1.2 集合间的基本关系-【初高中衔接直通车】2026年初升高数学衔接直通车

初高中衔接 1.2集合间的基本关系 [基础知识整合] 1.任意一个A二BB2AS 2.任何一个元素任何一个元素A=B 3.x∈Bx任A(1)(2)手 4.不含任何元素子集 「新知自主探究 典例1对点训练 解：由(1,2)A二{1,2,3,4,5}可知集合A中必含元素 1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个，因此根据集合A 的元素的个数分类如下： 含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5). 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5. 含有5个元素：{1,2,3,4,5}. 典例2对点训练 解析：因为A={4,a},B={2,ab},A=B, 所以解得a=2,b=2,所以a十b=4. 答案：4 典例3对点训练 B集合B={xx>a),A二B,则只要a≤-1即可. 「学习效果检测] 1.B空集是不含任何元素的集合，所以①错误；空集是任何 集合的子集，因此空集也是空集的子集，且空集的子集只 有一个，所以②③错误，④正确. 2.C因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子 集，是任何非空集合的真子集， 所以0庄0，{0}≠⑦，☑军{0}，{0}不是财的子集，故 A、B、D错误，C正确；故选C. 3.D集合M={-2,-1,0,1},集合R={-3,-2},集合 S={0,1},不难发现集合P中的元素一3庄M,集合Q 中的元素2氏M,集合R中的元素一3庄M,而集合S= {0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S二M. 4.D由A={x|1<x<2},B={xx<a},A三B,则 {aa≥2}. 5.CB={y|y=x2,x∈R}={yly≥0}，所以A军B. 6.C由题意可得，集合B={1,2,3},所以A=B. 7.解析：因为A=(2,5],A二B,所以5<a, 又a∈(c,十o∞)，所以c=5. 答案：5 8.解析：因为B={3}二A,所以3∈A, 即9一15十m=0,所以m=6. 答案：6 9.C由A二B,得m十1=5或m2+1=5,得m=4或 m=士2，经检验，m=一2不合题意，故实数m的取值集 合为{2,4}，故选C. 10.ACD一√3是无理数，所以一√3氏Q,故A正确；方程 x2十9=6x解得x1=x2=3,所以解集为{3}，故B错误； 由方程组x十)一6·解得x二所以解集为{(4,2)}， (x=2y, y=2, 故C正确；因为x=3k十2=3(k+1)-1,所以{xx=3k十 2,k∈Z}={xx=3k-1,k∈Z},故D正确；故选ACD. 11.解析：xy>0,x,y同号，又x十y<0,x<0,y< O,即集合M表示第三象限内的点，而集合P表示第三 象限内的，点，故M=P. 答案：M=P 12.解：(1)①当m-1>2m+1,即 m<一2时，B=财符合题意；② 当m-1≤2m+1,即m≥一2 m12+16 时，B≠. 由B二A,借助数轴如图所示， 得m6'解得0<m≤号 5 12m+16, 直通车·数学 所以0≤m≤号 综合①②可知， 实教m的取值范国为mm<-2,或0≤m≤号}： (2)当x∈N时，A={0,1,2,3,4,5,6}, .集合A的子集的个数为27=128. 1.3集合的基本运算 第1课时并集、交集 [基础知识整合] 1.所有属于或属于AUBA并B{xx∈A,或x∈B} 2.属于且属于A∩BA交B{x|x∈A,且x∈B} 3.AAA [新知自主探究] 典例1对点训练 A因为集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2}, 所以PUQ={x|-1<x<2}. 典例2对点训练 1.B因为A={x|x≥0}，B={-1,0,1},所以A∩B={0,1. 2.D联立得21=0，消去)得2-12，即1 =0,解得x=1y=1,则A∩B={(1,1). [学习效果检测] 1.B集合A={-2,0,2},B={yy≥0}，则A∩B= {0,2}.故选B. 2.B因为集合A={x|-1≤x<3},B={x|2<x≤5}，所 以AUB={-1≤x≤5}. 3.A解法一（直接法)因为A={x|-5<x3<5}={x -5<x<5},B={-3,-1,0,2,3},所以A∩B= {-1,0},故选A. 解法二（验证法）因为（一3）3=一27<一5，（一1）3= -1∈(-5,5)，03=0∈(-5,5)，23=8>5,33=27>5， 所以-1∈A,0∈A,-3A,2A,3氏A,所以A∩B= {一1,0}，故选A. 4.A根据题意，x∈A推不出x∈B,x∈B能推出x∈A, 所以B二A,故AUB=A.故选A. 5.D因为M={-4,-1},N={4,1}, 所以M∩N=g. 6.C集合A={x|0≤x<3},B={x|-√5<x<5},所 以A∩B={x0≤x<5}.故选C. 7.解析：由题意1∈B,显然a2+4≥4，所以a=1,此时a2+ 4=5,满足题意. 答案：1 8.解析：A={x|-1≤x<2},B={xx≤a},由A∩B≠ 0,得a≥-1. 答案：a≥-1 9.AC{1)UB={1,2},B可能为{2}或{1,2. 10.AB如图，要使A∩B=,应有a<-1. B a-1012x 11.解析：用数轴表示集合A,B如图所示. 由A∩B={x5≤x≤6}，得m=6. B☐A 5 m 答案：6 12.解：当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两 种情况：当a=0时，方程化为2x十1=0，解得x= 2;当a≠0时，由△=4-4a=0,解得a=1.综上所 述，a=0或1. 06第二篇高中知识预习 1.2集合间的基本关系 基础知识整合C3② ◆◆ 1.子集的概念 素，那么，集合A与集合B相等，记作 也就是说，若A二B且B二A, 般地，对于两个集合A,B,如果集 则A=B. 定义 合A中 元素都是集合B中 3.真子集的概念 的元素，称集合A为集合B的子集 如果集合A三B,但存在元素 ,且 记法 记作 (或 ),读作 定义 ,我们称集合A是集合B的真子集 与读法 “A包含于B”(或“B包含A”) 记法 记作A车B(或B星A) 图示 1(B) 图示 (1)任何一个集合是它本身的子集， (1)A手B且BC,则A C; 结论 即A A; (2)ACB且A≠B,则A B 结论 (2)对于集合A,B,C,若A二B,且BC 4.空集的概念 C,则A三C 定义 我们把 的集合，叫做空集 2.集合相等的概念 记法 0 如果集合A的 是集合B的元素， 规定 空集是任何集合的 ,即0二A 同时集合B的 都是集合A的元 新知自主探究C。 探究点一 集合与集合间关系的判定 ⑤{1}∈{0,1,2}； 【典例1】(1)设集合A={x-1<x<2}, ⑥{x|x>1}二{x|x≥2}. B={x|一1<x<1},则 () 【解析】 (1)如图所示 A.A二B B.BCA B☐A -1 C.A=B D.A车B 12 (2)下列命题中正确的有 (写出 A的范围包含B的范围，所以B二A. 全部正确命题的序号)： (2)根据子集的定义，①显然正确；②中 ①{2,4,6}三{2,3,4,5,6}； 只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的菱 ②{菱形}二{矩形}； 形不是矩形；③中集合{x|x2=0}中的元素 只有一个“0”，因此是集合{0}的子集；④中 ③{x|x2=0}二{0}； {(0,1)}的元素是有序实数对，而{0,1}是数 ④{(0,1)}二{0,1}； 19 初高中衔接直通车·数学 集，元素不同；⑤中两个集合之间使用了“∈” (2)列方程组时针对不同情况常常要分 符号，这是用来表示元素与集合的关系时使 类讨论 用的符号，不能用在集合与集合之间；⑥中两 [对点训练] 集合的关系应该是{x|x>1}口{x|x≥2}.因 设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+ 此正确的是①③，错误的是②④⑤⑥ b= 【答案】(1)B(2)①③ 探究点三由集合间的关系求参数问题 【方法总结】判断集合关系的方法 【典例3】(1)若集合M={xx2+x (1)观察法：一一列举观察。 6=0},N={xlax+2=0,a∈R},且NM, (2)元素特征法：首先确定集合元素是什 则a的取值集合为 么，弄清集合元素特征，再利用集合元素特征 【解析】化简M={x|x2+x一6=0}= 判断. {一3,2}，因为ax+2=0的系数a是字母，所 (3)数形结合法：利用数轴或Venn图. 以对a分类讨论如下： [对点训练] 当a=0时，ax十2=0无解，所以N=☑ 满足题意，当a≠0时，ax十2=0的解为x= 写出满足{1,2}A二{1,2,3,4,5}的所有 集合A. 名，因为N医M,所以由一名=一3，保a= 由一名-2，得a=-1,所以符合条件的。 2 a 的取位条合为0，号-1： 【答案】 (2)已知集合A={x|一3≤x≤4}，B= {x2m一1<x<m+1},且B二A,求实数m 探究点二相等问题 的取值范围。 【解】因为B二A,①当B=☑时，m十1≤ 【典例2】设集合A={x,y},B={0, 2m-1,解得m≥2. x2},若A=B,则2x十y= ( -3≤2m-1, A.0 B.1 C.2 ②当B≠0时有{m十1≤4， D.-1 【解析】由A=B,知x=0或y=0. 2m-1<m+1, 当x=0时，x2=0,此时B={0,0},不满 解得-1≤m<2,综上得m≥一1. 足集合中元素的互异性，舍去；当y=0时， 【方法总结】 x=x2,则x=0或x=1. 应用集合关系求参数的四个步骤 由上知x=0不合题意.故x=1,y=0, 化简 将给定的集合加以化简，若有不确定因素 则需分类讨论 则2x十y=2. 列式 根据所给集合关系构造方程（或不等式） 【答案】C 求解 对所列方程（或不等式）进行求解 【方法总结】集合相等的解题策略 检验 对求出的解进行检测，看是否满足集合中 (1)利用集合相等的概念建立方程组 元素的互异性 20 第二篇高中知识预习 2.集合子集的个数 [对点训练] 求集合的子集问题时，一般可以按照子集 设A={x|-1<x<1},B={x|x-a>0}, 元素个数分类，再依次写出符合要求的 若A二B,则a的取值范围是 () 子集 A.{ala<-1} B.{ala≤-1} 集合的子集、真子集个数的规律为含n个元 C.{aa≥1} D.(ala>1) 素的集合有2”个子集，有2”一1个真子集，有 [归纳小结] 2m一2个非空真子集.写集合的子集时，空集 和集合本身易漏掉， 1.对子集、真子集有关概念的理解 3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常 (1)集合A中的任何一个元素都是集合B 用方法 中的元素，即由x∈A能推出x∈B,这是 (1)注意点：①不能忽视集合为0的情形； 判断A二B的常用方法. (2)不能简单地把“A二B”理解成“A是 ②当集合中含有字母参数时，一般需要分 B中部分元素组成的集合”，因为若 类讨论 A=⑦时，则A中不含任何元素；若A= (2)常用方法：对于用不等式给出的集合， B,则A中含有B中的所有元素， 已知集合的包含关系求相关参数的范围 (3)在真子集的定义中，A,B首先要满足 (值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴 A二B,其次至少有一个x∈B,但xA. 解答 学习效果检测C还包 A基础巩固练 C.R={y-π<y<-1,y∈Z} 1.已知下列四个命题：①必={0}；②空集没 D.S={xl|xl<3,x∈Ny 有子集；③任何一个集合都有两个或两个 4.设集合A={x1<x<2},B={x|x<a}, 以上的子集；④空集是任何集合的子集.其 若A二B,则a的取值范围是 ( 中正确的命题个数是 ( A.{aa≤2} B.{ala≤1} A.0 B.1 C.{aa≥1} D.{aa≥2} C.2 D.3 5.已知集合A={xlx>1},B={y|y=x2, 2.下列关系中正确的是 () x∈R},则 () A.0∈0 B.{0}=⑦ A.A-B B.B￥A C.军{0》 D.{0}≤☑ C.A壬B D.B二A 3.已知集合M={x|-√5<x<√3，x∈Z}, 6.已知集合A={0,1,2},B={x|x∈A},则 则下列集合是集合M的子集的为() A.P={-3,0,1} A.ACB B.BCA B.Q={-1,0,1,2} C.A=B D.以上都错 21 初高中衔接直通车·数学 7.已知集合A={x|1<x-1≤4}，B= 11.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和 (一∞，a),若A二B,则实数a的取值范围 P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P 是(c,十∞)，其中c= 的关系为 8.设A={xx2-5x十m=0),B={x|x- 12.设集合A={x|-1≤x≤6}，B={x|m一 3=0},且B二A,则m= 1≤x≤2m十1}，已知B二A. B能力提升练 (1)求实数m的取值范围； 9.已知集合A={一1,5}，B={一1，m+1, (2)当x∈N时，求集合A的子集的个数， m2+1},若A二B,则实数m的取值集合为 () A.{4} B.{-2,2} C.{2,4) D.{-2,2,4} 10.(多选题)下列说法正确的是（) A.-√3tQ B.方程x2+9=6x的解集为{x=3} C.方程组 x+y=6, 的解集为{(4,2)} x=2y D.集合{xx=3k十2，k∈Z}={x|x= 3k-1,k∈Z} 1.3集合的基本运算 第1课时并集、交集 基础知识整合GD 1.并集的概念及表示 3.并集、交集的运算性质 自然语言 符号语言 图形语言 由 集合A 并集的运算性质 交集的运算性质 集合B的元素组成 AUB= 的集合，称为集合A与B 的并集，记作 AUB-BUA A∩B=B∩A (读作“ ”) 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 AUA- A∩A= 集合A 集合B的所有元素组成 A∩B= 的集合，称为A与B的交 A②B AUO- A∩0= 集，记作 (读作 22