1.1 第1课时 集合的概念-【初高中衔接直通车】2026年初升高数学衔接直通车

第二篇高中知识预习 第二篇 高中知识预习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 第1课时集合的概念 基础知识整合G@还② ◆◆◆ 1.元素与集合的概念及表示 (2)互异性：一个给定集合中的元素是 (1)元素：一般地，把 统称为元素， 的.也就是说，集合中的元素是 元素常用 表示 的.简记为“互异性”. (2)集合：把一些元素组成的 叫做 (3)无序性：给定集合中的元素是不分先 集合（简称为 ),集合通常用 后、 顺序的.简记为“无序性” 表示 3.元素与集合的关系 (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a 的，就称这两个集合是相等的. 集合A,记作 (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就 2.元素的特性 说a 集合A,记作 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是 4.常用的数集及其记法 的.也就是说，给定一个集 常用的 合，那么任何一个元素在不在这个集合中 自然数集 正整数集 有理数集 数集 就 了.简记为“确定性”. 记法 新知自主探究C玉⑦ ◆◆◆ 探究点一集合的概念 【解析】②中“帅哥”没有统一标准，即 【典例1】下列所给的对象能构成集合的 元素不确定，不能组成集合；⑤中的“漂亮”、 是 ⑥中的“近似”标准不明确，不能组成集合。 ①所有的正三角形； ①③④中的对象都是确定的，可以组成集合 ②本班全体帅哥； 【答案】①③④ ③某校高一年级所有16岁以下的学生； 【方法总结】 ④联合国安理会常任理事国； 判断一些对象能否构成集合的方法 ⑤漂亮的花； (1)判断每个对象是否具有确定性是判 ⑥2的近似值的全体. 断其能否构成集合的关键。 13 初高中衔接直通车·数学 (2)判断一个对象是不是确定的，关键就 A.0 B.1 是要找到一个明确的衡量标准， C.2 D.3 【提醒】注意集合中元素的互异性、无 探究点三集合中元素的特征及应用 序性 【典例3】已知集合A中含有两个元素 a和a2,若1∈A,则实数a的值为 [对点训练] 【解析】若1∈A,则a=1或a2=1, 下列各组对象不能构成集合的是( 即a=士1. A.参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 当a=1时，集合A中有重复元素， B.小于5的正整数 所以a≠1； C.2026年高考数学难题 当a=-1时，集合A含有两个元素1，一1， D.所有无理数 符合元素的互异性，所以a=一1. 探究点二元素与集合的关系 【答案】-1 【典例2】用符号“∈”或“庄”填空， 【方法总结】 若A表示第一、三象限的角平分线上的 由集合中元素的特性求解参数取值（范围）的步骤 点的集合，则点(0,0) A,(1,1) A, 根据集合中元素的确定性，解出参数 (-1,1) A. 的所有取值 【解析】第一、三象限的角平分线上的 检验 根据集合中元素的互异性，对解出的 点的集合可以用直线y=x表示，显然(0,0)， 值进行检验 (1,1)都在直线y=x上，(-1,1)不在直线上. 作答 写出所有符合题意的参数的取值（范围） 所以(0,0)∈A,(1,1)∈A,(-1,1)在A 【答案】∈∈ [对点训练] 【方法总结】 已知集合A为a一1,6，a2+3a三个元素 判断元素与集合关系的两个步骤 组成的集合，一2∈A,则a的值为() (1)确定集合中元素的特征及范围， A.-2 B.-1 (2)判断给定元素是否具有已知集合中 C.-2或-1 D.1或-2 元素的特征及是否在限定的范围内. [归纳小结] [对点训练] 1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键 (1)下列关系中，正确的有 是看研究对象是否确定.若研究对象不确 定，则不能构成集合 ①2∈R:②2gQ:③1-3∈N, 2.集合中的元素是确定的，某一元素a要么 ④-√3|∈Q. 满足a∈A,要么满足a庄A,两者必居其 A.1个 B.2个 一.这也是判断一组对象能否构成集合的 C.3个 D.4个 依据. (2)满足“a∈A且4-a∈A,a∈N且4- 3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、 a∈N”,有且只有2个元素的集合A的个 无序性.求集合中参数的取值时，一定要检 数是 ( 验是否满足集合中元素的互异性. 14 第二篇高中知识预习 学习效果检测G@可 ◆◆ A基础巩固练 8.设集合A中的元素有2,3，a2+2a一3，集 1.考察下列各组对象，哪几组能构成集合？ 合B中的元素有|a+3|,2.已知5∈A, ( 5B,则a的值为 (1)比较小的数(2)不大于10的偶数 B能力提升练 (3)所有三角形(4)高个子男生 9.(多选题)集合A中的元素y满足y∈N,且 A.(1)(4) B.(2)(3) y=一x2+1,若t∈A,则t的值为() C.(2) D.(3) A.0 B.1 2.给出下列6个关系：①22∈R;②3∈Q; C.2 D.小于等于1 ③0tN;④4∈N;⑤π∈Q;⑥|-2|Z.其 10.已知，，z为非零实数，代数式贡十 中正确命题的个数为 () A.4 B.3 六++的值所组成的集合是 xyz C.2 D.1 M,则下列判断正确的是 () 3.方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的 A.0M B.2∈M 所有实数解组成的集合为M,则M中的元素 C.-4氏M D.4∈M 个数为 ( 11.已知集合A是由偶数组成的，集合B是 A.4 B.3 由奇数组成的，若a∈A,b∈B,则a十b C.2 D.1 A,ab A.(填“∈”或“”) 4.已知集合A中只有一个元素1，若b|∈ 12.设x∈R,集合A中含有三个元素3，x, A,则b= x2-2x. A.1 B.-1 (1)求元素x应满足的条件； C.±1 D.0 (2)若-2∈A,求实数x. 5.a,b,c,d为集合A的四个元素，那么以a, b,c,d为边长构成的四边形可能是( A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 6.(多选题)下面几个命题，其中正确的命 题是 () A.集合N中最小的数是1 B.若-aN,则a∈N C.若a∈N,b∈N,且a≠b,则a十b的最小 值是1 D.若a庄R,则aQ 7.已知集合A中的元素x满足2x十a>0,且 1庄A,则实数a的取值范围是 15初高中衔接 专题8二次函数与一元二次方程、不等式 [初中知识回眸]—一反馈训练 1.BA.原式先考虑m十1与n大小，再考虑提取的公因式， 不符合题意；B.原式=(1十2)2，符合题意；C.原式不能分 解，不符合题意；D.原式=a(2a一3b+1),不符合题意. 2.A 3.解析：由题意得-p=1一2，q=1×(-2),∴.p=1, q=-2,.p2-4q=1-4×(-2)=1+8=9. 答案：9 专题9函数的概念 [初中知识回眸]一反馈训练 1.B根据平面直角坐标系中的点关于y轴对称的性质可 知，两个点关于y轴对称，其横坐标互为相反数，纵坐标相 同，故点P(-3,5)关于y轴的对称点的坐标为(3,5). 2.A3.D 专题10函数的表示 [初中知识回眸]—反馈训练 1.解：(1)由y=一3x十3，令y=0,得-3x十3=0， .x=1,D(1,0); (2)设直线l2的解析表达式为y=kx十b, 由图象知，x=4y=0x=3,y=-名， 代入表达式y=kx十b, 14k十b=0, ,k=2’ 3 2+6=多六合276， 直线2的解折表达式为y是一6： |y=-3x十3， (3)由 3 y3二6.解得二’。∴.C(2,一3) y=一3， :AD=3,SAe=2X3X1-3到=号 (4)△ADP与△ADC底边都是AD,面积相等所以高相 等，△ADC的高就是点C到直线AD的距离，即C纵坐 标的绝对值=|一3=3，则P到AD距离=3， ,.P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C, 点P纵坐标是3，y=号：-6y=3, 号x-6=3,x=6P(6,3). 2.解：(1).点N(-1,-4)在反比例函数 y=(k≠0)的图象上， .k=(-1)X(-4)=4, 一反比例函数的关系式为y=4, “点M(2,m)在反比例函数y=4的图象上， ÷m=号-2点M2,2. 将M(2,2),N(-1,-4)代入y=ax+b中， 得242a++6.解得6=22. .一次函数的关系式为y=2x一2. (2)根据函数图象的上下位置关系可得 当x<一1或0<x<2时，反比例函数值大于一次函 数值. 专题11单调性与最大（小）值 [初中知识回眸]一反馈训练 1.B由二次函数的图象可知， .-5x0, 直通车·数学 .当x=一2时函数有最大值，y最大=6； 当x=一5时函数值最小，y最小=一3. 2.A当a>0时，二次函数y=a(x十1)2-b≥-b,所以 -b=1,b=一1；当a<0,二次函数y开口向下，无最小 值.综上所述a>0>b=-1.故本题正确答案为A. 3.解：(1)在正比例函数y=x中，当y=2时，可知x=2,因 此点P的坐标为(2,2)，代入反比例函数的解析式中，可 得，=2，解得=5。 (2)因为y随x的增大而减小，所以k一1>0，解得 k>1. (3)因为图象的一支处于第二象限，所以k一1<0，在每一 支上，y随着x的增大而增大，因为y>y2,所以x1>x2 专题12奇偶性 [初中知识回眸]一反馈训练 1.A2.C3.C 专题13函数的应用 [初中知识回眸]—一反馈训练 1.D把y=x向上平移三个单位长度为y=x十3， 当x=2时，y=2十3=5，.(2,5)在直线上. 综上所述，本题正确答案为D. 2.C直线y=一x十2向上平移a个单位后得y=一x十2十a, 联立两直线解析式得y二。x十2+a, (y=2x+3, /z=a-1 7年2。即交点坐标为(e写，20士） 解得7十2a, y 3 “交点在第二象限， 32a+1>≥0，将2<a<1 综上所述，本题正确答案为C」 3.A抛物线y=2(x一1)2十1的顶点坐标为(1,1)，把点 (1,1)先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位 长度所得对应点的坐标为（4,3)，所以所得到的抛物线 的解析式为y=2(x-4)2+3.故选A. 第二篇高中知识预习 第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 第1课时集合的概念 [基础知识整合] 1.(1)研究对象小写的拉丁字母a,b,c,…(2)总体 集大写的拉丁字母A,B,C,·(3)一样 2.(1)确定确定(2)互不相同不重复出现 (3)没有 3.(1)属于a∈A(2)不属于aA 4.整数集实数集NN或N+Q [新知自主探究] 典例1对点训练 C对于A,参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可 知，可以构成集合；对于B,小于5的正整数明确可知， 可以构成集合；对于C,2026年高考数学难题模棱两可， 给定一个2026年高考数学题不能判断其是否为难题， 不能构成集合；对于D,无理数明确可知，可以构成集 合.故选C 典例2对点训练 解析：(1)2是实数，巨是无理数，一3=3是非负整 数，|一√3|=√3是无理数.因此，①②③正确，④错误 参考 (2)因为a∈A且4一a∈A, a∈N且4一a∈N,若a=0,则4一a=4, 此时A满足要求；若a=1,则4一a=3, 此时A满足要求；若a=2,则4一a=2, 此时A含1个元素不满足要求， 故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C. 答案：(1)C(2)C 典例3对点训练 A因为一2∈A,所以一2=a一1或-2=a2十3a,解得 a=一2或-1. 当a=-1时，a一1=-2，a2+3a=-2,此时不符合集 合中元素的互异性，故a=一1舍去. 当a=一2时，a一1=一3，a2十3a=一2，此时A含有 一3，-2,6三个元素，满足条件. 所以a=一2. [学习效果检测] 1.B在(1)中，比较小的数，没有确定性，故(1)不能构成 集合； 在(2)中，不大于10的偶数，具有确定性，故(2)能构成 集合； 在(3)中，所有三角形，具有确定性，故(3)能构成集合； 在(4)中，高个子男生，没有确定性，故(4)不能构成 集合， 2.CR,Q,N,Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整 数集，所以①④正确，因为0是自然数，√3，π都是无理 数，所以②③⑤⑥不正确. 3.B这两个方程的实数解分别是2,3和2，一1，根据集 合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成 含有3个元素的集合. 4.C由题意可知b=1,所以b=士1. 5.D由于集合中的元素具有“互异性”，故a,b,c,d四个元 素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等. 6.CD集合N是自然数集，其中最小的数是0，A错误； 一√2庄N且√2在N,故B错误；a∈N,b∈N且a≠b,所以 a十b的最小值是1，C正确；不是实数，一定不是有理 数，故D正确. 7.解析：，1任A,.2十a0,即a一2. 答案：a≤一2 8.解析：因为5∈A,5B, 所以后85饼得。-一4 答案：一4 9.AB因为y=一x2+1≤1，且y∈N,所以y的值为0， 1,所以A={0,1},又t∈A,所以t=0或t=1. 10.D①当x,:均为正数时，代数式十六十备十 的值为4：@当x之为两正一负时，代数式司 xyz 十十音十的值为0，@当为一正两负 时，代数式后十岗十奇十的值为0：⑩当， xyz 均为负数时，代数式行十片十后+的值 xyz 为一4，所以集合M为{4,0，一4}，故选D. 11.t∈ 12.解：（1)由集合元素的互异性可得x≠3，且x2一2x≠ x,x2-2x≠3，解得x≠-1，x≠0，且x≠3. (2)若-2∈A,则x=一2或x2-2x=一2.由于方程 x2一2x十2=0无解，所以x=一2.经检验，x=一2符 合互异性.故x=一2. 10 答案 第2课时集合的表示 [基础知识整合] 1.一一列举2.(1)共同特征P(x){x∈AP(x)} (2)一般符号取值（或变化）范围共同特征 [新知自主探究] 典例1对点训练 解：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于 或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2， 4,6,8,10}. (2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组 成的集合为{0,2}. (3)将x=0代入y=2x十1，得y=1,即交点是(0,1)，故 交点组成的集合是{(0,1)》. (4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…. 典例2对点训练 解：(1)偶数可表示为2，n∈N,因为大于4，故n≥3，所 以可表示为{xx=2n,n∈N且n≥3}. (2)直线y=2x十3上的，点用坐标表示为(x,y),故直线 y=2x十3上的，点的集合可表示为{(x,y)|y=2x十3). 典例3对点训练 解：当a=0时，A={台}，当a≠0时，关于x的方程 ax2一3x一4=0应有两个相等的实数根或无实数根，所 以△=9+16a≤0，即a≤-16 9 故所求的a的取值范国是a≤-品或a=0 [学习效果检测] 1.A{x∈N|x≤4}={0,1,2,3,4}.故选A. 2.D解方程x2-3x十2=0可得x=1或2，所以集合{x|x2 一3x十2=0}用列举法可表示为{1,2}. 3.C由题意，B={2,3,4,5,6,8},共有6个元素. 4.C根据集合中元素的互异性，A={C,h,i,n,e,s. 即A中的元素个数为6，故选C. 5.BDA中{（一5,3）}表示，点集，{一5,3}表示数集，不相 等；由集合中元素的无序性，B中两集合相等；因为π≠ 3.1415,故C中两集合不相等；D中两集合均为{1,2}. 6.C若x∈B,则-x∈A,所以x的可能取值为2,0，一1， 一3，当2∈B时，则1一2=一1￠A, 所以2∈B;当0∈B时，则1一0∈A,所以0B; 当-1∈B时，则1一(-1)=2A,所以一1∈B; 当-3∈B时，则1一(-3)=4年A,所以-3∈B. 综上，B={一3，一1,2}，所以集合B含有的元素个数 为3. 7.解析：把x=1代入方程x2十2x十a=0可得a=-3,解 方程x2十2x一3=0可得A={一3,1》. 答案：-3{-3,1} 8.解析：（一1）2=12=1，（一2）2=22=4,02=0，所以B= {0,1,4}. 答案：{0,1,4》 9.B当0K≤号时，0<3x≤1，则Bz1, 当号<≤号时，1<3≤2，则3xF2, 当号<<1时，2<3x<3,则3x1=3, 综上所述，A={1,2,3}.故选B. 10.B 11.0 12,解，1当x=1时2年=2N, 当=2时，22号EN,所以1eB,2EB (2)令x=0,1,4代入，6∈N检验，可得B={0,1,4. 2十x 5