD ∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直） 又∵AC = BD ， ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形. ∴∠ABC = 90°. ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 如图，在△ABC 中，EF 为 △ABC 的中位线， ①若∠BEF = 30°，则∠A =______. ②若 EF = 8 cm, 则 AC =______. 你还记得三角形的中位线定理吗？ 30° 16 cm 探究新知 探究二 正方形判定方法的应用 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 一般四边形的中点四边形 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？ 任意四边形的中点四边形 是平行四边形. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？ 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 ？ 矩形 ？ 菱形 ？ 正方形 ？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 平行四边形的中点四边形 平行四边形的中点四边形会是什么形状？ 平行四边形的中点四边形是平行四边形. 你能试着证明这个结论吗？ （提示：连接AC、BD） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 矩形的中点四边形 矩形的中点四边形会是什么形状？ 矩形的中点四边形是菱形. 你能试着证明这个结论吗？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴EF∥AC 且 EF =AC， 同理可证 HG∥AC且HG = AC， EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等）， ∴EF = EH ∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 菱形的中点四边形 菱形的中点四边形会是什么形状？ 菱形的中点四边形是矩形. 你能试着证明这个结论吗？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD. ∴EF∥HG，EH∥FG， 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 ∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴∠1 = 90°，∠2=90°. ∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 正方形的中点四边形 正方形的中点四边形会是什么形状？ 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 矩形 菱形 菱形 矩形 正方形 ？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为正方形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC 且EF =AC， 同理可证 HG∥AC 且 HG =AC， EH∥BD且 EH =BD，FG∥BD且FG =BD. ∴四边形 PFQO 为平行四边形. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 又∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC = BD（正方形的对角线相等） AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直）， ∴EF = FG = HG = EH，∠1 = 90°. ∴四边形 EFGH 是菱形（四边相等的四边形是菱形），∠2 = 90°. ∴四边形 EFGH 为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？ 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。 原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且 垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 小结 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 应用举例 【例1】(教材P19例2)已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形 BECF 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°. 又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB， ∴∠EBC =∠ABC = 45°，∠ECB =∠DCB = 45°. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 ∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC. ∴□ BECF 是菱形（菱形的定义）. 在△EBC 中， ∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°， ∴∠BEC = 90°. ∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。 (1)求证：△BED≌△CFD； (2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形。 【方法指导】(1)用AAS证明△BED≌△CFD；(2)先证明是矩形，再用邻边相等的矩形判定正方形。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C。 ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD。 ∵D为BC边的中点，∴BD＝CD。 ∴△BED≌△CFD(AAS)。 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。 (1)求证：△BED≌△CFD； 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (2)∵∠A＝90°，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴四边形DFAE是矩形。 ∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF。 ∴四边形DFAE是正方形。 (2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 课堂小结 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形. 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形. 定理：有一个角是直角的菱形是正方形. 定理：对角线相等的菱形是正方形. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。 原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且 垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 随堂练习 1．下列选项中，不能判定四边形ABCD是正方形(对角线相交于点O)的是 ( ) A．AB綊CD，AB＝AD，∠A＝90° B．AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90° C．∠A＝∠B＝∠C＝90°，AC＝BD D．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD C 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2．若一个正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是____。 8 3．如图，在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB。若BE＝4，则S四边形ABCD＝____。 16 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 4．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH。 (1)求证：△EBF≌△HAE； (2)判定四边形EFGH的形状，并说明理由。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (1)证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°。 又∵AE＝BF＝DH＝CG， ∴AH＝BE＝CF＝DG。 ∴△EBF≌△HAE(SAS)。 4．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH。 (1)求证：△EBF≌△HAE； 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (2)判定四边形EFGH的形状，并说明理由。 (2)解：四边形EFGH的形状为正方形。理由如下： 由(1)得，△EBF≌△HAE。 同理，△EBF≌△FCG，△FCG≌△GDH。 ∴△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE。 ∴EF＝FG＝GH＝HE，∠AEH＝∠BFE。 ∵∠B＝90°，∴∠BFE＋∠FEB＝90°。 ∴∠AEH＋∠FEB＝90°。 ∴∠HEF＝90°。 ∴四边形EFGH为正方形。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 $