2.3 二次函数与一元二次方程，不等式-【初高中衔接直通车】2026年初升高数学衔接直通车

初高中衔接直通车·数学 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 基础知识整合G还幻 ◆◆◆ 1.一元二次不等式 一般地，我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为 一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是 或ax2+bx+c<0,其中a,b,c 均为常数，a≠0. 2.二次函数的零点 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx十c=0的 叫做二次函数 y=ax2+bx十c的零点. 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 a.x2+bx+c=0(a>0) 有两个不相等的实数根x, 有两个相等的实数根 的根 x2(x1<x2) b 没有实数根 x1=x2= a.x2+br+c>0(a>0) {xx<x1或x>x2} xx≠ b 2a R 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) {x|x1<x<x2} 0 0 的解集 新知自主探究C。 ◆◆◆ 探究点一解不含参数的一元二次不等式 【解析】不等式一2x2十x十3<0可 【典例1】(1)不等式-2x2+x+3<0 化为2x2-x-3>0,因为△=(-1)2-4×2× 的解集是 ( （-3)=25>0,所以方程2x2-x-3=0的两 A.{xlx<-1} 报为=-1，%=多又二次函数y=22 B>} x-3的图象开口向上，所以不等式一2x2+ c{z-1<<引 x+3<0的解桑是x<-1成>引故 选D. D.{zz<-1或> 【答案】D 一 48 第二篇高中知识预习 (2)不等式(3x-2)(2-x)≥0的解集是 探究点二 解简单的分式不等式 【典例2】1)不等式红+2>0的解集是 3x-1 B{女≥2或x≤号》 Axx>号或x<-引 c. 【解枷原不等式等价于(x-子)-2)<0， nK引 解得号<x<2,敢选A 【解析】 4红+2>0(4x+2)(3x-1)> 3x-1 【答案】A 【方法总结】 0公号< 2此不等式的解集 解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够 为红>号或x<一 因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积 【答案】A 形式，则可以直接由一元二次方程的根及不 (2)不等式1的解袋是 ( 等号方向得到不等式的解集 A.{xx>1) (2)若不等式对应的一元二次方程能够 B.{x|-1<x<2} 化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始 终大于或等于零，则不等式的解集易得 C{-1或>引 (3)若上述两种方法均不能解决，则应采 用求一元二次不等式的解集的通法，即判别 D.{z-1<x<2 式法. [对点训练] 【解析】原不等式等价于一10阳 解下列不等式： 1-2x<09(x十1).(1-2a)<0(2x-1)· x+1 (1)2+3x-2x2>0; (2)x(4-x)≤x(x+3)-3. （x-1D>0,解得K-1或>2 【答案】C 【方法总结】(1)对于比较简单的分式 不等式，可直接转化为一元二次不等式或一 元一次不等式组求解，但要注意分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的 分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使 之转化为不等号右边为零，然后再用上述方 法求解 49- 初高中衔接直通车·数学 [对点训练] ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)的解集端点 1)不等式≥2的解集为 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 函数y=ax2+bx+ca≠0)的零点 [对点训练] (2)不等式2<1的解集为xx<1或 若不等式ax2十5x-2>0的解集是 x>2},那么a的值为 女2<x<2,则不等式am-5xta-1>0 探究点三三个“二次”之间的关系 的解集为 【典例3】(1)若不等式(x-a)(x-b)<0 的解集为{x|1<x<2},则a十b的值为 [归纳小结] ( 1.解一元二次不等式的一般步骤是 A.3 B.1 (1)化为标准形式；(2)确定判别式 C.-3 D.-1 △=b2-4ac的符号；(3)若△≥0，则 【解析】因为不等式(x一a)(x一b)<0的解 求出该不等式对应的二次方程的根， 集为{xl1<x<2},所以1和2为方程(x一a)· 若△<0，则对应的二次方程无根； 一)=0的两个根，则有=1”或a=2, 或 (4)联系二次函数的图象得出不等式 b=2,b=1. 的解集，特别地，若一元二次不等式的 所以a+b=1十2=3，即a十b的值为3. 左边的二次三项式能分解因式，则可 【答案】A 立即写出不等式的解集（在两根之内 (2)已知关于x的不等式x2一ax十 或两根之外). 2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范 2.解一元二次不等式，应首先尝试因式分 围是 解法，若能够进行因式分解，那么在解含 【解析】因为不等式x2一ax十2a>0 参数的不等式时，就可以避免对△≤0 在R上恒成立.所以△=（一a)2一8a<0,解 的讨论， 得0<a<8. 3.解不等式的过程实际上就是不断转化 【答案】0<a<8 的过程，是同解不等式的逐步代换，基 【方法总结】 本思路是代数化、分式整式化、有理化、 三个“二次”之间的关系 低次化、低维化，最后转化到可解的常 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨 见一元一次不等式、一元二次不等式 论二次函数主要是将问题转化为一元二次方 上来 程和一元二次不等式的形式来研究. 4.当一元二次不等式ax2十bx十c>0(a>0)的解 (2)讨论一元二次方程和一元二次不等 集为R时，意味着ax2十bx十c>0恒成立.由 式又要将其与相应的二次函数相联系，通过 图象可知：关于这类恒成立问题只需考虑开口 二次函数的图象及性质来解决问题，关系 方向与判别式△即可， 如下： 50 第二篇高中知识预习 学习效果检测C可 ◆◆◆ A基础巩固练 8.若关于x的不等式x2-(2a十1)x十2a<0 1.(多选题)下列不等式中是一元二次不等式 恰有两个正整数解，则a的取值范围是 的是 ( A.(m+1)x2>x B能力提升练 B.-x2+5x+6>0 9.当a<0时，不等式42x2十ax-a2<0的解 C.(x+a)(x+a+1)<0 集为 ( D.2x2-x>2 6 2.若集合A={x|ax2-ax十1<0}=，则 实数a的取值范围是 () B. A.{a0<a<4} B.{a0≤a<4} C.{a0<a≤4} D.{a0≤a≤4} c<<- 3.不等式z异<1的解袋是 D.☑ ( 10.在R上定义运算⊙：a⊙b=ab十2a+b,则 A.{xx<-1或x>1} 满足x⊙(x一2)<0的实数x的取值范 B.{x|x>1} 围是 () C.{xlx<-1} A.{x0<x<2} D.{x-1<x<1} B.{x|-2<x<1} 4.已知集合M={xx2<4},N={xx2 C.{x|x<-2或x>1}》 2x-3<0},则集合M∩N= () D.{x|-1<x<2} A.{x|x<-2} B.{x|x>3} 11.若a<0,则关于x的不等式a(x十l)· C.{x|-1<x<2} D.{x|2<x<3} (x+)<0的解集为 5.不等式x(x一9)<x一21的解集为() 12.设函数f(x)=ax2十(4-a)x+a-5, A.(3,7) a∈R. B.(-∞，3)U(7,+∞) (1)若关于x的不等式f(x)>0的解集 C.(-7,-3) 为{x2<x<3},求a的值； D.(-∞，-7)U(-3,+∞) (2)若不等式f(x)≥4x一6对x∈R恒成 6.关于x的不等式x2+ax一3<0的解集为 立，求a的取值范围. (-3,1),则不等式ax2+x-3<0的解 集为 ( ) A.(1,2) B(-1,别 c(- D.(-, 7.不等式x2-2x-5>2x的解集 是 51参考 2古-名1，选项B不成立02+=a十62-26 16-2ab≥8. 7.解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为α，b,则 E+1=a+6+va+≥2v函+V2a6,解得ab≤分 当且仅当a=6=号时等号成立，所以直角三角形面积 5=6长}，即S的最大值为 答案：4 8.解析：设矩形的一边为xm,矩形场地的面积为ym2,则 另一边为号×(20-2x)=(10-x)m, 则y10-≤[+90门-25， 当且仅当x=10一x,即x=5时，ymax=25, 答案：25 9.BAB是直径，P是圆上 ↑y 的点， .∠APB=90°， 设PA=a,PB=b, 则a2+b2=4, .(a+b)2=a2+b2+2ab=4 +2ab≤4+a2+b2=8, .a十b≤2√2，当且仅当a=b 时等号成立， .PA十PB的最大值为2√2，故B正确. 故选B. 10.A因为a>0,b>0,所以a十b≥2ab,当且仅当a=b 时，等号成立， 又因为ab=a十b+3,所以ab=a+b+3≥2ab+3, 整理可得ab-2√ab-3≥0，解得√ab≥3或√ab≤ -1(舍去)， 所以√ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a=b=3时等号成立. 所以ab的最小值为9.故选A. 1.解折：由于e2+1-a=(。-号）广+子>0，故①他 4 成立： 由于(a+日)+若)=+品++号≥ 1 ab= ab a 即a=b=1时，等号成立，故②恒成立； 由于a+(日+)-2++号≥2+2，·号 4当且仅当号-合，即a=6时等号成主，故@恤成立： 当a=3时，a2十9=6a,故④不恒成立. 综上，①②③正确. 答案：①②③ 12.解：设平行线段长为xm,半圆形直径为dm,中间的 矩形区战面积为Sm2. 由题意可知S=xd,且2x十πd=400, 所以s=d-六×dX2≤（生2）-2D00 答案 当且仅当元d=2z=20,即d-0z=100时，等号成立 所以当平行线段的长设计为100m时，中间矩形区域 的面积最大，最大为20000m2. π 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 [基础知识整合] 1.一个2a.x2+bx+c>02.实数x [新知自主探究] 典例1对点训练 解：(1)原不等式可化为2x2-3x一2<0， 所以(2x十1)(x-2)<0. 故原不等式的解集是{x -<<2 (2)原不等式可化为2x2-x-3>≥0， 所以(2x一3)(x+1)≥0， 故原不等式的解集是{红≤-1或≥} 典例2对点训练 (1)解析：二1≥2化为二1-2≥0，即一1一1>≥0， x n它价于对0.10 所以原不等式解集为{x|一1≤x<0}. 答案：{x|一1≤x<0} (2)解析：2兰<1化为2二11<0， 即a-1Dx+1<0,等价于[a-1)x十1](x-1)<0. x-1 所以(a-1)x2-(a-2)x-1<0. 因为不等式的解集为{x|x<1或x>2}, 所以1,2是方程(a-1)x2-(a-2)x-1=0的两个根. 1+2=a-2 所以 a-1' 1 1 解得a=2 1×2= a-1, 1 答案：2 典例3对点训练 解析：由已知条件可知a<0,且 ，2是相应方程ar2十 5=5, 5x一2=0的两个根，由根与系数关系得 21 0 得a=-2. 所以ax2-5x十a2-1>0化为2x2+5x-3<0,化为 (2x-1D(x+3)<0,解得-3<< 所以不等式的解集为{x -3<<} 答案：女-3<<》 [学习效果检测] 1.BCD由一元二次不等式的定义可知，B、C、D为一元 二次不等式 2.D由题意知a=0时，满足条件. a≠0时，由/a>0, 4=a2-4a≤0，得0<a≤4， 所以实数a的取值范围是{a0≤a≤4. 3A国为异<1，所以异-1<0，即异<0，该不 等式可化为(x十1)(x-1)>0,所以x<-1或x>1. 初高中衔接 4.C由已知，集合M={xx2<4}={x|-2<x<2}, N={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3}, 所以M∩N={x|-1<x<2). 5.Ax(x-9)<x-21,.x2-10x十21<0， .(x-3)(x-7)<0,解得3<x<7,故选A. 6.D因为x2+a.x-3<0的解集为(-3,1)， 所以一3,1是方程x2十ax-3=0的两根， 向书达定理可得{仁g计1。利a=2: 所以不等式ax2十x-3<0为2x2十x-3<0, 即(2x+3)(x-1)<0,解得-<<1， 故所求解条为(-昌，)故选D 7.解析：由x2-2x-5>2x得x2-4x-5>0, 因为方程x2-4x-5=0的两根为一1,5. 故不等式x2一4x一5>0的解为x<-1或x>5. 答案：{xx<-1或x>5} 8.解析：关于x的不等式x2-(2a十1)x十2a<0可化为 (x-1)(x-2a)<0, 当2a>1时，解得1<x<2a,要使解集中恰有两个正整 数解，则3<2a≤4，得<a<2: 当2a=1时，不等式化为(x-1)2<0,此时无解； 当2a<1时，解得2a<x<1,要使解集中恰有两个正整 数，则2a<x<1,此时解集中无正整数解； 综上，实数a的取值范国为（受，2] 故答案为（层2] 答案（层，2] 9.A不等式化为(6x十a)(7x-a)<0, :a<0,-名>号，故选A 10.B由题意知x⊙(x-2)=x2+x-2, .x2十x-2<0,解得-2<x<1. 11.解析：因为a<0,所以原不等式等价于(x十1)· (+日）>0，方程(+1D(+日)=0的两根为-1， 日，显热一日>0>-1，所以原不等或的解案 为{x>-或x<-1 a 答案：{zx>-或x<-1} a 12.解：(1)依题意a<0,且函数f(x)的两个零点分别是2 和3， 所以a-4=2+3=5,a二5=2X3=6, a 所以a=-1. (2)不等式f(x)≥4x-6恒成立，即ax2-ax十a十1≥ 0恒成立. 当a=0时不等式成立； 当a<0时，不等式不可能恒成立； 当a>0时，需△=a2-4a(a十1)≤0，解得a≥0或 a≤-号，所以>0. 综合得a的取值范围为[0，十∞). 直通车·数学 章末检测（二） 1.Dab≠0且a<b. A.取a=一3，b=2,可知A不正确； B.取a=一3，b=2,可知B不正确； C.取a=1,b=2,可知C不正确； D.a<b,∴.一a>-b,可知D正确 2.B原不等式等价于x2+5x-14>0, 所以(x十7)(x一2)>0， 即x<-7或x>2,故选B 3A“>03-2=8-(2+)3-2=1, 当且仅当x=】即x=1时，等号成立。 4.Cm=8-n,m>0,n>0, .8=m十n≥2√mn,解得mn≤16， 当且仅当m=n=4时等号成立.则m的最大值为16.故选C 5.Aax2-5x十b>0的解集为{x|-3<x<2}, ∴.ax2-5x十b=0的根为-3,2， 即-3+2-日，-3X2=8解得a=-560, .a十b=-5+30=25.故选A. 6.B 7.C因为质数p,9是方程x2-13x十m=0的两根，所以 p十q=13,pq=m, 因为p,q是质数，所以p=2,q=11或p=11,q=2,所 以g=m=22, 所以卫+9=p2+g=p+9)2-29=132-2X2 pg 22 -罗故选C 8.D0D=,0c=l24,cD/y+(b2 2+正，而CD>0D(C,0重合时等号成立)， 2 因此有 a2+b≥a+b 2 2 故选D. 9.ACD对于A,只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故A 错误； 易知B正确； 对于C,只有当a>0且a>b时，名<1才成立，故C错误： a 当a>0,b<0时，D错误. 10.ACD对于A,a,b为正实数，a≠b,∴a3+b3-(a2b +ab2)=(a-b)2(a+b)>0,.a3+b3>a2b+ab2,故 A正病；对于B,若a,6m为正实数，a<6,则阳 台-忽>0，则中贯>台故B雄溪对千C老 名>名，到a>6,故C正瑞对于D当0时x十是的 最小值为2√2，当且仅当x=√2时等号成立，故D正确. 11.BC设这批台灯的售价定为x元，x≥15，则[30-(x -15)X2]·x>400,即x2-30x+200<0.因为方程 x2一30x十200=0的两个根分别为x1=10,x2=20,所 以x2一30x+200<0的解集为{x|10<x<20},又x≥ 15,所以15≤x<20.故选BC. 12.解析：由x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,得-1<x<3. 答案：(-1,3) 12