1.1 第2课时 集合的表示-【初高中衔接直通车】2026年初升高数学衔接直通车

初高中衔接 第2课时 基础知识整合G还3D 1.列举法 把集合的所有元素 出来，并用花 括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列 举法. 2.描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把 集合A中所有具有 的元素x所 新知自主探究G®冠② 探究点一用列举法表示集合 【典例1】用列举法表示下列集合. (1)36与60的公约数组成的集合； (2)方程(x一4)2(x一2)=0的根组成的 集合； 8)一次函数)=x-1与y=-号x十号 2 的图象的交点组成的集合 【解】(1)36与60的公约数有1,2,3， 4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}. (2)方程(x一4)2(x一2)=0的根是4,2， 所求集合为{4,2}. 个 y=x-1, (3)方程组 y=- 214的解是 3x+3 2 y= 所求案合为得)》 【方法总结】 列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时，全部列举，如 {1,2,3,4} (2)元素个数多且有限时，可以列举部 分，中间用省略号表示，如“从1到1000的所 有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1000}. 直通车·数学 集合的表示 ◆◆◆ 组成的集合表示为 ,这种表示集 合的方法称为描述法.有时也用冒号或分 号代替竖线。 (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个 集合元素的 及 ,再画一条竖线，在竖线后写出这个 集合中元素所具有的 ◆◆ (3)元素个数无限但有规律时，也可以类 似地用省略号列举，如“自然数集N”可以表 示为{0,1,2,3，…} 【注意】(1)花括号“{}”表示“所有”“整 体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，但 如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不 确切的， (2)用列举法表示集合时，要求元素不重 复、不遗漏 [对点训练] 用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x2=2x的所有实数解组成的 集合； (3)直线y=2x+1与y轴的交点组成 的集合； (4)由所有正整数构成的集合. 16 第二篇高 探究点二用描述法表示集合 【典例2】用描述法表示下列集合： (1)被3除余数等于1的整数的集合； (2)比1大又比10小的实数的集合； (3)平面直角坐标系中第二象限内的点 组成的集合. 【解】(1)被3整除的整数可以表示为 3n,n∈Z,故被3除余数等于1的整数的集 合可表示为{x|x=3n+1,n∈Z}. (2)比1大又比10小的实数的集合可以 表示为{x|1<x<10,x∈R}. (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组 成的集合可以表示为{(x,y)x<0,y>0}. 【方法总结】 使用描述法表示集合应注意的问题 (1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等. (2)说明该集合中元素的共同属性， (3)不能出现未被说明的字母. (4)所有描述的内容都要写在花括号内， 用于描述的内容力求简洁、准确 [对点训练] 用描述法表示下列集合： (1)大于4的所有偶数； (2)直线y=2x+3上的点组成的集合. 探究点三集合表示方法的简单应用 【典例3】集合A={xkx2-8x+16=0}, 若集合A中只有一个元素，求实数k的值组 成的集合， 【解】(1)当k=0时，方程kx2-8x十16=0 变为一8x十16=0，解得x=2,满足题意； 中知识预习 (2)当k≠0时，要使集合A={xkx2 8x+16=0}中只有一个元素，则方程kx2 8x十16=0只有一个实数根， 所以△=64一64k=0,解得k=1,此时集 合A={4},满足题意. 综上所述，k=0或k=1,故实数k的值 组成的集合为{0,1}. 【方法总结】此题容易漏解k=0,漏解 的原因是默认所给的方程一定是一元二次方 程.其实，当k=0时，所给的方程是一个一元 一次方程；当≠0时，所给的方程才是一个 一元二次方程，求解时要注意对k进行分类 讨论. [对点训练] 已知集合A={xax2-3x-4=0,x∈R}, 若A中至多有一个元素，求实数a的取值 范围 [归纳小结] 1.表示集合的要求 (1)根据要表示的集合元素的特点，选择适 当方法表示集合，一般要符合最简原则， (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜 用列举法表示，描述法既可以表示元素个 数有限的集合，也可以表示元素个数无限 的集合 初高中衔接 2.在用描述法表示集合时应注意的问题 (1)弄清元素所具有的形式（即代表元素是 什么)，是数、还是有序实数对（点）、还是集 合或其他形式. 学习效果检测CD A基础巩固练 1.集合{x∈Nx≤4}还可以表示为( A.{0,1,2,3,4》 B.{2,1,3,4} C.{1,2,3,4} D.{x0≤x≤4} 2.把集合{x|x2一3x+2=0}用列举法表 示为 A.{x=1,x=2} B.{x|x=1,x=2} C.{x2-3x+2=0}D.{1,2} 3.设集合A={1,2,4},集合B={xx=a十 b,a∈A,b∈A},则集合B中的元素个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 4.由单词“Chinese”中的字母作为集合A中 的元素，则集合A中的元素个数为( A.3 B.5 C.6 D.7 5.(多选题)下列集合，表示相等集合的是 ( A.{(-5,3)},{-5,3}》 B.{3,-5},{-5,3} C.{π}，{3.1415} D.{xx2-3x+2=0},{yly2-3y+2=0} 6.设集合A={一2,0,1,3}，集合B={x 一x∈A,1一x庄A},则集合B中元素的个 数为 ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知集合A={x|x2十2x十a=0},若1∈ A,则a= ,A= 直通车·数学 (2)元素具有怎样的属性.当题目中用了 其他字母来描述元素所具有的属性时， 要去伪存真，不能被表面的字母形式所 迷惑. ◆◆● 8.已知集合A={-1,-2,0,1,2},B= {xx=y,y∈A),则用列举法表示B 应为 B能力提升练 9.定义：不小于x的最小整数，在数学中通 常用向上取整函数表示，符号为x,读作 “x的上取整”，如2.21=3，一2.21=一2. 已知集合A={yly=3x1,0<x<1},则A= () A.{0,1,2} B.{1,2,3} C.{0,1,2,3} D.{1,2,3,4}》 10.已知P={x2<x≤k,x∈N},若集合P 中恰有4个元素，则 () A.6<<7 B.6≤k<7 C.5<k<6 D.5≤k<6 11.若集合A={x|ax十1=0，x∈R}不含有 任何元素，则实数a= 12,设集合BEN2∈N (1)试判断元素1和2与集合B的关系； (2)用列举法表示集合B. 18参考 (2)因为a∈A且4一a∈A, a∈N且4一a∈N,若a=0,则4一a=4, 此时A满足要求；若a=1,则4一a=3, 此时A满足要求；若a=2,则4一a=2, 此时A含1个元素不满足要求， 故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C. 答案：(1)C(2)C 典例3对点训练 A因为一2∈A,所以一2=a一1或-2=a2十3a,解得 a=一2或-1. 当a=-1时，a一1=-2，a2+3a=-2,此时不符合集 合中元素的互异性，故a=一1舍去. 当a=一2时，a一1=一3，a2十3a=一2，此时A含有 一3，-2,6三个元素，满足条件. 所以a=一2. [学习效果检测] 1.B在(1)中，比较小的数，没有确定性，故(1)不能构成 集合； 在(2)中，不大于10的偶数，具有确定性，故(2)能构成 集合； 在(3)中，所有三角形，具有确定性，故(3)能构成集合； 在(4)中，高个子男生，没有确定性，故(4)不能构成 集合， 2.CR,Q,N,Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整 数集，所以①④正确，因为0是自然数，√3，π都是无理 数，所以②③⑤⑥不正确. 3.B这两个方程的实数解分别是2,3和2，一1，根据集 合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成 含有3个元素的集合. 4.C由题意可知b=1,所以b=士1. 5.D由于集合中的元素具有“互异性”，故a,b,c,d四个元 素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等. 6.CD集合N是自然数集，其中最小的数是0，A错误； 一√2庄N且√2在N,故B错误；a∈N,b∈N且a≠b,所以 a十b的最小值是1，C正确；不是实数，一定不是有理 数，故D正确. 7.解析：，1任A,.2十a0,即a一2. 答案：a≤一2 8.解析：因为5∈A,5B, 所以后85饼得。-一4 答案：一4 9.AB因为y=一x2+1≤1，且y∈N,所以y的值为0， 1,所以A={0,1},又t∈A,所以t=0或t=1. 10.D①当x,:均为正数时，代数式十六十备十 的值为4：@当x之为两正一负时，代数式司 xyz 十十音十的值为0，@当为一正两负 时，代数式后十岗十奇十的值为0：⑩当， xyz 均为负数时，代数式行十片十后+的值 xyz 为一4，所以集合M为{4,0，一4}，故选D. 11.t∈ 12.解：（1)由集合元素的互异性可得x≠3，且x2一2x≠ x,x2-2x≠3，解得x≠-1，x≠0，且x≠3. (2)若-2∈A,则x=一2或x2-2x=一2.由于方程 x2一2x十2=0无解，所以x=一2.经检验，x=一2符 合互异性.故x=一2. 10 答案 第2课时集合的表示 [基础知识整合] 1.一一列举2.(1)共同特征P(x){x∈AP(x)} (2)一般符号取值（或变化）范围共同特征 [新知自主探究] 典例1对点训练 解：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于 或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2， 4,6,8,10}. (2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组 成的集合为{0,2}. (3)将x=0代入y=2x十1，得y=1,即交点是(0,1)，故 交点组成的集合是{(0,1)》. (4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…. 典例2对点训练 解：(1)偶数可表示为2，n∈N,因为大于4，故n≥3，所 以可表示为{xx=2n,n∈N且n≥3}. (2)直线y=2x十3上的，点用坐标表示为(x,y),故直线 y=2x十3上的，点的集合可表示为{(x,y)|y=2x十3). 典例3对点训练 解：当a=0时，A={台}，当a≠0时，关于x的方程 ax2一3x一4=0应有两个相等的实数根或无实数根，所 以△=9+16a≤0，即a≤-16 9 故所求的a的取值范国是a≤-品或a=0 [学习效果检测] 1.A{x∈N|x≤4}={0,1,2,3,4}.故选A. 2.D解方程x2-3x十2=0可得x=1或2，所以集合{x|x2 一3x十2=0}用列举法可表示为{1,2}. 3.C由题意，B={2,3,4,5,6,8},共有6个元素. 4.C根据集合中元素的互异性，A={C,h,i,n,e,s. 即A中的元素个数为6，故选C. 5.BDA中{（一5,3）}表示，点集，{一5,3}表示数集，不相 等；由集合中元素的无序性，B中两集合相等；因为π≠ 3.1415,故C中两集合不相等；D中两集合均为{1,2}. 6.C若x∈B,则-x∈A,所以x的可能取值为2,0，一1， 一3，当2∈B时，则1一2=一1￠A, 所以2∈B;当0∈B时，则1一0∈A,所以0B; 当-1∈B时，则1一(-1)=2A,所以一1∈B; 当-3∈B时，则1一(-3)=4年A,所以-3∈B. 综上，B={一3，一1,2}，所以集合B含有的元素个数 为3. 7.解析：把x=1代入方程x2十2x十a=0可得a=-3,解 方程x2十2x一3=0可得A={一3,1》. 答案：-3{-3,1} 8.解析：（一1）2=12=1，（一2）2=22=4,02=0，所以B= {0,1,4}. 答案：{0,1,4》 9.B当0K≤号时，0<3x≤1，则Bz1, 当号<≤号时，1<3≤2，则3xF2, 当号<<1时，2<3x<3,则3x1=3, 综上所述，A={1,2,3}.故选B. 10.B 11.0 12,解，1当x=1时2年=2N, 当=2时，22号EN,所以1eB,2EB (2)令x=0,1,4代入，6∈N检验，可得B={0,1,4. 2十x 5