1.5 全称量词与存在量词-【初高中衔接直通车】2026年初升高数学衔接直通车

初高中衔接直通车·数学 12.在下列各题中，判断p是q的什么条件 (4)p:一5x2y”与x”y是同类项；q: (请用“充分不必要条件”“必要不充分条 m十n=3. 件”“充要条件”“既不充分也不必要条件” 回答) (1)p:∠C=90°；q:△ABC是直角三 角形； (2)p:a,b至少有一个不为零；q:a2+b>0; (3)p:a+1>b;q:a>b; 1.5全称量词与存在量词 基础知识整合63 ◆◆◆ 1.全称量词与全称量词命题 续表 全称量词 所有的、任意一个、一切、每个、任给 存在量词命题 含有 的命题 “存在M中的一个x,使p(x)成立” 符号 形式 可用符号简记为“彐x∈M,(x)” 全称量词命题 含有 的命题 3.全称量词命题与存在量词命题的否定 “对M中任意一个x,有p(x)成 (1)全称量词命题p:Hx∈M,p(x)的否 形式 立”，可用符号简记为“ 定： ,全称量词命题的否 定是 2.存在量词与存在量词命题 (2)存在量词命题p:3x∈M,p(x)的否 定： ,存在量词命题的否 存在一个、至少有一个、有一个、 存在量词 有些、有的 定是 4.命题的否定与原命题的真假 符号表示 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命 题只能是一真一假. 新知自主探究C。 ◆◆ 探究点一 全称量词命题与存在量词命题 C.对于任意x∈Z,2x十1是奇数 的概念及真假判断 D.存在x∈R,2x+1是奇数 【典例1】(1)下列语句不是存在量词命题 (2)下列命题为真命题的是 的是 () A.Hx∈R,x2-x-1>0 A.有的无理数的平方是有理数 B.3x∈R,x2+x=-1 C.3x∈R,x2-x+1=0 B.有的无理数的平方不是有理数 D.Hx∈(3，+∞)，x2>2x十1 32 第二篇高中知识预习 【解析】(1)因为“有的”“存在”为存在量 C.两个无理数的和必是无理数 词，“任意”为全称量词，所以选项A,B,D均为 D.存在一个负数x,使1>2 存在量词命题，选项C为全称量词命题， 2-x-1=(-}-≥- 2.给出下列几个命题： ①至少有一个x,使x2+2x+1=0成立； 所以A是假命题.x+x+1=(x+)°+ ②对任意的x,都有x2+2x十1=0成立： ③对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立； >0,所以十=-1对任意实数x都 ④存在x,使x2十2x十1=0成立. 不成立，所以B是假命题；x2一x十1= 其中是全称量词命题的个数为( (女-+≥，所以C是候命题. A.1 B.2 C.3 D.0 2x-1=(x-1)2-2,当x>3时，（x- 探究点二 由全称量词（存在量词）命题的 1)2一2>0，所以D是真命题. 真假确定参数的范围 【答案】(1)C(2)D 【典例2】(1)若存在x∈R,使ax2+2x十 【方法总结】 a<0,则实数a的取值范围是 () 1.判断命题是全称量词命题还是存在量 A.a<1 B.a≤1 词命题的方法： C.-1<a<1 D.-1<a≤1 (1)分析命题中是否含有量词. (2)已知命题P:Hx∈(2,3)，x2+5> (2)分析量词是全称量词还是存在量词. ax是假命题，则实数a的取值范围是() (3)若命题中不含量词，要根据命题的意义 A.{aa≥25} 去判断 Baa≥号 2.全称量词命题与存在量词命题真假的 ca≥ D.{aa≤2√5} 判断方法： (1)要判定全称量词命题“Hx∈M, 【解析】(1)当a≤0时，显然存在x∈ p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素 R,使ax2+2x+a<0; x,证明p(x)都成立；如果在集合M中找到 当a>0时，由△=4-4a2>0, 一个元素x,使得(x)不成立，那么这个全 解得-1<a<1,故0<a<1, 称量词命题就是假命题 综上所述，实数a的取值范围是a<1. (2)要判定存在量词命题“3x∈M, (2)若Vx∈(2,3)，x2+5>ax恒成立， p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个 则a<+2xe2.3. 元素x,使p(x)成立即可；如果在集合M中， 使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在 因为f(x)=x+是在(2,5)上是减函 量词命题就是假命题。 数，在（√5,3）上为增函数，所以函数f(x)的 [对点训练] 最小值是f(5)=2√5，则a<2√5. 1.以下四个命题中既是存在量词命题又是真 因为命题P:Hx∈(2,3)，x2+5>ax是 命题的是 假命题，所以a≥2√5，实数a的取值范围是 A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 {aa≥25}. B.至少有一个实数x,使x2≤0 【答案】(1)A(2)A 33 初高中衔接直通车·数学 【方法总结】应用全称量词命题与存在 A.3x∈R,x2-2x+1≤0 量词命题求参数范围的两类题型 B.3x∈R,x2-2x+1≥0 (1)全称量词命题的常见题型是“恒成立” C.3x∈R,x2-2x+1<0 问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的 D.Hx∈R,x2-2x+1<0 集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以 【解析】因为命题“Vx∈R,x2一2x十 代入求解，也可以根据函数等数学知识来解决. 1≥0”为全称量词命题，所以命题的否定为 (2)存在量词命题的常见题型是对适合某 3x∈R,x2-2x十1<0.故选C. 种条件的结论用“存在”“不存在”“是否存在”等 【答案】C 语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出 【方法总结】 肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合 写全称量词命题与存在量词 已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则 命题的否定的思路 存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设. 在书写全称量词命题与存在量词命题的 [对点训练] 否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从 1.若命题“3x∈R,x2-2x+m≤0”是假命 量词入手，书写命题的否定.全称量词命题的 题，则m的取值范围是 否定是存在量词命题，存在量词命题的否定 2.若命题“3x∈(-1,1)，2x十a=0”是真命 是全称量词命题 题，则a的取值范围是 [归纳小结] 探究点三 全称量词命题与存在量词命题 的否定 1.判断全称量词命题的关键：一是先判断是 【典例3】（1)命题“存在一个无理数， 不是命题；二是看是否含有全称量词. 它的平方是有理数”的否定是 () 2.判定全称量词命题的真假的方法：定义法， A.任意一个有理数，它的平方是有理数 对给定的集合的每一个元素x,p(x)都为 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 真；代入法，在给定的集合内找出一个x, C.存在一个有理数，它的平方是有理数 使(x)为假，则全称量词命题为假， D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 3.判定存在量词命题真假的方法：代入法，在 【解析】量词“存在”改为“任意”，结论 给定的集合中找到一个元素x,使命题 “它的平方是有理数”否定后为“它的平方不 (x)为真，否则命题为假. 是有理数”.故选B. 4.写出一个含有量词的命题的否定，一般分 【答案】B 两步：一是改量词，二是否结论 (2)命题“Hx∈R,x2-2x+1≥0”的否 5.能够判断一个“命题的否定”的真假，注意 定是 到一个命题和命题的否定一真一假 学习效果检测C还D ◆◆ A基础巩固练 A.所有不能被2整除的数都是偶数 1.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 定是 D.存在一个能被2整除的数不是偶数 34 第二篇高中知识预习 2.“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于 ①有的实数是无限不循环小数 ( ②有些三角形不是等腰三角形 A.存在x∈R,使得f(x)>0成立 ③有的菱形是正方形 B.存在x∈R,使得f(x)≤0成立 8.已知命题“3x∈R,2x2+（a-1)x+ C.对任意x∈R,使得f(x)>0成立 D.对任意x∈R,使得f(x)≤0成立 0”是假命题，则实数a的取值范固是 3.数学符号的使用对数学的发展影响深远， “=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一 B能力提升练 书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特 9.命题“HA三B,Card(A)≤Card(B)”的否 首次使用“>”和“<”，便于不等式的表示， 定是 () 则命题p:Hx,y∈R,(x十y)3>x3+y3的 A.3ACB,Card(A)>Card(B) 否定为 () B.3ACB,Card(A)<Card(B) A.Vz,yER,(z+y)<x+y C.VACB,Card(A)>Card(B) B.3x,y∈R,(x十y)3>x3+y D.ACB,Card(A)>Card(B) C.3x,y∈R,(x十y)3<x3+y 10.已知命题“3x∈R,使4d+a-2)x+}<0” D.3x,y∈R,(x十y)3≤x3+y3 是假命题，则实数a的取值范围是() 4.给出四个命题：①末位数字是偶数的整数 A.a<0 B.0≤a<4 能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在 C.a≥4 D.0<a<4 实数x,使x>0;④对于任意实数x,2x十1 11.若命题p:“3x∈R,x2十2x十a=0”是假 都是奇数.下列说法正确的是 () 命题，命题q:Hx≥0，a-x≤2是真命 A.四个命题都是真命题 题，则实数a的取值范围是 B.①②是全称量词命题 12.命题p是“对某些实数x,有x一a>0或 C.②③是存在量词命题 x-b≤0”，其中a,b是常数. D.四个命题中有两个假命题 (1)写出命题p的否定； 5.下列命题中既是全称量词命题又是真命题 (2)当a,b满足什么条件时，命题p的否 的是 () 定为真？ A.Hx∈R,2x+1>0 B.若2x为偶数，则x∈N C.菱形的四条边都相等 D.π是无理数 6.已知命题“存在一1≤x≤1，一x2+3x+ a>0”为真命题，则实数a的取值范围是 () A.- B.{aa>4} C.{a-2<a<4} D.{aa>-2) 7.在下列存在量词命题中真命题有 (填序号). 35初高中衔接 7.解析：由x=一1→x2一x一2=0，所以“x=一1”是“x2一x 2=0”的充分条件，“x2一x一2=0”是“x=一1”的必要条件」 答案：充分必要 8.解析：方程x2一4x十a=0有实根，需要△≥0，即a4,所以 当a=2时方程有实根.所以是充分条件. 答案：充分 9.B若△ABC中有一个角是36°，但△ABC不是等腰三 角形，则△ABC不是黄金三角形. 若△ABC为黄金三角形，则△ABC中必有一个角 是36° 则“△ABC中有一个角是36”是“△ABC为黄金三角 形”的必要不充分条件. 故选B. 10.A由条件，知D→C台B→A,即D→A,但A≯D,故选 A. 11.解析：依题意，(-1,3)手(-m,m),则m≥3，此时一m ≤一3<一1，所以m的取值范围是m≥3. 故答案为m≥3. 答案：m≥3 12.解：(1)由题意得，p→q,9p,所以p是q的充分不必 要条件； (2)若a,b至少有一个不为零，则a2,b2至少有一个大 于零，所以a2+b2>0,反之由a2十b2>0也可推出a,b 至少有一个不为零，所以p台q,所以p是q的充要 条件； (3)p:a+1>b,q:a>b,因为a+1>a,所以q→p,pp q,所以p是q的必要不充分条件； (4)若-5x2ym与x"y是同类项，若m=1,n=2,所以 m十n=3,当m十n=3时，-5x2ym与x"y不一定是同 类项，所以p→q,qp,所以力是q的充分不必要 条件. 1.5全称量词与存在量词 [基础知识整合] 1.H全称量词Hx∈M,(x)2.3存在量词 3.(1)3x∈M,p(x)存在量词命题(2)Hx∈M, 一(x)全称量词命题 [新知自主探究] 典例1对点训练 1.BA中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词 命题；B中x=0时，x2=0,所以B既是存在量词命题又 是真命题；C中因为√2十（一√2）=0，所以C是假命题； D中对任意一个负数，都有1<0，所以D是假命题， 2.B因为“至少有一个”“存在”是存在量词，“任意的”为 全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词 命题，所以全称量词命题的个数为2. 典例2对点训练 1.解析：因为命题“了x∈R,x2一2x十m≤0”是假命题，所以 Vx∈R,x2一2x十m>0为真命题， 即△=4一4m<0,得m>1. 答案：{mm>1} 2.解析：设y=2x十a,则y=2x十a在（一1,1)内有零点， 所以(a十2)(a一2)<0，解得-2<a<2. 答案：-2<a<2 「学习效果检测门 1.D全称量词命题的否定为相应的存在量词命题，即将“所 有”变为“存在”，并且将结论进行否定 2.A“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数 x,使得f(x)>0成立” 3.D因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题p:Hx,y∈R,(x十y)3>x3十y3的否定为 了x,y∈R,(x+y)3≤x3+y3.故选D. 4.C①④为全称量词命题；②③为存在量词命题； ①②③为真命题；④为假命题. 19 直通车·数学 5.C 6.D命题存在“-1≤x≤1，-x2+3x十a>0”为真命题， 等价于a>x2-3x在{x|-1≤x≤1}上有解，令y=x2 一3x,(-1≤x≤1)，则等价于a>ymin=-2,所以a> -2. 7.①②③ 8.解析：由题意可得“对Vx∈R,22+(a-1)z十分>0恒成 立”是真命题，令△=(a-1)2-4<0得-1<a<3. 答案：{a一1<a<3} 9.A由否定的定义可得，命题“HA二B,Card(A)≤ Card(B)”的否定是]A三B,Card(A)>Card(B).故 选A. 10.D命题“3x∈R,使4x2+(a-2)x十4≤0”是假 命题，∴命题“yxER,使4r2+(a-2)x+}>0”是 真命题，即判别式△=(a-2)2-4×4×}<0,即△= (a-2)2<4,则-2<a-2<2,即0<a<4,故选D. 11.解析：因为命题p:“3x∈R,x2十2x十a=0”是假 命题， 所以命题力的否定“Vx∈R,x2十2x十a≠0”是真 命题， 则方程x2+2x十a=0无解，即△=4一4a<0,解得a>1; 又因为命题q:Hx≥0，a一x≤2是真命题，所以a≤x十2， 对任意x≥0恒成立，故a应小于等于x十2在 [0,+∞)的最小值， 当x=0时x十2最小值为2，即a≤2 综上所述，实数a的取值范围是（1,2]. 故答案为(1,2]. 答案：(1,2] 12.解：(1)命题p的否定：对任意实数x,有x-a≤0且 x-b>0. (2)要使命题p的否定为真，则需要使x一a0:的解集不 x-b0, 为空集.a,b应满足的条件是ba. 章末检测（一） 1.D由B={xx<1},可知RB={xx≥1}.又A={x|-1 ≤x≤2}，∴.A∩(CRB)={x|1≤x≤2. 2.BA.锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题； B.为存在命题，当x=0时，x2=0成立，所以B正确； C.因为√5+（一√3）=0，所以C为假命题. D.对于任何一个负数x,都有】<0，所以D错误. 故选B. 3.A由|x|>1,解得x>1或x<-1,故“x>1”是“|x >1”的充分不必要条件，故选A. 4.D集合X可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}， {1,2,4},{1,3,4},共7个. 5.D因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命 题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：存在x∈R,使 得x2<1.故选D. 6.A7.A8.B 9.ACD由所有有理数都为实数，但不是所有实数都为有 理数，A正确；当a=0时，ax2十ax十1=0无解，即集合 A为空集，B错误：由2>0得>，所以p对应的集 合是{xx>2},所以一p对应的x的集合为 {x|x≤2}，C正确；MUN=M,则N二M,因为集合M 有2个元素，所以集合N的个数为22=4，D正确.故 选ACD. 10.ACD由题意可知，满足题设条件的集合A有{0,8}， {2,6},{3,5},共3个. 08