章末检测(2)第2章 一元二次函数、方程和不等式-【初高中衔接直通车】2026年初升高数学衔接直通车

初高中衔接直通车·数学 章末检测（二） (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.若ab≠0且a<b,则下列不等式一定成立的是 A.> a>b B.a2<62 C.a262 D.-a>-6 2.不等式14一5x-x2<0的解集为 () A.{x|-7<x<2} B.{xlx<-7或x>2} C.(ala>2) D.{x|x<-7} 3.设>0，那么3是x有 A.最大值1 B.最小值1 C.最大值5 D.最小值-5 4.已知m=8一n,m>0,n>0,则mn的最大值为 A.4 B.8 C.16 D.32 5.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},则a+b的值为 A.25 B.35 C.-25 D.-35 6.不等式>1的解集为 A.(-∞，1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(-∞，0U(1,+∞) 7.质数p,q是方程x2-13x十m=0的两根，则卫+9= A号 B罗 c罗 n贸 8.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是 数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都 能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为 C 0 线段AB上的点，且AC=a,BC=b,O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点O作AB的 垂线交半圆于D,连接CD,则该图形可以完成的无字证明为 () A.a+b≥√ab(a>0,b>0) 21 B.a2+b≥2ab(a>0,b>0) C./ab) +f≥a+b(a>0,b>0) D.2 2 52 第二篇高中知识预习 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.给定下列推导过程，不正确的是 ( A.a>b-→a2>b2 Ba>6>a>lb1C.>6>8<1 D.a>11 10.下列结论正确的有 A.若a,b为正实数，a≠b,则a3+b3>a2b十ab B.若a,b,m为正实数，a<b,则十m< b+m b C若号>名，则>6 D.当x>0时，x+2的最小值为2√2 11.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每 提高1元，则日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售 收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值可以是 () A.10 B.15 C.16 D.20 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2024·上海卷)不等式x2-2x一3<0的解集为 13.a,b∈R,a>6和2<名同时成立的条件是 (答案不唯一，写出一个即可). 14.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角 三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长 度为2√2，则该矩形周长的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1点.13分)已知函数f代x)=br-2ax十aa,b∈k)的图象过点（分，）： (1)当a=2时，求f(x)>0的解集； (2)当a<0时，若f(x)的定义域为[-1,1]，值域为[-2,2]，求a的值. 一 53— 初高中衔接直通车·数学 16.(15分)如图为传统节日玩具之一一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等 节日.灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动.轮轴 上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为 古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名 走马灯，现打算做一个体积为96000cm3的如图长方体状的走马灯（题中 不考虑木料的厚薄粗细). (1)若底面大矩形的周长为160cm,当底面边长为多少时，底面面积 最大？ (2)若灯笼高为40cm,现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ -54- 第二篇高中知识预习 17.(15分)已知fx)=x2-(a+2k+1. (1)当a=2时，解不等式f(x)≤0； (2)若a>0,解关于x的不等式f(x)≤0. 18.(17分)已知函数f(x)=ax2+4x十b(a<0,a,b∈R),设关于x的方程f(x)=0的两实根 为x1,x2,关于x的方程f(x)=x的两实根为a,B. (1)若不等式f(x)<0的解集是（一∞，一3）U(5,+∞)，求不等式bx2一ax一4<0的 解集； (2)若a,b均为负整数，且|a一β=1，求f(x)的解析式； (3)若a<1<B<2,求证：(x1+1)(x2十1)<7. 一 55- 初高中衔接直通车·数学 19.(17分)“必智、必勇、必忠、必诚”是我们学校的校训，“智勇”出自《列子·仲尼》孔子曰：“三 王善任智勇者，圣则丘弗知.”忠诚出自《荀子·尧问》荀子曰：“忠诚盛于内，贲于外，形于四 海.”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“智勇点”，横、纵坐标互 为相反数的点称为“忠诚点”.把函数图象至少经过一个“智勇点”和一个“忠诚点”的函数称 为“智勇忠诚函数”， (1)一次函数y=2x一1是一个“智勇忠诚函数”，分别求出该函数图象上的“智勇点”和“忠 诚点”； (2)已知二次函数y=a(x一h)2十k图象可以由二次函数y=一x2平移得到，二次函数y= a(x一h)2十k的顶点就是一个“智勇点”，并且该函数图象还经过一个“忠诚点”P(3,m),求 该二次函数的解析式； (3)已知二次函数y=2(x一c)2+d(c,d为常数，c≠0)图象的顶点为M,与y轴交于点N, 经过点M,N的直线l上存在无数个“智勇点”，当m-1≤x≤m时，函数y=2(x一c)2十d 有最小值，求m的值 -56初高中衔接 4.C由已知，集合M={xx2<4}={x|-2<x<2}, N={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3}, 所以M∩N={x|-1<x<2). 5.Ax(x-9)<x-21,.x2-10x十21<0， .(x-3)(x-7)<0,解得3<x<7,故选A. 6.D因为x2+a.x-3<0的解集为(-3,1)， 所以一3,1是方程x2十ax-3=0的两根， 向书达定理可得{仁g计1。利a=2: 所以不等式ax2十x-3<0为2x2十x-3<0, 即(2x+3)(x-1)<0,解得-<<1， 故所求解条为(-昌，)故选D 7.解析：由x2-2x-5>2x得x2-4x-5>0, 因为方程x2-4x-5=0的两根为一1,5. 故不等式x2一4x一5>0的解为x<-1或x>5. 答案：{xx<-1或x>5} 8.解析：关于x的不等式x2-(2a十1)x十2a<0可化为 (x-1)(x-2a)<0, 当2a>1时，解得1<x<2a,要使解集中恰有两个正整 数解，则3<2a≤4，得<a<2: 当2a=1时，不等式化为(x-1)2<0,此时无解； 当2a<1时，解得2a<x<1,要使解集中恰有两个正整 数，则2a<x<1,此时解集中无正整数解； 综上，实数a的取值范国为（受，2] 故答案为（层2] 答案（层，2] 9.A不等式化为(6x十a)(7x-a)<0, :a<0,-名>号，故选A 10.B由题意知x⊙(x-2)=x2+x-2, .x2十x-2<0,解得-2<x<1. 11.解析：因为a<0,所以原不等式等价于(x十1)· (+日）>0，方程(+1D(+日)=0的两根为-1， 日，显热一日>0>-1，所以原不等或的解案 为{x>-或x<-1 a 答案：{zx>-或x<-1} a 12.解：(1)依题意a<0,且函数f(x)的两个零点分别是2 和3， 所以a-4=2+3=5,a二5=2X3=6, a 所以a=-1. (2)不等式f(x)≥4x-6恒成立，即ax2-ax十a十1≥ 0恒成立. 当a=0时不等式成立； 当a<0时，不等式不可能恒成立； 当a>0时，需△=a2-4a(a十1)≤0，解得a≥0或 a≤-号，所以>0. 综合得a的取值范围为[0，十∞). 直通车·数学 章末检测（二） 1.Dab≠0且a<b. A.取a=一3，b=2,可知A不正确； B.取a=一3，b=2,可知B不正确； C.取a=1,b=2,可知C不正确； D.a<b,∴.一a>-b,可知D正确 2.B原不等式等价于x2+5x-14>0, 所以(x十7)(x一2)>0， 即x<-7或x>2,故选B 3A“>03-2=8-(2+)3-2=1, 当且仅当x=】即x=1时，等号成立。 4.Cm=8-n,m>0,n>0, .8=m十n≥2√mn,解得mn≤16， 当且仅当m=n=4时等号成立.则m的最大值为16.故选C 5.Aax2-5x十b>0的解集为{x|-3<x<2}, ∴.ax2-5x十b=0的根为-3,2， 即-3+2-日，-3X2=8解得a=-560, .a十b=-5+30=25.故选A. 6.B 7.C因为质数p,9是方程x2-13x十m=0的两根，所以 p十q=13,pq=m, 因为p,q是质数，所以p=2,q=11或p=11,q=2,所 以g=m=22, 所以卫+9=p2+g=p+9)2-29=132-2X2 pg 22 -罗故选C 8.D0D=,0c=l24,cD/y+(b2 2+正，而CD>0D(C,0重合时等号成立)， 2 因此有 a2+b≥a+b 2 2 故选D. 9.ACD对于A,只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故A 错误； 易知B正确； 对于C,只有当a>0且a>b时，名<1才成立，故C错误： a 当a>0,b<0时，D错误. 10.ACD对于A,a,b为正实数，a≠b,∴a3+b3-(a2b +ab2)=(a-b)2(a+b)>0,.a3+b3>a2b+ab2,故 A正病；对于B,若a,6m为正实数，a<6,则阳 台-忽>0，则中贯>台故B雄溪对千C老 名>名，到a>6,故C正瑞对于D当0时x十是的 最小值为2√2，当且仅当x=√2时等号成立，故D正确. 11.BC设这批台灯的售价定为x元，x≥15，则[30-(x -15)X2]·x>400,即x2-30x+200<0.因为方程 x2一30x十200=0的两个根分别为x1=10,x2=20,所 以x2一30x+200<0的解集为{x|10<x<20},又x≥ 15,所以15≤x<20.故选BC. 12.解析：由x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,得-1<x<3. 答案：(-1,3) 12 参考 .1-1=60<0,因为a>b,即6-a<0, 13.解析：a一bab 所以ab>0,所以a>b>0或0>a>b. 答案：a>b>0(或0>a>b) 14.解析：设矩形的一组邻边长为a,b,则该矩形的周长为 2(a+b),且a2+b2=8,而a2+b2=(a+b)2-2ab≥ a+b-2(ey=号(a+6,中a+b≤ √2(a2十b2)=4,当且仅当a=b=2时等号成立，所以 2(a十b)≤8，即该矩形周长的最大值为8. 故答案为8. 答案：8 15.解：(1)因为f(x)=bx2-2ax十a(a,b∈R)的图象过 点（合）》 所以r(分）=0-2a×号十a=0=号每得6=1， 当a=2时，f(x)=x2-4x+2, 令f(x)>0可得，x<2-√2或x>2十√2， 所以f(x)>0的解集为{x|x<2-√2，或x>2十√2. (2)当a<0时，函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴x= a<0, ①当a≤-1时，函数f(x)在[-1,1]上单调递增， 当x=一1时，函数f(x)有最小值f(-1)=1十3a= -2, 当x=1时，函数f(x)有最大值f(1)=1一a=2,解得 a=一1，符合题意. ②当一1<a<0时，函数f(x)在[一1，a]上单调递减， 在[a,1]上单调递增， 当x=a时，函数f(x)有最小值f(a)=a-a2=一2，即 a2-a-2=0, 解得a=2或a=一1，均不符合题意. 综上可得，a=一1. 16.解：（1)设大矩形的长为xcm,宽为 y cm. 依题有2(x十y)=160, 即x+y=80,则S=xy≤x+y)2 4 =1600, 当且仅当x=y=40时，等号成立. 即当底面的长和宽都为40cm时，底面面积最大. (2)设底面矩形的长为xcm,宽为ycm,依题有S=xy =9600=2400, 4 框架用料最少等价于底面用料为2x十3y最小即可， 2x十3y≥2√6xy=240,当2x=3y,即y=40,x=60 时，等号成立.故当底面的长为60cm,宽为40cm时， 框架用料最少. 17.解：1)当a=2时，有不等式fx)=z2-号x+1≤0， ∴(e-号）x-2)≤0∴2≤≤2， 即所求不等式的解案为[合2]】 (2):f(x)=(x-a)水x-a)≤0，a>0,且方程 (e-日）》水红-a)=0的两旅为=a=日 “当日>a,即0a时，不等式的每集为[a,]: 当日<a,中@心1时，不学式的解集为[日小： 当】=a,即a=1时，不等式的解集为{1}. 113 案 18.解：(1)ax2十4x十b<0的解集为(-o∞，一3)U (5,+∞)， 所以一3,5是方程ax2十4x十b=0的两根. x5=622, -3+5=-4 所以〈 1b=30. a 所以bx2-a.x-4<0为30x2+2x-4<0→15x2+x- 2<0, 所以(3x-1(5x+2)<0时-号<x<分 所以所求不辛式的解条为{☑-吕<<号》 (2)因为f(x)=x→ax2十3x十b=0的两根为a,B. 所以e+8=-8g-名，且9-a6>0, 所以(a-)2=(a十B)2-4ag=9-4b_9-4ab a2 a a2 由la一=1得22b-1o9-a6=a3. 又因为a,b均为负整数，所以ab>0,所以a2<9. 所以a的值可能为一1或一2. 若a=-1则6=-2：若a=-2,则6=一号（含去). 故a=-1,b=-2为所求. 此时f(x)=-x2+4x-2. (3)证明：因为a<1<B<2,所以a十B=-3<3→ a -1<1:g=b<2. a 4 |x1十x2=一 又因为 a 所以(x1十1)(x2十1)=x1x2十西1十x2十1=-4+ 1<2+4+1=7. 19.解：(1)：一次函数y=2x一1是一个“智勇忠诚函数”， .根据定义得：x=2x-1得x=1,由一x=2x-1得 x=名 ∴.一次函数y=2x一1图象上的“智勇点”为(1,1)，“忠 诚点”为（合，吉》 (2),二次函数y=a(x一h)2十k图象可以由二次函 数y=一x2平移得到， ∴.a=-1, :二次函数y=a(x-h)2十飞的顶点就是一个“智勇 点”，.h=k, .二次函数解析式可变为y=一(x一k)2十k, ,二次函数y=a(x一h)2十k图象经过一个“忠诚点” P(3,m), .3+m=0,∴.m=-3, P点坐标为(3，-3)， ∴.将P(3,-3)代入y=-(x一k)2+k, 得-3=-(3-)2十k,k1=1,k2=6, .二次函数解析式为y=一(x-1)2+1或y= -(x-6)2+6. (3)经过点M,N的直线l上存在无数个“智勇点”， 直线1上的点横纵坐标相等， 二次函数y=2(x-c)2十d(c,d为常数，c≠0)的顶 点为M,与y轴的交点为N, c=d,N点坐标为原，点(0,0)，M,N为“智勇点”， .二次函数解析式可变为y=2(x一c)2十c, 初高中衔接 二次函数y=2(x一c)2十c的图象经过“智勇，点” M,N, ∴.将N(0,0)代入y=2(x-c)2+c, 0=20-02+c1=-是，6g=0(含去)， 二次画数解标或可支为y=2(十号)》-司，对称 轴为直线x=一2， 1 当m<一时，2=m时y取最小值， 2(+号}了-名-号4将m-受m=受， 3 5 m<-m=-号 当m-1>二2时，在x=m一1时y取最小值， 2m-1+)）-=号，解得m=3 5 221 -2m4= .m-1> 1 1 5 zm>2心m=2 综上所起，m=一号或m=是 第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 [基础知识整合] l.实数集任意一个数x唯一x[a,b](a,b)[a,b) (a,b]2.(1)相同相同3.(1)RR(2)R [新知自主探究] 典例1对点训练 1.解析：(2)不是函数关系.如当x=4时，y=士2，其不满 足函数的定义，而(1)(3)(4)是函数关系. 答案：(1)(3)(4) 2.C由函数定义可知，任意作一条直线x=,则与函数的图象至 多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数 [学习效果检测] 1.D对于A,B,C,并不是所有的x都有唯一的y值与之 对应，故A,B,C错误；对于D,每个x都有唯一的y值 与之对应，D正确.故选D. 2D由3-220得x≥号，月区间表示为[号十故 选D. 3C由题意得任一产8：解得≥1且x≠3，即定又该 为[1,3]U(3,十∞).故选C. 4.C因为f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,且f(x)的图象 开口向上，对称轴为直线x=1,所以当x=1时，f(x)有 最小值-1，当x=-1时，f(x)有最大值3.故选C. 5.A由函数表达式可知，函数要有意义需满足一2x2一 3x+2≥0，解得-2<x≤2，所以函数fx) V一2r-8a+2的定又城为[-2，]，故选A 6.Cf(0)=f(5-5)=5.故选C. 7.解析：f(x)=√mx2十mx十1的定义域为R, .对任意x∈R,mx2十mx十1≥0恒成立. 当m=0时，1≥0恒成立，满足题意； 当m≠0时有公8：中im≤0. ,/m>0, 解得0<m≤4. 综上，实数m的取值范围为[0,4]. 答案：[0,4] 直通车·数学 8.解：由x2-x-6≥0，得x≤-2或x≥3， 所以A=(-∞，-2]U[3,十∞). 由g(x)=x2-2x-a=(x-1)2-1-a(-1≤x≤4)，得 -1-a≤g(x)≤8-a, 所以B=[-1-a,8-a]. 因为AUB=R,所以{8-a≥3， /-1-a≤-2， 解得82：p1a≤5， 所以实数a的取值范围为[1,5]. 9.A由题意得9(10)表示不超过10且与10互素的正 整数的个数， 易得1与10互素；2与10最大公约数是2，不互素，3与 10互素；4与10最大公约数是2，不互素；5与10最大 公约数是5，不互素； 6与10最大公约数是2，不互素；7与10互素；8与10 最大公约数是2，不互素；9与10互素；10与10最大公 约数是10，不互素. 故与10互素的有1,3,7,9，共4个，即p(10)=4,故 选A. 10.ABD在A中，f(2x)=|2x|=2|x|,2f(x)=2x|,满 足f(2x)=2f(x);在B中，f(2x)=2x-|2x|=2(x |x|)=2f(x),满足f(2x)=2f(x);在C中，f(2x)=2x +1,2f(x)=2(x+1)=2x+2,不满足f(2x)=2f(x); 在D中，f(2x)=一2x=2(-x)=2f(x),满足f(2x)= 2f(x).故选ABD. 11.解析：g(x)的定义域B={x|x<a十1}，由于A∩B= 0,画数轴： A a+14 易得a十1≤4，即a≤3. 答案：(-∞，3] 12.解：(1)f3)=3-32 1+32 1+42 17 fg3)=f(3) 3-( 13 1+(传 1 fg(4)=f(）)片 3-() 1+(4 17 (2)因为f(x) 3- 1+,则 fgx)=f(2） 3(2月 3.x2-1 1+() x2+1 所以f(x)+f(g(x)=2+3x2-1= x2+1 3-x2+3x2-1_2(1+x2) =2 1+x2 1+x2 3.1.2函数的表示法 [基础知识整合] 1.数学表达式图象表格2.(1)对应关系(2)并集 空集 [新知自主探究] 典例1对点训练 1.C由题图知函数的图象是一条直线，可以用一次函数 表示，设为y=x十b,将点(30,330)，(40,630)代入得 =30,b=-570,所以y=30x-570,令y=0得x=19. 4