2.2 基本不等式-【初高中衔接直通车】2026年初升高数学衔接直通车

初高中衔接直通车·数学 2.2基本不等式 基础知识整合c还D ◆◆ 1.两个不等式 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 不等式 内容 等号成立条件 不小于它们的几何平均数. 2.基本不等式与最值 当且仅当 a2+b2 重要不等式 时 已知x,y都是正数， 2ab(a,b∈R) 取“=” (1)如果积xy等于定值P,那么当x=y 时，和x十y有最小值2√P; √ab 当且仅当 (2)如果和x十y等于定值S,那么当x=y 基本不等式 a+b(a>0,b>0) 时 取“=” 时，积xy有最大值S. 士叫做正数a,6的算术平均数w5叫做 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等 式求最值时，必须有①x,y>0,②和（积） 正数a,b的几何平均数 为定值，③存在取等号的条件， 新知自主探究G。 ◆◆◆ 探究点一基本不等式的简单应用 (2)因为0<a<1,0<b<1,a≠b, 所以a+b<2,a2+b2>2ab,而a2+b2- 【奥例】(1已知m=a+2a>2》, (a+b)=a(a-1)+b(b-1). n=2一b(b≠0)，则m,n之间的大小关系是 因为0<a<1,0<b<1, 所以a(a-1)<0,b(b-1)<0, 所以a2+b-(a+b)<0, (2)若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a十 即a2+b2<a+b,所以2最大. b,2,2ab,a2+b2中最大的一个是 【答案】(1)m>n(2)2 【解析】(1)因为a>2,所以a-2>0, 【方法总结】 又因为m=a+。2=a-2)+。2十2 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注 所以m≥2，/(a-2)·1。 a-2+2=4, 意观察其形式（和与积），同时要注意结合函 数的性质（单调性）。 由b≠0，得b2≠0，所以2-b2<2,n= (2)利用基本不等式时，一定要注意条件 2-b2<4,综上可知m>n. 是否满足a>0,b>0. 44 第二篇高中知识预习 1 [对点训练] 当且仅当5-4x=写=4z,即x=1时，等 号成立 已知a,b,c都是非负实数，试比较a2+b+ b+c2+√c2+a与2(a+b+c)的大小. 故f)=4x-2+4写的最大值为1. (2)解法-由x+3y=5y可得十 是-1，所以3x+4=8z+4)十) 9+4+3x+12y13+12=5, 55+ 5y 5x5T5 当且仅当影-2，即x=1,y=2时等 5v 5x 号成立，所以3x十4y的最小值是5. 解法二 由z十8y-5,得 因为>0y>0,所以y>号，所以3x十 130-)+号+号-4w 4y= 探究点二利用基本不等式求最值、范围 【典例2】(1)若x<号，则f(x)=4红 4y=13+9. 5 5 2十4x一5的最大值为 (2)若正数x,y满足x+3y=5xy,则 3x+4y的最小值为 当且仅当y=时等号成立， 【解折】（①周为号， 所以(3x十4y)min=5. 【答案】(1)1(2)5 所以5一4x>0, 【方法总结】 1 则f)=红-2+4=-(5-4红十 利用基本不等式求最值的方法 4)+3≤-25-44+3= 利用基本不等式解决条件最值的关键是 -2+3=1. 构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： 45 初高中衔接直通车·数学 (1)常用构造定值条件的技巧变换：①加 【解析】 (1)x+2y=(x+2y)· 项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后 (经+》-2++子+2≥8，当且仅当- 利用基本不等式. (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函 于即4=2时等号成立. 数最值 由x+2y>m2+2m恒成立， 【易错警示】使用基本不等式求最值， 可知m2+2m<8,m2+2m-8<0, 解得-4<m<2. “一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. (2)因为x>0,a>0, 【提醒】1.利用基本不等式求最值，一 所以f(x)=4x十a≥24x·a=4a, 定要注意应用条件； 2.尽量避免多次使用基本不等式，若必 当且仅当4红=是，即4x2=a时f(x)取 须多次使用，一定要保证等号成立的条件 得最小值，因为x=3,所以a=4X32=36. 【答案】(1)D(2)36 一致. 【方法总结】 [对点训练] 求解含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定 函数y= 2+2(x>1)的最小值为 x1 相关成立条件，从而得参数的值或取值范围 (2)在处理含参数的不等式恒成立问题 时，往往将已知不等式看作关于参数的不等 探究点三 利用基本不等式求参数的值、 式，体现了主元与次元的转化. 范围 (3)恒成立问题：若f(x)在区间D上存 【典例3】(1)若两个正实数x,y满足 在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上 恒成立台f(x)mim>A; 2+1=1,并且x+2y>m2+2m恒成立，则 若f(x)在区间D上存在最大值，则不 等式f(x)<B在区间D上恒成立台 实数m的取值范围是 f(x)B. A.（-∞，-2)U[4,+∞) [对点训练] B.(-o∞，-4]U[2,+∞) C.(-2,4) 已知不等式(x+)(+号)≥9对任意的 D.(-4,2) 正实数x,y恒成立，则正实数a的最小 值为 (2)已知函数f()=4红+名(x>0,a>0) A.2 B.4 在x=3时取得最小值，则a= C.6 D.8 46 第二篇高中知识预习 学习效果检测C还 A基础巩固练 B能力提升练 1.若a,6都是正数，则(1+)·(1+号)的 9.点P是直径为AB=2的圆上任意一点， 则PA十PB的最大值是 () 最小值为 ( A.√2 B.2√2 A.7 B.8 C.9 D.10 C.3√2 D.4√2 10.已知a>0,b>0且ab=a+b+3,则ab的 2.若0≤x≤6，则f(x)=√x(8-x)的最大 最小值是 ( 值为 （) A.9 B.1 A.S B.4 C.3 D.√3 c4智 11.设a>0,b>0,给出下列不等式： D.5 3若f)=x十2>2》在2=n处取得 ①a2+1>a,@(a+2)(6+2)≥4， 最小值，则n= ®a+b(日+6)≥4：@a2+9>6a A. 其中恒成立的是 (填序号) B.3 12.某公司设计了如图所 c号 D.4 示的一块绿化景观地 带，两条平行线段的两 4已知0<1，则+8的最小值为 端用半圆形弧相连接.已知这块绿化景 ( 观地带的内圈周长为400m,当平行线段 A.44 B.46 的长设计为多少时，中间矩形区域的面 C.48 D.50 积最大？ 5.当x>1时，不等式x+≥a+1恒成 立，则实数a的取值范围是 () A.{aa≤2} B.{aa≥2} C.{ala≥3} D.{aa≤3} 6.若a>0,b>0,且a十b=4,则下列不等式 恒成立的是 () Ab号 B日+1 C.√ab≥2 D.a2+b2≥8 7.周长为√2十1的直角三角形面积的最大值 为 8.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地， 则矩形场地的最大面积是 m2. 47初高中衔接 形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄 板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄 板，所以12x+6y+132≤125.故选BC. 2.A取a=-2,b=-1,则1>1不成立」 'a-b a 3.C由日<名<0，可得0>a>6,所以1e<61,故①@ 不成立； 所以a十b<0<ab,a3>b3都成立，故③④一定正确. 4.D由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1 小时，即5+5<1，故选D. 60x 5.A国为a+日-(b+）=a-6-D ab 所以若a>6>1,里然a十日-(6时日)- abg-》>0,则充分性成立：当a=合b=号时， 1 ab 显然不等式a+}>b叶号成立，但a>b>1不成主，所 以必要性不成立. 6.A因为2<m<7,-3<n<-1, 所以6<3m<21,-6<2n<-2, 所以0<3m+2n<19. 故选A. 7.解析：由a2十a<0得a<-a2,所以a<0且a>-1,所 以a<-a2<a2<-a. 答案：a<-a2<a2<-a 8.解析：对于①，若ab>0,a>b,则a>b>0或0>a>b,所 以日<石，所以①正确：对于②，不封◆a=2,6=1, -1,d=-3,则a-c=3,b-d=4.所以a-c>b-d不 成立，②错误；对于③，对于正数a,b,m,若a<b,则am <bm,所以ab+am<ab+bm,即a(b+m)<b(a+m), 所以号台，@正确 综上，真命题的序号是①③. 答案：①③ 9.C因为x>y>之，x十y十之=0， 所以3.x>x十y+z=0,3z<x十y十z=0, 所以x>0,之<0. 所以由{x之0可得y>x2, (y>z, a-c+c-b 10.A 1+1 c-ba-c(c-b)(a-c) a-b =(c-b(a-c) ,a<b<c,∴c-b>0,a-c<0,a-b<0, a-b ∴c-6a-o>0. 11.解析：由条件可知一3<a十2b<2,一2<4a一2b<8, 两式相加得一5<5a<10,即一1<a<2. 故答案为(-1,2). 答案：(-1,2) 12.解：，15<b<36,.-36<-b<-15, .∴.12-36<a-b<60-15, 即-24<a-b<45.又36<6<15' 111 :品<号<<号<4 .a一b的取值范围是(-24,45)， 名的取值范国是（行4） 直通车·数学 2.2基本不等式 [基础知识整合] 1.≥ “a=b” a=b [新知自主探究] 典例1对点训练 解：因为a2+b≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2, 所以va2+≥号(a+b, 2 同理v俗+≥号6+6ne+a≥号c+o 所以wW层+8+v厅++v+a≥竖[(a+b)+6+ c)+(c+a)], 即a2+b+√62+c2+√Jc2+a2≥√2(a+b+c),当且仅 当a=b=c时，等号成立. 典例2对点训练 解析：y= x2+2=(x2-2x+1)+(2x-2)+3 x-1 x-1 红=12+24-)+3-=(x-1D+23+2≥25+2. x-1 当且仅当x一1=即3+1时，等号成立. 答案：23+2 典例3对点训练 Bx+)(+号)=1+a+￥+g>1+a+2a= y (Wa十l)2(x,y,a>0),当且仅当y=ax时等号成立， 所以x十)·（侵+号）的最小位为(+10，于是 (√a+1)2≥9恒成立.所以a≥4. [学习效果检测] 1.C因为a,6都是正教，所以(1+)1+0）=5+白 +号≥5+2会·号-9，当且仅当6=2如时等号成主， 2.B因为0≤x≤6，所以8一x>0,所以f(x)= √x8-0≤+(8-)=4，当且仅当x=8-,即= 2 4时，等号成立.故f(x)的最大值为4. 3.B由f)=x+亡2=-2)+2+2≥，当且仅 当x一2-己2>0，即x=3时，等号成主 4.D因为x>0,1一x>0,x十1-x=1, 所以18+9=(+9x+1-x)=26+ 181+=≥50，声且仅当z=号时，￥号成主 x 故选D. 5人向题意，只名在>1时，(+)≥a+1即可， 又x>1,则x-1>0,故x十1 +zx-1+2+1≥ 2-1)·+1=3,当里仅当x-1= x-1→x=2 时等号成立，故(e+）m二3，所以a+13a≤ 2,即实数a的取值范围为{aa≤2}.故选A. 6.D4=a十b≥2√ab(当且仅当a=b时，等号成立)，即 Va≤2，ah≤4，≥，选项A,C不成立：日+6- 10 参考 2古-名1，选项B不成立02+=a十62-26 16-2ab≥8. 7.解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为α，b,则 E+1=a+6+va+≥2v函+V2a6,解得ab≤分 当且仅当a=6=号时等号成立，所以直角三角形面积 5=6长}，即S的最大值为 答案：4 8.解析：设矩形的一边为xm,矩形场地的面积为ym2,则 另一边为号×(20-2x)=(10-x)m, 则y10-≤[+90门-25， 当且仅当x=10一x,即x=5时，ymax=25, 答案：25 9.BAB是直径，P是圆上 ↑y 的点， .∠APB=90°， 设PA=a,PB=b, 则a2+b2=4, .(a+b)2=a2+b2+2ab=4 +2ab≤4+a2+b2=8, .a十b≤2√2，当且仅当a=b 时等号成立， .PA十PB的最大值为2√2，故B正确. 故选B. 10.A因为a>0,b>0,所以a十b≥2ab,当且仅当a=b 时，等号成立， 又因为ab=a十b+3,所以ab=a+b+3≥2ab+3, 整理可得ab-2√ab-3≥0，解得√ab≥3或√ab≤ -1(舍去)， 所以√ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a=b=3时等号成立. 所以ab的最小值为9.故选A. 1.解折：由于e2+1-a=(。-号）广+子>0，故①他 4 成立： 由于(a+日)+若)=+品++号≥ 1 ab= ab a 即a=b=1时，等号成立，故②恒成立； 由于a+(日+)-2++号≥2+2，·号 4当且仅当号-合，即a=6时等号成主，故@恤成立： 当a=3时，a2十9=6a,故④不恒成立. 综上，①②③正确. 答案：①②③ 12.解：设平行线段长为xm,半圆形直径为dm,中间的 矩形区战面积为Sm2. 由题意可知S=xd,且2x十πd=400, 所以s=d-六×dX2≤（生2）-2D00 答案 当且仅当元d=2z=20,即d-0z=100时，等号成立 所以当平行线段的长设计为100m时，中间矩形区域 的面积最大，最大为20000m2. π 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 [基础知识整合] 1.一个2a.x2+bx+c>02.实数x [新知自主探究] 典例1对点训练 解：(1)原不等式可化为2x2-3x一2<0， 所以(2x十1)(x-2)<0. 故原不等式的解集是{x -<<2 (2)原不等式可化为2x2-x-3>≥0， 所以(2x一3)(x+1)≥0， 故原不等式的解集是{红≤-1或≥} 典例2对点训练 (1)解析：二1≥2化为二1-2≥0，即一1一1>≥0， x n它价于对0.10 所以原不等式解集为{x|一1≤x<0}. 答案：{x|一1≤x<0} (2)解析：2兰<1化为2二11<0， 即a-1Dx+1<0,等价于[a-1)x十1](x-1)<0. x-1 所以(a-1)x2-(a-2)x-1<0. 因为不等式的解集为{x|x<1或x>2}, 所以1,2是方程(a-1)x2-(a-2)x-1=0的两个根. 1+2=a-2 所以 a-1' 1 1 解得a=2 1×2= a-1, 1 答案：2 典例3对点训练 解析：由已知条件可知a<0,且 ，2是相应方程ar2十 5=5, 5x一2=0的两个根，由根与系数关系得 21 0 得a=-2. 所以ax2-5x十a2-1>0化为2x2+5x-3<0,化为 (2x-1D(x+3)<0,解得-3<< 所以不等式的解集为{x -3<<} 答案：女-3<<》 [学习效果检测] 1.BCD由一元二次不等式的定义可知，B、C、D为一元 二次不等式 2.D由题意知a=0时，满足条件. a≠0时，由/a>0, 4=a2-4a≤0，得0<a≤4， 所以实数a的取值范围是{a0≤a≤4. 3A国为异<1，所以异-1<0，即异<0，该不 等式可化为(x十1)(x-1)>0,所以x<-1或x>1.