1.4 充分条件与必要条件-【初高中衔接直通车】2026年初升高数学衔接直通车

第二篇高中 1.4充分条件 基础知识整合G④② 1.命题及相关概念 定义：用语言、符号或式子表达的， 可以 的陈述句 真命题：判断为 的语句 命题分类 假命题：判断为 的语句 形式：“若p,则g”.其中p称为命题 的 ,q称为命题的 2.充分条件与必要条件 “若p,则q”是真“若，则g”是 命题 假命题 由力通过推理可 由条件p不能推 推出关系及 得出q,记作： 出结论q,记作： 符号表示 p 9 0 q的充分 p是q的 条件 条件 条件关系 q是p的条件 p的必 要条件 新知自主探完C⑦ 探究点一充分条件和必要条件的判断 【典例1】(1)已知集合A={1,a},B={1, 2,3},则“a=3”是“A二B”的 (填“充分” 或“必要”)条件 (2)下列式子： ①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a; ④0<b<a. 其中能使日<号成立的充分条件有 (只填序号). 【解析】（1)因为A={1,a},B={1,2, 3},A二B,所以a∈B且a≠1，所以a=2或 3,所以“a=3”是“A二B”的充分条件. 29 知识预习 与必要条件 ◆◆◆ 一般地，数学中的每一条判定定理都给出 了相应数学结论成立的一个 条件. 数学中的每一条性质定理都给出了相应数 学结论成立的一个 条件。 3.充要条件 如果“若，则g”和它的逆命题“若q,则p” 均是真命题，即既有 ,又有q→卫， 记作p台g.此时卫既是g的充分条件，也 是q的必要条件.我们说力是q的 简称为充要条件 如果p是g的充要条件，那么q也是p的 充要条件，即如果p台q,那么力与q互为 ◆◆◆ (2)当a<0<b时，<0<2： 当a<0时，80： 当60<a时，6<0<日 当0<b<a时，0<1<l 所以能使。名或立的老分条件有0@0， 【答案】(1)充分(2)①②④ 【方法总结】 充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法 若→q,qp,则p是q的充分不必要条件； 若pq,q户p,则p是q的必要不充分条件； 初高中衔接 若→q,q→p,则p是q的充要条件； 若p力q,q本p,则p是q的既不充分也不 必要条件. (2)集合法 对于集合A={x|x满足条件p},B= {xx满足条件q},具体情况如下： 若A二B,则p是q的充分条件； 若A已B,则p是q的必要条件； 若A=B,则p是q的充要条件； 若A王B,则p是q的充分不必要条件； 若A吴B,则p是q的必要不充分条件. [对点训练] m=1是y=xm-4m+5为二次函数的 (填“充分”或“必要”)条件 探究点二充分条件、必要条件、充要条件 的应用 【典例2】(1)已知p:-4<x-a<4, q:(x一2)·(x-3)<0,若q是p的充分条 件，则a的取值范围为 【解析】化简p:a一4<x<a+4,q:2< x<3,由于q是p的充分条件， 布十 解得-1≤a≤6. 【答案】-1≤a≤6 (2)若：x2十x-6=0是q:a.x十1=0的必 要不充分条件，则实数a的值为 【解析】p:x2+x一6=0，即x=2或 x=一3， q:ax十1=0，当a=0时，方程无解；当 a≠0时x=一日 由题意知p力q,q→p,故a=0舍去；当 a≠0时，应有一日=2或一日=-3，解得a= a -2或a=3 1 直通车·数学 综上可知，a= 或a= 2 3 【答案】 或 【方法总结】 由条件关系求参数的值（范围）的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合 之间的关系， (2)根据集合端点或数形结合列方程或 不等式（组）求解。 [对点训练] 1.若p:x(x-3)<0是q:2x-3<m的充分 不必要条件，则实数m的取值范围 是 2.函数y=x2+mx十1的图象关于直线x=1 对称的充要条件是 [归纳小结] 1.能够将一个命题改写成“若p,则q”的形 式，并能准确地用语言表述充分条件、必要 条件. 2.充分条件、必要条件的判断，其实质是判断 “若p,则g”及其逆命题“若q,则p”的真假， “若p,则g”为真命题，则p是g的充分条件， 否则p不是g的充分条件.“若g,则”为真 命题，则p是g的必要条件 3.掌握集合的包含关系与充分条件、必要条 件的关系 4.充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明分充分性的证明和必 要性的证明.在证明时要注意两种叙述方 式的区别： ①p是q的充要条件，则由p→q证的是充 分性，由q→p证的是必要性； ②p的充要条件是q,则由p→q证的是必 要性，由q→饣证的是充分性 (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再 证充分性；如果能保证每一步的变形转化 过程都可逆，也可以直接求出充要条件. 30 第二篇高 学习效果检测G33可 A基础巩固练 1.设p:实数x>1且y>1,q:实数x,y满足 x十y>2,则p是q的 () A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(多选题)下列说法正确的是 ( ) A.两个三角形全等是这两个三角形面积 相等的充分不必要条件 B.设a,b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的 必要而不充分条件 C.设n∈N*,一元二次方程x2一4x十n=0 有整数根的充要条件是n=3 D.函数y=x2十mx十1的图象关于直线 x=1对称的充要条件是m=一2 3.(多选题)下列式子中，可以是x2<1的充 分条件的为 ( A.x<1 B.0<x<1 C.-1<x<1 D.-1<x0 4“1<1”是“a>1”成立的 a A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若p是g的充分条件，则g是p的() A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分条件也不必要条件 D.充要条件 6.(多选题)下列命题不正确的有 ( A.对角线垂直的四边形是菱形 B.若x>y,则x2>y 3 中知识预习 ◆◆◆ C.若两个三角形相似，则它们的面积之比 等于周长之比 D.若m>2,则方程x2一mx十1=0有实根 7.“x=-1”是“x2一x-2=0”的 条 件，“x2一x一2=0”是“x=一1”的 条件.（用“充分”“必要”填空）》 8.“a=2”是“方程x2一4x十a=0有实根”的 (填“充分”或“必要”) 条件. B能力提升练 9.黄金三角形被称为最 美等腰三角形，因此它 经常被应用于许多经 典建筑中（例如图中所 示的建筑)，黄金三角 形有两种，一种是顶角为36°，底角为72 的等腰三角形，另一种是顶角为108°；底 角为36的等腰三角形，则“△ABC中有一 个角是36”是“△ABC为黄金三角形”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.如果A是B的必要不充分条件，B是C 的充要条件，D是C的充分不必要条件， 那么A是D的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.已知m>0,使得不等式一m<x<m成立 的一个充分不必要条件是一1<x<3,则 m的取值范围是 初高中衔接直通车·数学 12.在下列各题中，判断p是g的什么条件 (4)p:一5x2y”与x”y是同类项；q: (请用“充分不必要条件”“必要不充分条 m十n=3. 件”“充要条件”“既不充分也不必要条件” 回答) (1):∠C=90°；q:△ABC是直角三 角形； (2)p:a,b至少有一个不为零；q:a2+b>0; (3)p:a+1>b;q:a>b; 1.5全称量词与存在量词 基础知识整合633 ◆◆◆ 1.全称量词与全称量词命题 续表 全称量词 所有的、任意一个、一切、每个、任给 存在量词命题 含有 的命题 “存在M中的一个x,使p(x)成立” 符号 形式 可用符号简记为“了x∈M,(x)” 全称量词命题 含有 的命题 3.全称量词命题与存在量词命题的否定 “对M中任意一个x,有p(x)成 (1)全称量词命题p:Hx∈M,p(x)的否 形式 立”，可用符号简记为“ 定： ,全称量词命题的否 定是 2.存在量词与存在量词命题 (2)存在量词命题p:了x∈M,p(x)的否 定： ,存在量词命题的否 存在一个、至少有一个、有一个、 存在量词 有些、有的 定是 4.命题的否定与原命题的真假 符号表示 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命 题只能是一真一假， 新知自主探究C念包 ◆◆ 探究点一 全称量词命题与存在量词命题 C.对于任意x∈Z,2x十1是奇数 的概念及真假判断 D.存在x∈R,2x+1是奇数 【典例1】(1)下列语句不是存在量词命题 (2)下列命题为真命题的是 的是 () A.Hx∈R,x2-x-1>0 A.有的无理数的平方是有理数 B.3x∈R,x2十x=-1 C.3x∈R,x2-x+1=0 B.有的无理数的平方不是有理数 D.Hx∈(3，+∞)，x2>2x+1 32参考 第2课时补集 [基础知识整合] 1.(1)所有元素(2)U2.不属于集合Ax|x∈U,且 x庄A(1)U(2)0A [新知自主探究] 典例1对点训练 1.C因为集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,6},所以 CM={2,4,5}: 2.C因为U={x-2≤x≤2}，所以A={x|一2≤x≤0} 的补集CuA={x|0<x≤2}. 典例2对点训练 C由已知得uA={1,6,7},所以B∩uA={6,7}. 典例3对点训练 (1)解析：因为CuA={xx<1或x≥2}， 所以A={x1x<2}.所以b=2. 答案：2 (2)解析：U={2,3,a2-a-1},A={2,3},CuA={1}, ∴.1∈U,.a2-a-1=1,即a2-a-2=0, 解得a=-1或a=2. 答案：-1或2 [学习效果检测] 1.D由条件可知A={x∈Rx任B}=CRB, 可得AUB=R.故选D. 2.C由x一1|<3，得一2<x<4,因此B={x∈Z一2< x<4}={-1,0,1,2,3}, 由A={x|-1≤x<1},得CRA={xx<-1,或x≥1}， 所以(CRA)∩B={1,2,3}.故选C. 3.A全集U=R,B={x|-1≤x<0},所以CvB={x| x<-1或x≥0}，又集合A={x|x<-2或x>1},所以 AU(CuB)={x|x<-1或x≥0). 4.CA={0,1,3},真子集有7个. 5.A因为全集U={a,b,c,d},A={a,b},B={c}, 所以AUB={a,b,c},则Cu(AUB)={d. 6.C因为M={x3a-1<x<2a},若M≠0，则2a>3a-1, 即a<1,又CuM={x|x≤3a-1或x≥2a},N二(CuMD, 所以3浅侣a,1所以a≤-之 la<1, 若M=☑，则2a≤3a-1,即a≥1，此时CwM=R,N□ (CM)显然成立. 综上知a的取值范国是a≥1或a≤- 7.解析：因为B={x-2≤x≤2}，所以CRB={xx<-2, 或x>2},(CRB)∩A={x|x>2}. 答案：{x|x>2} 8.解析：由A={5},说明5∈U,5庄A,且3∈A,列式可 得299 得{但-2或日二1：所以a=2 答案：2 9.CCRB={xx≤1或x≥2}，如图所示. AU(CRB)=R,∴a≥2. 10.C由题意，甲：A∩B=A台→A二B: 乙：AUB=B=→A二B; 丙：CuB←CuA台CuA∈CuB台BCA; 丁：(CuA)U(CuB)=CuA台CvB∈CuA台A∈B. 由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个不成立， 则该式是丙.故选C. 11.解析：U={1,2,3,4,5,6,7,8} 则A={1,3,5,7},B={3,6} .AUB={1,3,5,6,7} ∴.Cw(AUB)={2,4,8. 答案：{2,4,8} 0 答案 12.解：对于集合M,当m=0时，x=-1,即M={0},当 n≠0时，4=1十m≥0，即m≥-子，且m≠0，所以 CM=(mm<-}两对于条合N,△=1-4n≥0， 即a≤子，所以N={aa≤}，所以(CM)nN 1.4充分条件与必要条件 [基础知识整合] 1.判断真假真假条件结论2.→羚充分 必要不是不是充分必要3.p→q充分必要 条件充要条件 [新知自主探究] 典例1对点训练 解析：当m=1时，m2一4m十5=2，反之，当函数为二次 函数时，m2-4m十5=2，即m=1或m=3.所以m=3也 能使函数为二次函数 答案：充分 典例2对点训练 1.解析：p:x(x-3)<0,则0<x<3, g:2x-3<m则x<m3, 2 由题意知g,9户p则m士3>3解得m≥8. 答案：{mm≥3} 2.解析：函数y=x2十mx十1的图象的对称轴为x=一 2 由题意：-受=1，所以m=一2。 答案：m=一2 [学习效果检测] 1.A若x>1且y>1,则x十y>2成立，故p是q的充分 条件；若x十y>2,如x=4,y=一1，故p不是q的必要 条件. 2.AD对于A,两个三角形全等→两个三角形的面积相 等，故充分性成立；但两个三角形的面积相等不能推出 两个三角形全等，故必要性不成立.所以两个三角形全 等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故A 正确；对于B,由a>b推不出a2>b2,如a=0,b=-1, 满足a>b,但是a2<b2,故充分性不成立；由a2>b2也 推不出a>b,如a=一2，b=-1,满足a2>b2,但是a< b,故必要性不成立，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分 也不必要条件，故B错误；对于C,当n=4时，一元二次 方程x2-4x十4=0的根为x1=x2=2,故C错误；对于 D,若函数y=x2十mx十1的图象关于直线x=1对称， 一=1，解得m=一2，所以函数y=x2十mx十 图象关于直线x=1对称的充要条件是m=一2，故D正 确；故选AD. 3.BCD由于x2<1即-1<x<1,A显然不能使-1<x <1成立，B、C、D满足题意. 4.B由2<1，得a<0友8：即a<0或>1， 则“1<1”是“a>1”成立的必要而不充分条件.故选B. 5.B因为p是q的充分条件，所以p→q,所以q是p的 必要条件. 6.ABCA选项，等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错 误；B选项，当x=一1，y=-2时，x2<y2,则B错误；C 选项，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长 之比的平方，则C错误；D选项，由m>2,得m2>4,即 m2-4>0,则方程x2一mx十1=0有实根，故D正确. 故选ABC. 初高中衔接 7.解析：由x=一1→x2一x一2=0，所以“x=一1”是“x2一x 2=0”的充分条件，“x2一x一2=0”是“x=一1”的必要条件」 答案：充分必要 8.解析：方程x2一4x十a=0有实根，需要△≥0，即a4,所以 当a=2时方程有实根.所以是充分条件. 答案：充分 9.B若△ABC中有一个角是36°，但△ABC不是等腰三 角形，则△ABC不是黄金三角形. 若△ABC为黄金三角形，则△ABC中必有一个角 是36° 则“△ABC中有一个角是36”是“△ABC为黄金三角 形”的必要不充分条件. 故选B. 10.A由条件，知D→C台B→A,即D→A,但A≯D,故选 A. 11.解析：依题意，(-1,3)手(-m,m),则m≥3，此时一m ≤一3<一1，所以m的取值范围是m≥3. 故答案为m≥3. 答案：m≥3 12.解：(1)由题意得，p→q,9p,所以p是q的充分不必 要条件； (2)若a,b至少有一个不为零，则a2,b2至少有一个大 于零，所以a2+b2>0,反之由a2十b2>0也可推出a,b 至少有一个不为零，所以p台q,所以p是q的充要 条件； (3)p:a+1>b,q:a>b,因为a+1>a,所以q→p,pp q,所以p是q的必要不充分条件； (4)若-5x2ym与x"y是同类项，若m=1,n=2,所以 m十n=3,当m十n=3时，-5x2ym与x"y不一定是同 类项，所以p→q,qp,所以力是q的充分不必要 条件. 1.5全称量词与存在量词 [基础知识整合] 1.H全称量词Hx∈M,(x)2.3存在量词 3.(1)3x∈M,p(x)存在量词命题(2)Hx∈M, 一(x)全称量词命题 [新知自主探究] 典例1对点训练 1.BA中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词 命题；B中x=0时，x2=0,所以B既是存在量词命题又 是真命题；C中因为√2十（一√2）=0，所以C是假命题； D中对任意一个负数，都有1<0，所以D是假命题， 2.B因为“至少有一个”“存在”是存在量词，“任意的”为 全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词 命题，所以全称量词命题的个数为2. 典例2对点训练 1.解析：因为命题“了x∈R,x2一2x十m≤0”是假命题，所以 Vx∈R,x2一2x十m>0为真命题， 即△=4一4m<0,得m>1. 答案：{mm>1} 2.解析：设y=2x十a,则y=2x十a在（一1,1)内有零点， 所以(a十2)(a一2)<0，解得-2<a<2. 答案：-2<a<2 「学习效果检测门 1.D全称量词命题的否定为相应的存在量词命题，即将“所 有”变为“存在”，并且将结论进行否定 2.A“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数 x,使得f(x)>0成立” 3.D因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题p:Hx,y∈R,(x十y)3>x3十y3的否定为 了x,y∈R,(x+y)3≤x3+y3.故选D. 4.C①④为全称量词命题；②③为存在量词命题； ①②③为真命题；④为假命题. 19 直通车·数学 5.C 6.D命题存在“-1≤x≤1，-x2+3x十a>0”为真命题， 等价于a>x2-3x在{x|-1≤x≤1}上有解，令y=x2 一3x,(-1≤x≤1)，则等价于a>ymin=-2,所以a> -2. 7.①②③ 8.解析：由题意可得“对Vx∈R,22+(a-1)z十分>0恒成 立”是真命题，令△=(a-1)2-4<0得-1<a<3. 答案：{a一1<a<3} 9.A由否定的定义可得，命题“HA二B,Card(A)≤ Card(B)”的否定是]A三B,Card(A)>Card(B).故 选A. 10.D命题“3x∈R,使4x2+(a-2)x十4≤0”是假 命题，∴命题“yxER,使4r2+(a-2)x+}>0”是 真命题，即判别式△=(a-2)2-4×4×}<0,即△= (a-2)2<4,则-2<a-2<2,即0<a<4,故选D. 11.解析：因为命题p:“3x∈R,x2十2x十a=0”是假 命题， 所以命题力的否定“Vx∈R,x2十2x十a≠0”是真 命题， 则方程x2+2x十a=0无解，即△=4一4a<0,解得a>1; 又因为命题q:Hx≥0，a一x≤2是真命题，所以a≤x十2， 对任意x≥0恒成立，故a应小于等于x十2在 [0,+∞)的最小值， 当x=0时x十2最小值为2，即a≤2 综上所述，实数a的取值范围是（1,2]. 故答案为(1,2]. 答案：(1,2] 12.解：(1)命题p的否定：对任意实数x,有x-a≤0且 x-b>0. (2)要使命题p的否定为真，则需要使x一a0:的解集不 x-b0, 为空集.a,b应满足的条件是ba. 章末检测（一） 1.D由B={xx<1},可知RB={xx≥1}.又A={x|-1 ≤x≤2}，∴.A∩(CRB)={x|1≤x≤2. 2.BA.锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题； B.为存在命题，当x=0时，x2=0成立，所以B正确； C.因为√5+（一√3）=0，所以C为假命题. D.对于任何一个负数x,都有】<0，所以D错误. 故选B. 3.A由|x|>1,解得x>1或x<-1,故“x>1”是“|x >1”的充分不必要条件，故选A. 4.D集合X可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}， {1,2,4},{1,3,4},共7个. 5.D因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命 题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：存在x∈R,使 得x2<1.故选D. 6.A7.A8.B 9.ACD由所有有理数都为实数，但不是所有实数都为有 理数，A正确；当a=0时，ax2十ax十1=0无解，即集合 A为空集，B错误：由2>0得>，所以p对应的集 合是{xx>2},所以一p对应的x的集合为 {x|x≤2}，C正确；MUN=M,则N二M,因为集合M 有2个元素，所以集合N的个数为22=4，D正确.故 选ACD. 10.ACD由题意可知，满足题设条件的集合A有{0,8}， {2,6},{3,5},共3个. 08