2.1 等式性质与不等式性质-【初高中衔接直通车】2026年初升高数学衔接直通车

初高中衔接直通车·数学 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 基础知识整合c3@可 ◆◆◆ 1.两个实数大小的比较 3.不等式的性质 如果a一b是正数，那么 ；如果 (1)如果a>b,那么 ;如果b<a, a一b等于零，那么 ;如果a-b是负 那么a>b.即a>b台 数，那么 .反过来也对.这个基本事 (2)如果a>b,b>c,那么 实可以表示为a>b台 ,a=b→ ,a<b台 即a>b,b>c→ 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大 (3)如果a>b,那么 小，可以转化为比较它们的差与 的 (4)如果a>b,c>0,那么 大小 如果a>b,c<0,那么 2.等式的基本性质 (5)如果a>b,c>d,那么 性质1如果a=b,那么b=a; 性质2如果a=b,b=c,那么a=c; (6)如果a>b>0,c>d>0,那么 性质3如果a=b,那么a士c=b士c; 性质4如果a=b,那么ac=bc; (7)如果a>b>0,那么 (n∈N, 性质5如果a=b,c≠0，那么=b n≥2). 新知自主探究G包 ◆◆◆ 探究点一利用不等式（组）表示不等关系 别为400和500.写出满足上述所有不等 【典例1】某厂拟生产甲、乙两种适 关系的不等式（组）. 销产品，甲、乙产品都需要在A,B两台设 【解】设甲、乙两种产品的产量分别为 备上加工，在A,B设备上加工一件甲产 /x+2y≤400， 品所需工时分别为1小时、2小时，加工 2x+y≤500， x件、y件，由题意可知， 一件乙产品所需工时分别为2小时、1小 x≥0，x∈N, 时，A,B两台设备每月有效使用时数分 y≥0，y∈N. 40 第二篇高中知识预习 【方法总结】 【解】x-y=(m4-m3n)-(n3m-n4) 用不等式（组）表示不等关系的3个步骤 =m3(m-n)-n3(m-n) (1)分析题中有哪些未知量. =(m-n)(m3-n3) (2)选择其中起关键作用的未知量设为 =(m-n)2(m2+mn+n2), x或y,再用x或y来表示其他未知量 因为m≠n,所以(m-n)2>0, (3)根据题目中的不等关系列出不等式 因为m+m+=(m+号2+>0， 2 (组) 所以(m-n)2(m2+mn十n2)>0, [对点训练] 所以x一y>0,所以x>y. 【方法总结】 (1)用一段长为30m的篱笆围成一个一边 比较两个数（式）大小的两种方法 靠墙的矩形菜园，墙长18m,要求菜园的 (1)比较大小时，要把各种可能的情况都 面积不小于216m,靠墙的一边长为xm, 考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论， 其中的不等关系可用不等式（组）表示 每一步运算都要准确，每一步推理都要有充 为 分的依据. (2)某品牌风味酸奶的质量检查规定，酸奶 (2)用作商法比较代数式的大小一般适用 中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质 于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是 的含量饣应不少于2.3%，如何用不等式 化简变形，从而使结果能够与1比较大小. 组表示上述关系？ [对点训练] (1)已知实数a,b,c满足b十c=6一4a+ 3a2,c-b=4一4a+a2,则a,b,c的大小关 系是 () A.c≥b>a B.a>c≥b C.c-6-a D.a>c>b (2)若m<n,p<q,且(p-m)(p-n)<0, 探究点二比较数（式）的大小 (q一m)·(q一n)<0,则m,n,p,q的大小顺 【典例2】(1)设m=2a2+2a+3,n= 序是 探究点三不等式的基本性质 (a十1)2，则m,n的大小关系是 【典例3】(1)（多选题）已知下列四个 【解析】m-n=2a2+2a+3-(a十1)2= 条件：①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b, a2+2>0.故m>n. 【答案】m>n @a>6>0.能推出2<号成立的有（) (2)设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4, A.① B.② 比较x与y的大小. C.③ D.④ 41 初高中衔接直通车·数学 (2)对于实数a,b,c,有下列说法： (2)对于不等号两边式子都比较复杂的 ①若a>b,则ac<bc; 情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考 ②若ac2>bc2,则a>b; 虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据 ③若a<b<0,则a2>ab>b2. 条件确定每一个因式（式子）的符号，利用符 其中正确的是 (填序号). 号法则判断最终的符号，完成证明. 【解析】(1)运用倒数性质，由a>b,ab>0 [归纳小结] 可得}<名，②④正确，又正数大于负数，① a 1.作差法比较大小的一般步骤 正确，③错误 第一步：作差 (2)①中，c的正负或是否为0未知，因而 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒 判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确. 等变形手段，将“差”化成“积”。 ②中，由ac2>bc2,知c≠0，故c2>0, 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0， 所以a>b成立，故②正确. 还是小于0.（不确定的要分情况讨论) ③中， a<b, 1a<b, 最后得结论 →a2>ab, b<0, →ab> a<0, 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目 b2,所以a2>ab>b,故③正确.故填②③. 的，“变形”是关键。 【答案】(1)ABD(2)②③ 2.在利用不等式的性质进行证明、判断或 【方法总结】 者推理的过程中，要注意性质成立的条 利用不等式的性质证明不等式的方法 件，不能出现同向不等式相减、相除的 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件， 情况，要特别注意同向不等式相乘的条 利用不等式的性质，通过对不等式变形得证， 件为同为正 学习效果检测G A基础巩固练 C.12x+6y+13z≤125 1.（多选题)某工艺厂用A,B两种型号不锈 D.12x+6y+13z≥125 钢薄板制作矩形、菱形、圆三种图形模板， 2.若a<b0,则下列不等式不成立的是() 每个图形模板需要A,B不锈钢薄板及该 厂两种薄板张数见下表： A.11 B.11 a-b a 矩形 菱形 圆 总数 C.a>b D.a2>62 5 3 10 55 B 12 6 13 125 3.若台分<0，有下面四个不等式：①a> 该厂签购制作矩形、菱形、圆三种模板分别 b|;②a<b;③a+b<ab:④a3>b3.不正 为x,y,z(x,y,之∈N)块.上述问题中不 确的不等式的个数是 等关系表示正确为 A.5x+3y+10x≥55 A.0 B.1 B.5x+3y+10z≤55 C.2 D.3 42 第二篇高中知识预习 4.持续的高温干燥天气导致某地突发山火， B能力提升练 现需将物资运往灭火前线.从物资集散地 9.已知x>y>之，x十y十之=0，则下列不等式 一定成立的是 () 到灭火前线一共40km,其中靠近灭火前 A.xy>yz B.xz>yz 线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他 C.xyxz D.xy>zy 路段可用汽车运送.已知在可用汽车运送 10.若a<<c,则6十。的值为（) 的路段，运送的平均速度为60km/h,设需 A.正数 B.负数 摩托车运送的路段平均速度为xkm/h,为 C.非正数 D.非负数 使物资能在1小时内到达灭火前线，则x 11.已知实数a,b满足-3<a+2b<2,-1< 应该满足的不等式为 ( 2a一b<4,则a的取值范围为 4071 A.60+x B.。40 <1 12.已知12<a<60,15<36,求a-b和号 60+x 的取值范围. c+>1 D+<1 5.设a,b是实数，则“a>b>1”是“a十1> 6+号”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.已知2<m<7,-3<n<-1,则() A.0<3m+2n<19B.4<3m+2n<15 C.-5<3m+2n<11D.1<3m+2n<5 7.如果a∈R,且a+a<0,则a,a2,-a, 一a的大小关系是 8.给出下列命题： ①若a>0,a>6,则日分： ②若a>b,c>d,则a-c>b-d; ③对于正数a6,m,若ab,则号<号 其中真命题的序号是 43参考 11.ABA∩B=B,∴.B≤A. A={-2}≠0，.B=必或B≠0. ①当B=☑时，方程ax十1=0无解，此时a=0. ②当B≠必时，此时a≠0，则B={日} -∈A,即有-=-2，得a=2 a 1 综上，得a=0或a=2: 12.解析：B={x|x>1},.CB={x|x≤1}， 则AU(uB)={x|x≤1}. 答案：{x|x≤1} 13.解析：不等式x-m<1的解集为{x|x<m十1}， 根据题意可得{xx<2}是{x|x<m十1}的真子集，故 可得m+1>2,m>1, 即实数m的取值范围是{mm>1}. 故答案为{mm>1}. 答案：{mm>1} 14.解析：由题意知，Hx∈R,2x2-3ax十9≥0为真命题， ∴.△≤0，.-2√2≤a≤2√2. 答案：[-2√2,2√2 15.解：由已知得B={x|x≥-3}， (1)A∩B={x-3x-2}. (2)AUB={xx≥-4}. (3)CR(A∩B)={xx<-3或x>-2. 16.解：(1)若a-1=0,即a=1,则B={0},符合题意. 若a一1≠0，即a≠1，则由B中恰有一个元素，得△= a2-4(a-1)2=0, 部得a=2或a=号 综上所迷，a的值构成的集合为{1,2，号}》 (2)由x+4=5,解得x=1或x=4,则A=1,4. 若B-,特台EA则侣1)G0. 解得a<号我>2. 若1∈B,则3a-2=0,解得a=号，则B=(1,符合 BCA. 若4∈B,则21a-17=0,解得a=员则B={4,}, 不符合B二A. 综上所速a的取值范国为(-o0,号]U(2,十∞). 17.解：(1)当a=-1时，B={x-1<x<2},因为A= {x|0<x<1},所以A∩B={x|0<x<1}. (2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件知B二A, 。1 当B=⑦时，显然B二A,则a≥1-a,即a≥2 1a<1-a, 当B≠②时，由BEA得。≥0，即0a<2, 1-a1, 综上，a≥0，即实数a的取值范围为{aa≥0}. 18.解析：(1)若命题p:关于x的方程x2一2mx十8一2m=0 的两根均大于0为真命题， 1(-2m)2-4(8-2m)≥0， 则{2m>0, 解得2m<4, 8-2m>0, 所以当命题p为假命题时m≥4或m<2, 即实数m的取值范围为（一∞，2）U[4,+∞). (2)若3x∈[1,3]，mx+1≥0，即3x∈1,3]，m≥ 、1 10 答案 设f(x)=-,x∈[1,3]，故只需m≥f(m= f(1)=-1,所以m≥-1， 即命题q为真时实数m的取值范围为m≥一1； 因为p,9有且只有一个是真命题， (1)若力真q假，结合(1)中结论可知，则 2≤m<4,解得m∈； lm<-1, (iⅱ)若p假g真，结合(1)中结论可知， 2支侧，解得1长m<2或m≥4， 综上所述，实数m的取值范围为[一1,2)U[4,十o∞). 19.解：(1)若存在实数m满足x∈B是x∈A的充要条 件，则A=B, 得行2士解得四=3无解 故不存在这样的m符合题意. (2)若x∈B是x∈A的充分条件，则B二A, 当B=0时，m十1>2m-1,解得m<2; m+12m-1, 当B≠⑦时，{-2≤m十1，解得2≤m≤3， 2m15, 综上，m3, 即实数m的取值范围为（一∞，3]： (3)若A∩B=0, 当B=☑时，m十1>2m-1,解得m<2; 当B≠心即m十1≤2m-1,即m>≥2时， 2m一1<一2或5<m+1,解得m>4, 综上，m<2或m>4, 即实数m的取值范围为(-∞，2)U(4,十∞). 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 [基础知识整合] 1.ab a=b a<b a-b>0 a-b=0 a-b<00 3.(1)b<ab<a(2)a>ca>c(3)a+c>b+c (4)ac>bc ac<bc (5)a+c>b+d (6)ac>bd (7)an>bn [新知自主探究] 典例1对点训练 (1)解析：矩形菜园靠培一边长为xm,则另一边长为 3022m,即(15-受)m, 2 0<x≤18， 根据已知得{x(15-受)≥216. 10<x≤18， 答案： x(15-)≥216 (2)解： f≥2.5%， p≥2.3% 典例2对点训练 (1)Ac-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0， 所以c≥b,将题中两式作差得2b=2+2a2,即b=1 十a2. 周为1+c-a-(a号》厂+>0，所以1叶o2>@, 所以b=1十a2>a.所以c≥b>a. (2)解析：把p,q看成变量， 则m<p<n,m<q<n,即得m<p<q<n. 答案：m<p<q<n [学习效果检测] 1.BC因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模 板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且 共有55张A薄板，所以5x十3y十10z≤55.因为每个矩 9 初高中衔接 形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄 板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄 板，所以12x+6y+132≤125.故选BC. 2.A取a=-2,b=-1,则1>1不成立」 'a-b a 3.C由日<名<0，可得0>a>6,所以1e<61,故①@ 不成立； 所以a十b<0<ab,a3>b3都成立，故③④一定正确. 4.D由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1 小时，即5+5<1，故选D. 60x 5.A国为a+日-(b+）=a-6-D ab 所以若a>6>1,里然a十日-(6时日)- abg-》>0,则充分性成立：当a=合b=号时， 1 ab 显然不等式a+}>b叶号成立，但a>b>1不成主，所 以必要性不成立. 6.A因为2<m<7,-3<n<-1, 所以6<3m<21,-6<2n<-2, 所以0<3m+2n<19. 故选A. 7.解析：由a2十a<0得a<-a2,所以a<0且a>-1,所 以a<-a2<a2<-a. 答案：a<-a2<a2<-a 8.解析：对于①，若ab>0,a>b,则a>b>0或0>a>b,所 以日<石，所以①正确：对于②，不封◆a=2,6=1, -1,d=-3,则a-c=3,b-d=4.所以a-c>b-d不 成立，②错误；对于③，对于正数a,b,m,若a<b,则am <bm,所以ab+am<ab+bm,即a(b+m)<b(a+m), 所以号台，@正确 综上，真命题的序号是①③. 答案：①③ 9.C因为x>y>之，x十y十之=0， 所以3.x>x十y+z=0,3z<x十y十z=0, 所以x>0,之<0. 所以由{x之0可得y>x2, (y>z, a-c+c-b 10.A 1+1 c-ba-c(c-b)(a-c) a-b =(c-b(a-c) ,a<b<c,∴c-b>0,a-c<0,a-b<0, a-b ∴c-6a-o>0. 11.解析：由条件可知一3<a十2b<2,一2<4a一2b<8, 两式相加得一5<5a<10,即一1<a<2. 故答案为(-1,2). 答案：(-1,2) 12.解：，15<b<36,.-36<-b<-15, .∴.12-36<a-b<60-15, 即-24<a-b<45.又36<6<15' 111 :品<号<<号<4 .a一b的取值范围是(-24,45)， 名的取值范国是（行4） 直通车·数学 2.2基本不等式 [基础知识整合] 1.≥ “a=b” a=b [新知自主探究] 典例1对点训练 解：因为a2+b≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2, 所以va2+≥号(a+b, 2 同理v俗+≥号6+6ne+a≥号c+o 所以wW层+8+v厅++v+a≥竖[(a+b)+6+ c)+(c+a)], 即a2+b+√62+c2+√Jc2+a2≥√2(a+b+c),当且仅 当a=b=c时，等号成立. 典例2对点训练 解析：y= x2+2=(x2-2x+1)+(2x-2)+3 x-1 x-1 红=12+24-)+3-=(x-1D+23+2≥25+2. x-1 当且仅当x一1=即3+1时，等号成立. 答案：23+2 典例3对点训练 Bx+)(+号)=1+a+￥+g>1+a+2a= y (Wa十l)2(x,y,a>0),当且仅当y=ax时等号成立， 所以x十)·（侵+号）的最小位为(+10，于是 (√a+1)2≥9恒成立.所以a≥4. [学习效果检测] 1.C因为a,6都是正教，所以(1+)1+0）=5+白 +号≥5+2会·号-9，当且仅当6=2如时等号成主， 2.B因为0≤x≤6，所以8一x>0,所以f(x)= √x8-0≤+(8-)=4，当且仅当x=8-,即= 2 4时，等号成立.故f(x)的最大值为4. 3.B由f)=x+亡2=-2)+2+2≥，当且仅 当x一2-己2>0，即x=3时，等号成主 4.D因为x>0,1一x>0,x十1-x=1, 所以18+9=(+9x+1-x)=26+ 181+=≥50，声且仅当z=号时，￥号成主 x 故选D. 5人向题意，只名在>1时，(+)≥a+1即可， 又x>1,则x-1>0,故x十1 +zx-1+2+1≥ 2-1)·+1=3,当里仅当x-1= x-1→x=2 时等号成立，故(e+）m二3，所以a+13a≤ 2,即实数a的取值范围为{aa≤2}.故选A. 6.D4=a十b≥2√ab(当且仅当a=b时，等号成立)，即 Va≤2，ah≤4，≥，选项A,C不成立：日+6- 10