3.1.2 函数的表示法-【初高中衔接直通车】2026年初升高数学衔接直通车

第二篇高中知识预习 3.1.2函数的表示法 基础知识整合G还。 1.函数的三种表示方法 分段函数在书写时要用大括号，把各段函 注意三种表示方法的优缺点 数合并写成一个函数的形式，并写出各段 表示法 定义 的定义域 用 表示两个变量之间的对 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域 解析法 应关系 内，对于自变量x的不同取值范围，有着 用 表示两个变量之间的对应 图象法 不同的 的函数 关系 (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分 列出 来表示两个变量之间的 列表法 别是各段函数的定义域、值域的 ,各 对应关系 段函数的定义域的交集是 2.分段函数 (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段 分段函数的定义域、值域分别是各段函数 的定义域、值域的并集。 的图象. 新知自主探究G3还D ◆◆◆ 探究点一函数的三种表示方法 【解析】当0<x<5时，f(x)>x的整 【典例1】(1)某学生离家去学校，一 数解为{1,2,3} 始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图 当5≤x<10时，f(x)>x的整数解为{5}： 中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的 当10≤x<15时，f(x)>x的整数解为☑. 时间，则较符合该学生走法的是 ) 当15≤x<20时，f(x)>x的整数解 为⑦ 综上所述，f(x)>x的整数解的集合 是{1,2,3,5}. 【答案】{1,2,3,5} 【解析】由题意可知，一开始速度较快， (3)已知两个函数f(x)和g(x)的定义 后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来 域和值域都是集合{1,2,3}，其函数对应关系 曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以 如下表： 开始时距离最大，最后距离为0. 2 【答案】D f(z) 3 (2)下表表示函数y=f(x),则f(x)>x 的整数解的集合是 1 2 3 0<x<5 5≤x<1010≤x<1515≤x<20 g(z) 3 2 y=f(x) 4 6 10 则方程g(f(x))=x的解集为 61 初高中衔接直通车·数学 【解析】当x=1时，f(1)=2,g(f(1)= 探究点二求函数的解析式 2,不符合题意； 【典例2】(1)已知函数f(2x十1)= 当x=2时，f(2)=3,g(f(2))=1,不符 6x十5，则f(x)的解析式是 合题意； A.f(x)=3x十2 B.f(x)=3x+1 当x=3时，f(3)=1,g(f(3)=3,符合 C.f(x)=3x-1 D.f(x)=3x+4 题意 综上，方程g(f(x)=x的解集为{3). 【解析】解法-令2x十1=，则x-2, 【答案】{3} 所以f0=6×2+5=3+2, 【方法总结】 所以f(x)=3x十2. (1)函数三种表示方法的选择 解法二因为f(2x十1)=3(2x十1)十2， 解析法、图象法和列表法分别从三个不 所以f(x)=3x十2. 同的角度刻画了自变量与函数值的对应关 系.采用解析法的前提是变量间的对应关系 【答案】A 明确，采用图象法的前提是函数的变化规律 (2)设函数f(十)=x,则f(x)的表达 清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量 式为 ( ) 的个数较少. (2)应用函数三种表示方法应注意以下三点 A.f(x)=1+z 1-x B.f(x)=1十x x-1 ①解析法必须注明函数的定义域； C)= D.fx）= 2x ②列表法必须能清楚表明自变量与函数 值的对应关系； 【解析】 令 ③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线” [对点训练] 解释x代入=x 1.某航空公司规定，乘客所携带行李的质量 可得)-+ (kg)与其运费（元）由下图所示的函数图 所以f()= 象确定，那么乘客免费可携带行李的最大 质量为 () 【答案】C 4运费/元 【方法总结】 930 求函数解析式的常用方法 630 330- (1)待定系数法：若已知函数的类型， 304050质量kg 可用待定系数法求解，即由函数类型设出 A.15 kg B.17 kg 函数解析式，再根据条件列方程（组），通 C.19 kg D.20 kg 过解方程（组）求出待定系数，进而求出 2.观察下表： 函数解析式 (2)换元法（有时可用“配凑法”）：已知函 x -3 -2 数f(g(x)的解析式求f(x)的解析式可用 f(x) 5 -3 3 5 换元法（或“配凑法”），即令g(x)=t,反解出 g(x) 2 x,然后代入f(g(x)中求出f(t),从而求出 则f(g(3)-f(一1))= f(x). 62 第二篇高中知识预习 (3)消元法（或解方程组法）：在已知式子 【方法总结】 中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个 1.求分段函数函数值的方法 变量有着某种关系，这时就要依据两个变量 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间. 的关系，建立一个新的关于这两个变量的式 (2)然后代入该段的解析式求值.当出现 子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消 f(f(x))的形式时，应从内到外依次求值. 去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方 2.已知分段函数的函数值求对应的自变 法叫做消元法（或解方程组法）. 量的值，可利用分段函数解析式求得自变量 [对点训练] 的值，但应注意检验函数解析式的适用范围， 也可先判断每一段上的函数值的范围，确定 1.若fx-）=x2+是，则f)=( 解析式再求解」 A.x2+2 B.x2-2 [对点训练] C.(x+1)2 D.（x-1)2 1.已知函数f(x)的图象是两条线段（如图所 2.已知函数f(x)= 品则r(品)+ 示，不含端点)，则(3)= 品)+f(品)+…+f()的值为 探究点三 分段函数求值问题 |x+3,x>10, 【典例3】(1)f(x)= f(f(x+5),x≤10， B.3 C.- 3 D.3 则f(5)的值是 ( (x+1,x<1, A.24 B.21 2.已知函数f(x)= x2+ax,x≥1， C.18 D.16 f(f(0))=4a,则实数a= x,x≤-2， (2)已知f(x)=x+1,一2<x<4,若 A.2 3x,x≥4， C. D.9 f(a)<一3，则a的取值范围为 ( 3 A.(-3,+∞) B.[-3,十∞) [归纳小结] C.(-∞，-3) D.(-∞，-3] 1.函数三种表示法的优缺点 【解析】(1)f(5)=f(f(10),f(10)= 一是简明、全面概括了 变量间的关系；二是利缺 不够形象、直观，而且 f(f(15)=f(18)=21,.f(5)=f(21)=24.故 解析法 优 并不是所有函数都有 点 用解析式可求任一函数 点 解析式 选A. 优能形象直观地表示函 只能近似求出自变量 图象浅 (2)当a≤一2时，a<-3,∴.a<-3; 点数的变化情况 的值所对应的函数值 点 而且有时误差较大 当-2<a<4时，a十1<-3，a<-4,此 仅能表示自变量取较 圆表法优 不需计算可以直接看 出与自变量对应的函 缺少的有限值时的对应 时不等式无解； 数值 关系 当a≥4时，3a<一3，a<一1此时不等 2.分段函数是一个函数，而不是几个函数，只 式无解，故选C 是对于x的不同取值区间，有着不同的对 【答案】(1)A(2)C 应关系 63 初高中衔接直通车·数学 学习效果检测C金。 ◆◆◆ A基础巩固练 C.函数的定义域是(-∞，0]U[2,3] 1.甲、乙两人在一次赛跑 D.函数的值域是[1,5] 中，从同一地点出发，路 6.已知函数f(√x十1)=x,则函数f(x)的解 程S与时间t的函数关 析式为 () 系如图所示，则下列说法 A.f(x)=(x-1)2(x≥0) 正确的是 B.f(x)=(x+1)2(x≥0) A.甲比乙先出发 C.f(x)=(x-1)2(x≥1) B.乙比甲跑的路程多 D.f(x)=(x+1)2(x≥1) C.甲、乙两人的速度相同 7.某班连续进行了5次数学测验，其中王芳 D.甲比乙先到达终点 同学的成绩如表所示，则在这个函数中，定 2.已知f(x)是反比例函数，且f(一3)= 义域是 ,值域是 一1，则f(x)的解析式为 ( 次序 1 2 3 4 5 A.f(x)=-3 B.f(.x)=3 成绩 145 140 136 141 145 C.f(x)=3x D.f(x)=-3x 8.(2024·上海卷)已知函数f(x)= 3.已知函数f(x)=ax十白+5(a≠0，b≠0)， 元，x>0,则f3)= f(2)=3,则f(一2)= () 1,x≤0， A.7 B.-7 C.5 D.-5 B能力提升练 4.函数f(x)=x-2x的大致图象是（) 9.函数y=x十的图象是 D 10.一等腰三角形的周长是20，底边长y是关 于腰长x的函数，则它的解析式为() A.y=20-2x D B.y=20-2x(0<x<10) 5.(多选题)已知函数f(x)的图象由如图所 C.y=20-2x(5≤x≤10) 示的两条曲线组成，则 () D.y=20-2x(5<x<10) 11.已知函数f(x)的图象如图，则f(x)的解 析式为 -3-2-101234x A.f(f(-3)=1 B.f(-1)=3.5 64 第二篇高中知识预习 12.已知fx)=x2-bx+c且f1)=0,f(2)= -3. (②求八十的解折式及其定文蚊 (1)求f(x)的解析式； 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 基础知识整合G@还包 ◆◆● 1.函数的单调性 续表 如果Hg,x∈D,当x< 一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间D二I x2时，都有 ,那么 减 金 就说f(x)在区间D上单调 ) iA(x) 如果Hx1,x2∈D,当x1< 数 递减.特别地，当f(x)在它 0 2 x2时，都有 ,那 的定义域上单调递减时，我 增 们就称它是 么就称函数f(x)在区间 安 D上单调递增.特别地， 2.函数的单调区间 数 当f(x)在它的定义域上 0x1 如果函数y=f(x)在区间D上 或 单调递增时，我们称它是 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间 上具有（严格的）单调性，区间D叫做函数 y=f(x)的 新知自主探究cD ◆◆◆ 探究点一函数单调性的判定与证明 【解析】选项A,C,D中的函数在 【典例1】(1)下列函数中，在区间 (0,2)上是减函数，只有函数y=x2十2在 (0,2)上为增函数的是 (0,2)上是增函数， A.y=5-x B.y=x2+2 【答案】B (2)下列四个函数在（一∞，0）上为增函 C.y=1 D.y=-zl 数的是 65初高中衔接 二次函数y=2(x一c)2十c的图象经过“智勇，点” M,N, ∴.将N(0,0)代入y=2(x-c)2+c, 0=20-02+c1=-是，6g=0(含去)， 二次画数解标或可支为y=2(十号)》-司，对称 轴为直线x=一2， 1 当m<一时，2=m时y取最小值， 2(+号}了-名-号4将m-受m=受， 3 5 m<-m=-号 当m-1>二2时，在x=m一1时y取最小值， 2m-1+)）-=号，解得m=3 5 221 -2m4= .m-1> 1 1 5 zm>2心m=2 综上所起，m=一号或m=是 第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 [基础知识整合] l.实数集任意一个数x唯一x[a,b](a,b)[a,b) (a,b]2.(1)相同相同3.(1)RR(2)R [新知自主探究] 典例1对点训练 1.解析：(2)不是函数关系.如当x=4时，y=士2，其不满 足函数的定义，而(1)(3)(4)是函数关系. 答案：(1)(3)(4) 2.C由函数定义可知，任意作一条直线x=,则与函数的图象至 多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数 [学习效果检测] 1.D对于A,B,C,并不是所有的x都有唯一的y值与之 对应，故A,B,C错误；对于D,每个x都有唯一的y值 与之对应，D正确.故选D. 2D由3-220得x≥号，月区间表示为[号十故 选D. 3C由题意得任一产8：解得≥1且x≠3，即定又该 为[1,3]U(3,十∞).故选C. 4.C因为f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,且f(x)的图象 开口向上，对称轴为直线x=1,所以当x=1时，f(x)有 最小值-1，当x=-1时，f(x)有最大值3.故选C. 5.A由函数表达式可知，函数要有意义需满足一2x2一 3x+2≥0，解得-2<x≤2，所以函数fx) V一2r-8a+2的定又城为[-2，]，故选A 6.Cf(0)=f(5-5)=5.故选C. 7.解析：f(x)=√mx2十mx十1的定义域为R, .对任意x∈R,mx2十mx十1≥0恒成立. 当m=0时，1≥0恒成立，满足题意； 当m≠0时有公8：中im≤0. ,/m>0, 解得0<m≤4. 综上，实数m的取值范围为[0,4]. 答案：[0,4] 直通车·数学 8.解：由x2-x-6≥0，得x≤-2或x≥3， 所以A=(-∞，-2]U[3,十∞). 由g(x)=x2-2x-a=(x-1)2-1-a(-1≤x≤4)，得 -1-a≤g(x)≤8-a, 所以B=[-1-a,8-a]. 因为AUB=R,所以{8-a≥3， /-1-a≤-2， 解得82：p1a≤5， 所以实数a的取值范围为[1,5]. 9.A由题意得9(10)表示不超过10且与10互素的正 整数的个数， 易得1与10互素；2与10最大公约数是2，不互素，3与 10互素；4与10最大公约数是2，不互素；5与10最大 公约数是5，不互素； 6与10最大公约数是2，不互素；7与10互素；8与10 最大公约数是2，不互素；9与10互素；10与10最大公 约数是10，不互素. 故与10互素的有1,3,7,9，共4个，即p(10)=4,故 选A. 10.ABD在A中，f(2x)=|2x|=2|x|,2f(x)=2x|,满 足f(2x)=2f(x);在B中，f(2x)=2x-|2x|=2(x |x|)=2f(x),满足f(2x)=2f(x);在C中，f(2x)=2x +1,2f(x)=2(x+1)=2x+2,不满足f(2x)=2f(x); 在D中，f(2x)=一2x=2(-x)=2f(x),满足f(2x)= 2f(x).故选ABD. 11.解析：g(x)的定义域B={x|x<a十1}，由于A∩B= 0,画数轴： A a+14 易得a十1≤4，即a≤3. 答案：(-∞，3] 12.解：(1)f3)=3-32 1+32 1+42 17 fg3)=f(3) 3-( 13 1+(传 1 fg(4)=f(）)片 3-() 1+(4 17 (2)因为f(x) 3- 1+,则 fgx)=f(2） 3(2月 3.x2-1 1+() x2+1 所以f(x)+f(g(x)=2+3x2-1= x2+1 3-x2+3x2-1_2(1+x2) =2 1+x2 1+x2 3.1.2函数的表示法 [基础知识整合] 1.数学表达式图象表格2.(1)对应关系(2)并集 空集 [新知自主探究] 典例1对点训练 1.C由题图知函数的图象是一条直线，可以用一次函数 表示，设为y=x十b,将点(30,330)，(40,630)代入得 =30,b=-570,所以y=30x-570,令y=0得x=19. 4 参考 2.解析：g(3)=一4，f(-1)=-1,故g(3)-f(-1)=-4 -(-1)=-3,所以f(g(3)-f(-1))=f(-3)=5. 答案：5 典例2对点训练 1A把（红一）看成一个整体，然后对函数式运用配方 法将式子整理成f(红-）-（红-）+2，整你替 换，所以f(x)=x2+2. 2.解折：周为f)=器导所以fx)+f1-x) 要+习昌3 所以f()+f(号)+f(品)++f()=5x3=15, 答案：15 典例3对点训练 1.B由图象知f(x)=x+1,-1<x<0, (x-1,0<x<1, 所以（兮）=吉-1=-号 所以(r(3)=f(-号)=-号+1=子 2.C由题意，f(0)=0十1=1， 所以f(f(0)=f(1)=1+a=4a,所以a= 3 [学习效果检测] 1.D由图可知甲与乙跑共同的位移S时，甲用的时间较少. 2.B设fx)=,由f(-3)=-1,得3=-1， 所以=3，所以f(x)=3 x 3.A国为f2)=3,所以2a+合+5=3， 所以2a+号-2， f-2)=-2a+2+5=-(2a+2)+5=7. 4.C函数f(x)=x2一2|x|的定义域为R,关于原点 对称， 又f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2x|=f(x),所 以函数f(x)为偶函数， 所以函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除A、B选项； 又f(-1)=(-1)2-2|-1|=1-2=-1,故排除D 选项. 所以函数f(x)=x2-2x的大致图象是C.故选C. 5.AD选项A,由图象可得f(-3)=2,所以f(f(一3) =f(2)=1,A正确；选项B,图象法只能近似地求出函 数值，且有时误差较大，故由图象不能得出f(一1)的确 定值，B错误；选项C,由图象可得函数的定义域为 [一3,0]U[2,3],C错误；选项D,由图象可得函数的值 域为[1,5]，D正确.故选AD. 6.C设t=√元+1≥1，则x=(t-1)2,因为f(W元+1)=x,可 得f(t)=(t-1)2,t>1, 所以函数f(x)=(x-1)2(x≥1).故选C. 7.解析：由列表法可知，函数的定义域为{1,2,3,4,5}，值 域为{136,140,141,145}. 答案：{1,2,3,4,5}{136,140,141,145} 8.解析：因为3>0，所以f(3)=√3. 答案：w3 .Dy+4-+18 答案 10.D由题意得y+2x=20,所以y=20一2x, 又2x>y,即2x>20-2x,即x>5, 由y>0,即20-2x>0得x<10, 所以5<x<10. 11.解析：因为f(x)的图象由两条线段组成，由一次函数 解祈式求法可得 fx)=(x+1,1≤x<0, 1一x,0≤x1. 答案：)=仁130， 12.解：(1)由f(1)=0,f(2)=-3,得1-b+c=0,4-2b 十c=-3,解得b=6,c=5. ∴.f(x)=x2-6x+5. 行+5= 6十5.由x十1>0，得定义城为(-1，十∞). W/x+1 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 第1课时函数的单调性 [基础知识整合] 1.f(x1)<f(x2)增函数f(x1)>f(x2)减函数 2.单调递增单调递减单调区间 [新知自主探究] 典例1对点训练 DA在R上为减函数，B在(0,2)上为减函数，C在(0， 十o)上为减函数. 典例2对点训练 C由-2x十1≥0，得≤7，又一次函数y=-2x十1 为R上的减函数，故f(x)=√一2x十1的单调减区间为 （-∞2 17 典例3对点训练 1.D因为f(x)=(2a一1)x十b在R上是减函数， 所以2a-1<0,即a<2 2.C因为函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)> f(-m+12),所以2m>一m十12，即m>4. [学习效果检测] 1.B因为-1<1，故f(-1)>f(1),故A错，B对. 2.Df(x)=-(x-a)2+a2,当a≤1时，f(x)在[1,2]上 是减画教g)=千当a>0时，g)在[1,2]上是减 函数，则a的取值范围是0<a≤l. 3.AB因为函数f()的对称轴为x=贺， 所以1x)在][贺十o)上是递增的， 所以智≤-2，所以m≤-16。 则f(1)=4-m+5=9-m≥25. f(-1)=4+m+5=9+m≤-7. 4C=x-4=年4. 作出函数图象，如图： 3=x-4 0 4 所以函数y=x一4|的单调递减区间为（一0∞，4幻. 故选C. 5