3.1.1 函数的概念-【初高中衔接直通车】2026年初升高数学衔接直通车

初高中衔接 二次函数y=2(x一c)2十c的图象经过“智勇，点” M,N, ∴.将N(0,0)代入y=2(x-c)2+c, 0=20-02+c1=-是，6g=0(含去)， 二次画数解标或可支为y=2(十号)》-司，对称 轴为直线x=一2， 1 当m<一时，2=m时y取最小值， 2(+号}了-名-号4将m-受m=受， 3 5 m<-m=-号 当m-1>二2时，在x=m一1时y取最小值， 2m-1+)）-=号，解得m=3 5 221 -2m4= .m-1> 1 1 5 zm>2心m=2 综上所起，m=一号或m=是 第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 [基础知识整合] l.实数集任意一个数x唯一x[a,b](a,b)[a,b) (a,b]2.(1)相同相同3.(1)RR(2)R [新知自主探究] 典例1对点训练 1.解析：(2)不是函数关系.如当x=4时，y=士2，其不满 足函数的定义，而(1)(3)(4)是函数关系. 答案：(1)(3)(4) 2.C由函数定义可知，任意作一条直线x=,则与函数的图象至 多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数 [学习效果检测] 1.D对于A,B,C,并不是所有的x都有唯一的y值与之 对应，故A,B,C错误；对于D,每个x都有唯一的y值 与之对应，D正确.故选D. 2D由3-220得x≥号，月区间表示为[号十故 选D. 3C由题意得任一产8：解得≥1且x≠3，即定又该 为[1,3]U(3,十∞).故选C. 4.C因为f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,且f(x)的图象 开口向上，对称轴为直线x=1,所以当x=1时，f(x)有 最小值-1，当x=-1时，f(x)有最大值3.故选C. 5.A由函数表达式可知，函数要有意义需满足一2x2一 3x+2≥0，解得-2<x≤2，所以函数fx) V一2r-8a+2的定又城为[-2，]，故选A 6.Cf(0)=f(5-5)=5.故选C. 7.解析：f(x)=√mx2十mx十1的定义域为R, .对任意x∈R,mx2十mx十1≥0恒成立. 当m=0时，1≥0恒成立，满足题意； 当m≠0时有公8：中im≤0. ,/m>0, 解得0<m≤4. 综上，实数m的取值范围为[0,4]. 答案：[0,4] 直通车·数学 8.解：由x2-x-6≥0，得x≤-2或x≥3， 所以A=(-∞，-2]U[3,十∞). 由g(x)=x2-2x-a=(x-1)2-1-a(-1≤x≤4)，得 -1-a≤g(x)≤8-a, 所以B=[-1-a,8-a]. 因为AUB=R,所以{8-a≥3， /-1-a≤-2， 解得82：p1a≤5， 所以实数a的取值范围为[1,5]. 9.A由题意得9(10)表示不超过10且与10互素的正 整数的个数， 易得1与10互素；2与10最大公约数是2，不互素，3与 10互素；4与10最大公约数是2，不互素；5与10最大 公约数是5，不互素； 6与10最大公约数是2，不互素；7与10互素；8与10 最大公约数是2，不互素；9与10互素；10与10最大公 约数是10，不互素. 故与10互素的有1,3,7,9，共4个，即p(10)=4,故 选A. 10.ABD在A中，f(2x)=|2x|=2|x|,2f(x)=2x|,满 足f(2x)=2f(x);在B中，f(2x)=2x-|2x|=2(x |x|)=2f(x),满足f(2x)=2f(x);在C中，f(2x)=2x +1,2f(x)=2(x+1)=2x+2,不满足f(2x)=2f(x); 在D中，f(2x)=一2x=2(-x)=2f(x),满足f(2x)= 2f(x).故选ABD. 11.解析：g(x)的定义域B={x|x<a十1}，由于A∩B= 0,画数轴： A a+14 易得a十1≤4，即a≤3. 答案：(-∞，3] 12.解：(1)f3)=3-32 1+32 1+42 17 fg3)=f(3) 3-( 13 1+(传 1 fg(4)=f(）)片 3-() 1+(4 17 (2)因为f(x) 3- 1+,则 fgx)=f(2） 3(2月 3.x2-1 1+() x2+1 所以f(x)+f(g(x)=2+3x2-1= x2+1 3-x2+3x2-1_2(1+x2) =2 1+x2 1+x2 3.1.2函数的表示法 [基础知识整合] 1.数学表达式图象表格2.(1)对应关系(2)并集 空集 [新知自主探究] 典例1对点训练 1.C由题图知函数的图象是一条直线，可以用一次函数 表示，设为y=x十b,将点(30,330)，(40,630)代入得 =30,b=-570,所以y=30x-570,令y=0得x=19. 4第二篇高中知识预习 第三章 函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 基础知识整合c3 ◆◆◆ 1.函数的概念 一般地，设A,B是非空的 ,如果对于集合A中的 ,按照某种确定的对应 概念 关系∫，在集合B中都有 确定的数y和它对应，那么就称「：A→B为从集合A到 集合B的一个函数 对应关系 y=f(x),x∈A 三要素 定义域 的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 注意区间端点的开闭 设a,b∈R,且a<b,规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {xla≤x≤b} 闭区间 。□ xa<x<6} 开区间 。 {x|a≤x<b} 半开半闭区间 。→ {x|a<x≤b} 半开半闭区间 。□。 {x|x≥a} [a,+o∞) 。二 (xlx>a) (a,+∞) {x|x≤a} (-∞，a] Axlx<a} (-∞，a) 己 R (-∞，十∞) 2.同一个函数 (1)前提条件：①定义域 ;②对应关系 (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.常见函数的值域 (1)一次函数f(x)=ax十b(a≠0)的定义域为 ,值域是 (2)二次函数f(x)=a.x2十b.x十c(a≠0)的定义域是 当a>0时，值域 [a分，十c∞，当a<0时，值玻为(-c,如 4a1 57 初高中衔接直通车·数学 新知自主探究G@② ◆◆◆ 探究点一函数关系的判断 N,对于下列四个图象，不可作为函数y= 【典例1】下列对应关系是集合A到B f(x)的图象的是 () 的函数的是 ( A.A=R,B=(xlx>0),f:y=x B.A=R,B=R,f:x→y=√元 20 C.A={2},B={-√2，W2},f:x→y2=x B D.A={x|-1≤x≤1}，B={0},f:x→ 探究点二求函数的定义域 y=0 【解析】对于A选项，A中的元素0在 【典例2】(1)函数f(r)=2x的定 2 B中没有对应元素，不是函数；B选项中A集 义域为 合中负数没有平方根，不是函数；C选项中集合 A≥引 A中的元素2在集合B中有两个元素士√2与之 B.{x|x>1} 对应，不是函数.D选项符合函数的概念。 【答案】D c{女}<<1或>1 【方法总结】 判断一个对应关系是否为函数的步骤 D.{x-1≤≤2或x>1 (1)判断A,B是否为非空实数集， (2)设全集为R,函数f(x)=√/2一x的定 (2)判断A中任一元素在B中是否有元 义域为M,则CRM为 ( 素与之对应 A.(xla>2) B.{x|x<2} (3)判断A中任一元素在B中是否有唯 C.{x|x≤2} D.{x|x≥2} 一确定的元素与之对应. 【解析】(1)要使函数有意义，自变量x 【提醒】函数定义中强调“三性”：任意 性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的 2x-1≥0， 的取值必须满足 解得 任意一个（任意性）数x都有（存在性）数集B x2-1≠0， x≠士1， 中唯一（唯一性）的数y与之对应.这“三性” 只要有一个不满足，便不能构成函数， 即≥2且x≠1，故选C [对点训练] (2)自变量x的取值必须满足2一x≥0， 1.下面对应是函数关系的是 即x≤2， (1)y=1(x∈R); ∴.M={xx≤2}，∴.CRM={xlx>2}, 故选A. (2)y=士√x(x≥0)； 【答案】(1)C(2)A (3一是≠0xeR: 【方法总结】当函数解析式较复杂，要 (4)路程s与时间t之间的关系， 先确定全部限制条件，依次列出不等式或不 2.设M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤ 等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后 2},函数y=f(x)的定义域为M,值域为 求出这些集合的交集，即为函数的定义域 58 第二篇高中知识预习 探究点三判断是否同一个函数 (2)函数是两个数集之间的对应关系，所 【典例3】下列四组函数中，表示同一函 以用什么字母表示自变量、因变量是没有限 数的是 制的 A.f(x)=|x,g(x)=√ (3)在化简解析式时，必须是等价变形. B.f(x)=x2,g(x)=(x+1)2 C.f(a)-22-1 x-1g(x)=x+1 [归纳小结] D.f(x)=√x+1·√x-1,g(x)=√x2-1 1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定 【解析】对于A,因为g（x)=√元= 的对应关系.由于函数的定义域和对应关 x,f(x)=x,所以两函数为同一函数； 系一旦确定，值域随之确定. 对于B,f(x)=x2和g(x)=(x十1)2的 2.定义域是一个集合，所以需要写成集合的 对应关系不同，所以两函数不是同一函数； 形式，在已知函数解析式又对x没有其他 对于C,函数f(x)的定义域为 限制时，定义域就是使函数式有意义的x {xx≠1}，而函数g(x)的定义域为R,两函 的集合 数定义域不同，所以两函数为不同函数； 对于D,函数f(x)的定义域为 3.对区间的几点认识 {xx≥1}，而函数g(x)的定义域为{x|x≤ (1)区间是集合，是数集，区间的左端点必 一1或x≥1}，两函数定义域不同，所以两函 须小于右端点. 数为不同函数 (2)用数轴表示区间时，用实心点表示包括 【答案】A 在区间内的端点，用空心点表示不包括在 【方法总结】 区间内的端点， 判断两个函数为同一函数应注意的三点 (3)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆. (1)定义域、对应关系两者中只要有一个 不相同就不是同一函数，即使定义域与值域 (4)“∞”是一个符号，不是一个数，它表示 都相同，也不一定是同一函数 数的变化趋势， 学习效果检测C可 ◆◆◆ A基础巩固练 A(-∞，) B(-0,引 1.下列能表示函数y=f(x)图象的是( c.(号+∞) D.[3,+∞) 3.函数f()-3十-I的定义域为 A B D ( 2.不等式3x一2≥0的解集用区间表示为 A.[1,+∞) B.(1,+∞) ( C.[1,3)U(3,+∞) D.(1,3)U(3,+∞) 59 初高中衔接直通车·数学 4.函数f(x)=x2-2x(x∈[-1,2])的值 B能力提升练 域是 ( 9.欧拉函数p(n)(n∈N*)的函数值等于所 A.[-1,0] B.[0,3] 有不超过正整数n,且与n互素的正整数 C.[-1,3] D.[-1,+∞) 的个数，例p(1)=1,p(3)=2,则p(10)= 5.函数f(x)=√一2x2-3x十2的定义域为 () () A.4 B.5 A[-2司 C.6 D.7 10.(多选题)下列函数中，满足f(2x)= B.(-∞，-2U[2+∞) 2f(x)的是 ( A.f(x)=lal B.f(x)=x-xl c[-22 C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x n.(-,-U[2,+m) 11.已知集合A={x|x≥4}，g(x)= √/1-x十a 6.若函数f(x一5)=x,则f(0)= 的定义域为B,若A∩B=☑，则实数a的 A.0 B.-1 取值范围是 C.5 D.-5 7.若函数f(x)=√mx十mx十1的定义域为 12已如质数f)=十子g)=士 (1)求f(3),f(4),f(g(3)及f(g(4) R,则实数m的取值范围是 的值； 8.已知函数f(x)=√x2-x-6的定义域为集 (2)求f(g(x),并证明f(x)+f(g(x) 合A,函数g(x)=x2-2x-a,x∈[-1,4] 是常数. 的值域为集合B,若AUB=R,求实数a 的取值范围. 60