第24讲 立体几何必刷6大题型32题（优质好题速递）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第24讲 立体几何必刷6大题型32题 【题型01 空间中的距离问题】 1．（25-26高二下·上海宝山·期中）如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 2．（25-26高二下·天津河东·期末）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 3．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平行四边形中，，将沿对角线BD翻折至面，且，E为线段上的点．    (1)证明：面； (2)若锐二面角的正切值为，求点E到直线的距离． 5．（25-26高二上·北京·期中）如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，点是直线上的动点．    (1)设为的中点，求证：； (2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值； (3)设点是直线上的动点，求线段的长度的最小值． 【题型02 求线面角】 1．（25-26高二下·海南·期末）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 2．（25-26高二下·广西河池·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，与交于点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的余弦值． 3．（25-26高二下·甘肃定西·期末）如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为． (1)若是的中点，证明：平面． (2)若，，求直线与平面所成角的大小． 4．（25-26高二上·浙江·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)若，求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面夹角正弦值的最小值． 【题型03 求二面角】 1．（25-26高二下·云南红河·期中）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 2．（25-26高二下·四川成都·期中）如图，在三棱锥中，，，O为的中点，平面，. (1)求证：； (2)若M为棱的中点，求二面角的余弦值. 3．如图，四棱锥中，底面是梯形，，. (1)证明:平面平面； (2)若 ,求平面与平面所成二面角的正弦值. 4．（25-26高二下·福建宁德·期末）如图1，在等腰梯形中，，，，，将沿翻折，得到如图2所示的四棱锥，记二面角的平面角为． (1)当时，求证：平面； (2)当时，求平面与平面所成角的余弦值． 5．如图所示，在三棱锥中，平面，是的中点，直线与平面所成角的正切值为2，且.    (1)求直线与平面所成的角； (2)求二面角的正弦值. 6．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，． (1)已知，为线段上的点，且，求证：平面； (2)证明：平面； (3)若是线段上一个动点，求平面与平面的夹角余弦值的最大值． 【题型04 已知线面角、二面角求其他量】 1．（25-26高二下·广东·期末）如图，已知圆台，其中均为母线，四边形为圆台的轴截面，且． (1)求证：； (2)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 2．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在三棱锥中，，，O为的中点. (1)证明：平面； (2)若点M在棱上，，，且二面角的大小为，求的值. 3．（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 4．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面.，，是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：直线平面； (3)点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值. 5．（25-26高二下·浙江杭州·期中）如图，为正三角形，四边形为等腰梯形，，，现将沿翻折到，使，如图所示.    (1)证明：平面平面； (2)设为侧棱上一个动点，若二面角的余弦值为，求的长. 【题型05 立体几何中的探索性问题】 1．（25-26高二上·广东中山·期末）如图，正方体中，点在棱上. (1)求证：； (2)设在上，且，是否在上存在点，使平面平面，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，M是棱的中点．    (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)E为棱的中点，在棱上是否存在点F，使得∥平面？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由． 3．（25-26高二上·广西玉林·期末）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，求证：平面； (2)是否存在点，使得，且二面角的余弦值为；若存在，求出长；若不存在，说明理由. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【题型06 折叠问题】 1．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.      (1)求证：平面； (2)若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值. 2．（25-26高二上·山西·阶段检测）如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离. 3．（24-25高二下·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（24-25高二下·浙江温州·期中）如图，在矩形中，为AD的中点，，将沿BE翻折至的位置，点在上，且 (1)求证：平面； (2)若平面平面，求二面角的余弦值. 5．（25-26高二上·四川眉山·期末）如图1，在平面四边形中，，，，，过点D作，垂足为.如图2，将三角形沿折起，使得点到达点处，且.    (1)证明：； (2)若点F为线段上的点（不含端点），是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 6．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．    (1)求证：； (2)若点是线段上的一动点，当在何位置时，二面角的余弦值为． 7．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得．    (1)求证：平面； (2)设，若二面角的正弦值为，求实数的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲 立体几何必刷6大题型32题 【题型01 空间中的距离问题】 1．（25-26高二下·上海宝山·期中）如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，确定为直线与平面所成的角，即可求解； （2）建系，由点到面的距离公式即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为正四棱锥， 所以平面． 故为直线与平面所成的角． 在正方形中，，则对角线． ．在Rt中，． 即直线与平面所成角的正弦值为 （2） 以为原点，方向分别为轴． 由（1）知． 则． 为中点，故． 向量． 设平面的法向量为． 令，得．故． 点到平面的距离： 2．（25-26高二下·天津河东·期末）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)见解析 (3). 【分析】（1）利用长方体的结构特征求出其外接球直径，进而求出球的表面积. （2）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （3）求面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）在长方体中，， 则该长方体外接球直径， 所以该长方体外接球的表面积. （2）在长方体中，以为原点，建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 于是，而点直线， 则，又平面，平面， 所以平面. （3）由平面，得点到平面的距离即为直线到平面的距离． ，设平面的法向量为， 则，取，得， 因此点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 3．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平行四边形中，，将沿对角线BD翻折至面，且，E为线段上的点．    (1)证明：面； (2)若锐二面角的正切值为，求点E到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）在平行四边形中，，， 则， 因为，所以，即， 又因为，，所以面， 由于面，所以，     又因为，，所以面. （2）在平面内，过作的垂线，建立如图所示空间直角坐标系，    平行四边形中，由，，，有， 则． 点在线段上，设，， 则， 设面的法向量为，则 ，令，则， 易知面的法向量为， 设锐二面角的平面角为，由，得． 所以， 得或（舍）． 所以，设到直线的距离为， 则． 故点到直线的距离为. 5．（25-26高二上·北京·期中）如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，点是直线上的动点．    (1)设为的中点，求证：； (2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值； (3)设点是直线上的动点，求线段的长度的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）由平面平面，，得到平面，从而，再由三角形是等边三角形，且为的中点，得到，从而得到平面而得证； （2）取线段AB的中点O，BC的中点F，连接OD,OF，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量为，再由求解； （3）设 ，由直线是异面直线和的公垂线时，线段最短求解. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面，， 所以平面，又平面， 所以， 又因为三角形是等边三角形，且为的中点， 所以，又， 所以平面，又平面， 所以， （2）取线段AB的中点O，BC的中点F，连接OD,OF， 则，， 由（1）知平面，则平面，所以， 建立如图所示空间直角坐标系：    设，则， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，， 所以， 因为直线和平面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得或，所以或； （3）设，由（2）知：， 当直线是异面直线和的公垂线时，线段最短， 则 ，即 ，解得 ， 则 ，此时 ， 所以线段的长度的最小值为. 【题型02 求线面角】 1．（25-26高二下·海南·期末）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. （2）方法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 方法二：根据平面平面得到直线在平面内的射影即直线，进而即为所求角，结合正弦定理求解即可. 【详解】（1）因为侧面是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）方法一：如图，以C为坐标原点，CA，，CB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设直线与平面所成的角为θ， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 2．（25-26高二下·广西河池·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，与交于点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）因为底面是菱形，，， 所以为等边三角形，，，， 又，为中点，故， ， 已知，则， 则，故，即， 因为，，平面， 所以平面． （2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系． 如图所示，则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 设直线与平面的夹角为， 则， 所以，， 直线与平面的夹角的余弦值为． 3．（25-26高二下·甘肃定西·期末）如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为． (1)若是的中点，证明：平面． (2)若，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）借助三棱柱侧面平行四边形对角线中点性质，结合三角形中位线得到线线平行，再用线面平行判定定理完成证明； （2）由侧棱垂直底面确定二面角平面角，建立空间直角坐标系求出所有点坐标，利用线段比例算出坐标，求出平面法向量后，套用线面角向量公式计算出角度． 【详解】（1） 连接交于， 在三棱柱中，侧面是平行四边形， 所以是的中点， 又因为是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 因为平面，平面，平面， 所以，， 所以二面角的平面角， ，，， 在平面内作， 因为平面，平面， 所以，即两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，即，，， 设， ， 由，得， 所以，解得，即， ，，， 设平面的法向量， 所以，即， 令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的大小为． 4．（25-26高二上·浙江·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)若，求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面夹角正弦值的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接、，证明四边形是平行四边形，从而证明线面平行. （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，代入空间向量线面角公式，最后通过二次函数的最值来求角度的最小值. 【详解】（1）如图，取中点，连接、． 时，是中点， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，∴，     ∵平面，平面， ∴平面．     （2）如图，以B为原点建立空间直角坐标系， 由已知得，，，，． 取中点，连接． 已知，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，    ∴，， 则，，， 设平面的一个法向量， 则，解得， 不妨取，则，     ∴，     ∴时，，即直线与平面夹角正弦值的最小值为．     【题型03 求二面角】 1．（25-26高二下·云南红河·期中）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由平面与平面垂直的性质定理得到平面，从而，再由，利用线面垂直的判定定理证明； （2）取的中点，连接，易证平面，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，易知平面的法向量为，由求解. 【详解】（1）平面平面，且平面平面，，平面， 平面，又平面， ∴，又且，平面， 平面. （2）取的中点，连接， ，， 又平面，平面平面，平面平面， 平面，平面， ，又，， 如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 易知平面的法向量为，. 而二面角的平面角为锐角，故二面角的大小为. 2．（25-26高二下·四川成都·期中）如图，在三棱锥中，，，O为的中点，平面，. (1)求证：； (2)若M为棱的中点，求二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，进而结合题意，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）结合（1）的坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值即可. 【详解】（1）连接，∵在中，且为的中点， ∴， 又∵平面， 故以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又，， 故，，，，， ∵，， ∴，即， ∴； （2）平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ∵，∴，， ∴，即，令，则，， ∴， ∴， 又∵二面角为锐二面角， ∴二面角的余弦值为. 3．如图，四棱锥中，底面是梯形，，. (1)证明:平面平面； (2)若 ,求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由条件先证明，得平面，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）根据条件建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）证明：因底面是梯形，，，则， 又，平面，则平面， 又平面，故平面平面. （2）取的中点为，连接，因，则， 由（1）得平面，平面，则， 又平面，则平面. 过点作的平行线，交于点，则，即两两垂直， 故可以分别为轴建立空间直角坐标系. 因，由，可得， 则，. 设平面的法向量为， 因， 则，故可取， 因平面，故平面的法向量可取为， 则， 设平面与平面所成二面角的平面角为，则， 即平面与平面所成二面角的正弦值为. 4．（25-26高二下·福建宁德·期末）如图1，在等腰梯形中，，，，，将沿翻折，得到如图2所示的四棱锥，记二面角的平面角为． (1)当时，求证：平面； (2)当时，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先由平面平面推出平面，再利用线面垂直性质得到，然后由勾股定理推出，进而证明线面垂直； （2）先确定为二面角的平面角，过作于点，证得平面，以为原点，的平行线为轴，建立空间直角坐标系.分别求出平面、平面的法向量，应用向量法求得即得平面与平面所成角的余弦值． 【详解】（1）当时， 平面平面，平面平面，             ，由折叠可知，， ∵平面，∴平面，         ∵平面，则， 又在三角形中， 易知，，， 则，所以，             又∵，平面，平面， 所以平面．         方法二： 由折叠可知，，， 所以即为二面角的平面角， 当时，，             如图，建立空间直角坐标系 ，，，， 则，，，         ，， 所以，，         又∵，平面，平面， 所以平面． （2）由折叠可知，，， 所以即为二面角的平面角， 则，                 又，所以平面， ∵平面，∴平面平面，且交线为，             过作于点，则平面，             如图，以为原点，的平行线为轴，建立空间直角坐标系 在中，，，所以，，，，         则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， ∴.                 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， ∴.                 ， 则平面与平面所成角的余弦值为． 5．如图所示，在三棱锥中，平面，是的中点，直线与平面所成角的正切值为2，且.    (1)求直线与平面所成的角； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线面角的定义结合勾股定理得出，进而由线面垂直的判定证明平面，建立坐标系，利用向量法得出直线与平面所成的角； （2）求出平面、平面的法向量，由向量法求解. 【详解】（1）因为平面，所以直线与平面所成角为. 即，，又平面，所以. 即，解得. 因为，所以. 又平面，所以，平面. 所以平面. 以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，    ，. 设直线与平面所成的角为，. 则， 则，即直线与平面所成的角. （2）设平面的法向量为. . ，取，则. 设平面的法向量为 ，取，则. ， 所以二面角的正弦值为 6．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，． (1)已知，为线段上的点，且，求证：平面； (2)证明：平面； (3)若是线段上一个动点，求平面与平面的夹角余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行. （2）先利用勾股定理的逆定理判断线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明线面垂直. （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量表示平面与平面的夹角余弦值，再结合二次函数的性质求其最大值. 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接. 根据三棱柱的性质，四边形为平行四边形，所以为中点， 又，所以为中点. 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为，，，所以. 因为为等边三角形，四边形为菱形， 所以在中，，，， 因为，所以为直角三角形，且. 且平面，，所以平面. （3）以为原点，所在射线为轴，所在射线为轴，过与平面垂直的射线为轴，建立如图空间直角坐标系. 因为平面，所以轴在平面内. 则，，，. 因为，所以. 所以，， 设，则（）. 设平面的法向量为， 则， 令，则，，此时. 又平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以当即时，取得最大值，为. 【题型04 已知线面角、二面角求其他量】 1．（25-26高二下·广东·期末）如图，已知圆台，其中均为母线，四边形为圆台的轴截面，且． (1)求证：； (2)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 【答案】(1)见解析 (2)2. 【分析】（1）可以通过构造直角梯形证明 平面 ，从而 ；也可建立坐标系直接验证 ； （2）建立坐标系，分别求出平面 与 的法向量，利用二面角余弦的绝对值等于法向量夹角余弦的绝对值，解方程求高． 【详解】（1）连接，因为直线为圆台的轴，为圆台的母线， 则为直角梯形，其中， 又因为， 所以为等腰直角三角形，所以， 又因为四边形为圆台的轴截面，则，又， 所以， 法一：又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以； 法二：所以直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，， 所以， 则，所以， 所以； （2）由（1）得，，， 设平面与平面的法向量分别为， 则，即，取，得，， 故平面的一个法向量为， 又，即，取，得， 故平面的一个法向量为， 由二面角的余弦值为， 得，解得， 所以圆台的高的长为2. 2．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在三棱锥中，，，O为的中点. (1)证明：平面； (2)若点M在棱上，，，且二面角的大小为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题可得，利用勾股定理证明，根据线面垂直的判定定理证明； （2）以O为原点，所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用向量法列式求解. 【详解】（1）连接，，O为的中点， 且. ， ， ，且，又， ，， 又，平面， 平面. （2）如图，以O为原点，所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. ，点M在棱上， ，，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 易知平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ， 平方化简得， 解得或（舍去），故. 3．（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法即可证明； （3）取的中点G，连接，确定P点在上，设，根据直线与平面所成角的正弦值为，求出m的值，即可求得答案. 【详解】（1）取的中点F，连接， 因为E为的中点，故， 又为的中点，,得, 故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. （2）以点B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故，即， 故平面； （3）取的中点G，连接，则,且， 结合题意可知四边形为矩形，此时， 即得上任一点到的距离均为，故P点在上， 设，， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 直线与平面所成角的正弦值为， 则，解得，（舍去）， 故. 4．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面.，，是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：直线平面； (3)点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点为，连接，由正三角形性质得，结合面面垂直得出线面垂直，再根据线面垂直的判定定理可得平面； （2）取PA的中点为F，连接EF，BF，证得，进而根据线面平行的判定定理即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，空间向量表示直线与底面所成角，进而利用二面角的向量方法求解即可. 【详解】（1）侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面， 取的中点为，连接， 为等边三角形， ，平面， 所以底面， 底面， ，又因为，所以， 平面，所以平面； （2）取的中点，连接，，如图． 是的中点， ，． 由得，又， ，，四边形是平行四边形， ，又平面，不在平面内， 平面． （3）由已知得， 以为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 过做的平行线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，则，． 因为与底面所成的角为，是底面的法向量， ，即．① 又M在棱上，设， 则，，．② 由①②解得（舍去）或 所以，从而． 设是平面的法向量， 则，即， 取，则， 所以． 设二面角的平面角为 于是， 又因为的平面角为锐角，所以， 因此二面角的余弦值为． 5．（25-26高二下·浙江杭州·期中）如图，为正三角形，四边形为等腰梯形，，，现将沿翻折到，使，如图所示.    (1)证明：平面平面； (2)设为侧棱上一个动点，若二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意得出，然后根据勾股定理得出，从而得到线面垂直，进而得到面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，通过二面角的向量法得出与的关系，进而由即可求解. 【详解】（1）如图，分别取的中点，的中点，连接， 显然，所以，又因为，，由勾股定理得， 由条件得，所以，即， 又，平面，平面， 又平面，故平面平面.    （2）由（1）知，平面，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设， 则， 设平面的一条法向量为，由得， 令，则，即， 又平面的一条法向量为，设二面角的大小为，由为锐角，得， 化简得，解得或（舍） 则， 故. 【题型05 立体几何中的探索性问题】 1．（25-26高二上·广东中山·期末）如图，正方体中，点在棱上. (1)求证：； (2)设在上，且，是否在上存在点，使平面平面，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点为的中点. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量数量积即可得证； （2）求出两个平面的法向量，根据数量积为0计算是否有解即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方体的棱长为1，则，,， 设，则,， 所以，所以， 故. （2）设满足条件的点，设平面的一个法向量， 因为,， 则，即， 取，得， 由M在上，且，则， 设平面的一个法向量， ,， 则即， 取，得， 平面⊥平面，则，解得或（舍）， 所以当，即为的中点时，平面⊥平面. 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，M是棱的中点．    (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)E为棱的中点，在棱上是否存在点F，使得∥平面？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，当点F为棱的中点 【分析】（1）先证明平面，再证平面,平面，所以 （2）建立空间直角坐标系，即可求解. （3）利用线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）底面是边长为2的正方形， 底面，平面，,， 平面，平面，平面， 又，平面，平面，. ，M是棱的中点，所以，平面， 平面，，平面, 平面，所以 （2）如图：以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系, 则,， 设平面的法向量为 则即 ，取，则， ，所以， 直线与平面所成角的大小    （3）    存在，当点F为棱的中点时，∥平面，证明如下： 分别是的中点，. E为棱的中点，,， 四边形为平行四边形，，平面， 平面,∥平面. 3．（25-26高二上·广西玉林·期末）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，求证：平面； (2)是否存在点，使得，且二面角的余弦值为；若存在，求出长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)见解析 (2). 【分析】（1）根据给定条件证得，再利用线面平行的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面CPD的法向量，再利用面面角的向量法，列式求解. 【详解】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 而平面，因此，由，得， 又平面，则，又平面，平面， 所以平面. （2）假定存在点满足题意，令， 过作，则平面，而，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面CPD的法向量为，则，取，得， 由二面角的余弦值为，得，解得， 所以. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， （3）设出得点坐标，由空间向量列式求解. 【详解】（1）在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面， （2）由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； （3）设，则，,, 得，， 设平面的一个法向量为， 由于与平面所成角的正切值为， CQ与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的正切值为． 5．（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数基本关系求出余弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）连接，因为为线段的中点，所以， 由题意知面面，且面面， 又面，所以平面，取边的中点记为，则． 以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 易知，所以； （2）由（1）可知， 所以，，， 记平面的一个法向量， 所以 ，不妨取，得，即， 记直线与平面所成角为， 则， 考虑到，有，从而， 所以直线与平面所成角的余弦值为． （3）设，其中． ， ， ，记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得，即， 则点到平面的距离， 整理得：，即， 解得或（舍去）， 所以当点位于线段的靠近点的三等分点时， 点到平面的距离为． 【题型06 折叠问题】 1．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.      (1)求证：平面； (2)若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； (2)依托第一问垂直条件建立空间直角坐标系，确定点坐标，求出平面法向量，套用线面夹角向量公式运算求解. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，且，则， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为.    2．（25-26高二上·山西·阶段检测）如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，证明平面即得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，用点到平面距离的向量求法求解. 【详解】（1）取的中点，连结，，因为，所以. 在中，，所以，在中，， 在中， ，，，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）连接，，，，又为中点， 所以，且，由（1）可知平面， 又因为平面， 所以，，所以两两垂直， 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 取，得，则， 所以点到平面的距离. 3．（24-25高二下·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论. 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 4．（24-25高二下·浙江温州·期中）如图，在矩形中，为AD的中点，，将沿BE翻折至的位置，点在上，且 (1)求证：平面； (2)若平面平面，求二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接BD交CE于点，连接FG，先根据向量关系得出，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系分别求出平面和平面的一个法向量，再应用夹角余弦公式计算求解. 【详解】（1）连接BD交CE于点，连接FG， 因为 ，所以， 平面，平面， 平面； （2）平面平面，平面平面，取中点O， 则平面，所以平面， 因为，所以，， 过C作的平行线为z轴，以为轴，建立空间直角坐标系如图所示 则，， ，，所以， 设平面的法向量， 则，则 平面的一个法向量，由上可取平面的一个法向量为， 设二面角的平面角大小为， 则由图可得二面角的余弦值为. 5．（25-26高二上·四川眉山·期末）如图1，在平面四边形中，，，，，过点D作，垂足为.如图2，将三角形沿折起，使得点到达点处，且.    (1)证明：； (2)若点F为线段上的点（不含端点），是否存在点满足直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由线面垂直得到，连接，再由线面垂直的判定定理证明平面可得； （2）建立如图所示坐标系，求出平面的法向量，代入空间线面角公式计算即可； 【详解】（1）由题意得，又． 为平面内两条相交直线， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，，又有公共边， 所以与全等， 所以，， 如图，连接，则． 因为，，平面PCE， 所以平面． 因为平面，所以． （2）由（1）知平面，且平面BCDE， 所以，．又， 所以两两垂直． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图2的空间直角坐标系，如图1，过作，    由（1）知为等边三角形，所以， 因为，所以， 所以，即，则，，， 设，则，所以， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则即， 取，则，，所以． 设直线与平面所成的角为， 则， 化简可得， 解得或，又， 故不存在点F满足直线与平面所成角的正弦值为. 6．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．    (1)求证：； (2)若点是线段上的一动点，当在何位置时，二面角的余弦值为． 【答案】(1)见解析 (2)点满足 【分析】（1）证明出，利用面面垂直的性质可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）取线段的中点，连接，则平面，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求得值可得的位置． 【详解】（1）长方形中，，，为的中点，所以， 所以，则. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）取的中点，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则平面的一个法向量为， 则、、、， 设， ，. 设平面的一个法向量为，则， 取，得. 由，整理得， 解得或（舍去）， 故当点满足时，二面角的余弦值为. 7．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得．    (1)求证：平面； (2)设，若二面角的正弦值为，求实数的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）由三角形相似得⊥，故折叠后，⊥，⊥，从而证明出线面垂直； （2）求出，得到两平面的法向量，根据二面角的正弦值得到方程，求出答案. 【详解】（1）因为矩形中，，，点为的中点， 所以，故， 又，所以∽， 故，故， 故⊥，故折叠后，⊥，⊥， 又，平面，所以平面； （2）图1中，所以∽， 故，其中，， 所以，，故， 又，所以， 由勾股定理逆定理得⊥，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设，因为， 所以， 解得，则， 其中，，， ， 设平面的法向量为， 则， 设，则，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，，故， 设二面角的大小为，则， 所以， 即， 整理得，，解得或，均满足要求. 即实数的值为或. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $