第08讲 直线的倾斜角与斜率（思维导图+2知识点+6大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第08讲 直线的倾斜角与斜率 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 直线的倾斜角定义 题型02 直线斜率的定义 题型03 直线斜率与直线的方向向量 题型04 直线的斜率与倾斜角间的变化关系 题型05 直线与线段有交点问题 题型06 斜率公式的应用与几何意义(含三点共线) 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.直线的倾斜角 2.直线的斜率 1. 在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素,培养直观想象的核心素养. 2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线的斜率的计算公式,提升数学抽象和数学运算的核心素养. 学习重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念 学习难点：掌握两点的直线的斜率的计算公式 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 图示 即时即练 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线l的方程为:，则直线l的倾斜角为__________. 【方法总结】 求直线的倾斜角的关键及两点注意 (1)关键:依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正方向所成的角. (2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 知识点02 直线的斜率 一、直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 二、过两点的直线的斜率公式 1、斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 2、对斜率公式的理解 （1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况． （2）直线的斜率公式中的值与，两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． （3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，如果分子式，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． 3、直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 即时即练 1．（25-26高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 2．（25-26高二上·北京通州·阶段检测）已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是__________. 3．（多选题）如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 4．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 5．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 6．在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____. 【方法总结】 用数形结合法求斜率的取值范围 已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线l与线段AB在有交点的情况下斜率的取值范围.若直线PA,PB的斜率均存在,则步骤为:①连接PA,PB;②由k=求出kPA,kPB;③结合图形即可得出满足条件的直线l的斜率的取值范围. 题型01 直线的倾斜角定义 1．下列关于倾斜角的说法中正确的是（    ）． A．任意一条直线有唯一的倾斜角 B．一直线的倾斜角可以为 C．若直线的倾斜角为0，则该直线与轴重合 D．若直的倾斜角为，则 2．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）直线的倾斜角等于（   ） A．0 B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北武汉·期中）直线的倾斜角为（   ） A．0 B． C． D． 4．设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，有下列四个值：①；②；③；④．则直线的倾斜角为（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【技巧归纳】 求直线的倾斜角的关键及两点注意 (1)关键:依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正方向所成的角. (2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 题型02 直线斜率的定义 1．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川宜宾·期末）直线的斜率为（   ） A．不存在 B．0 C．3 D．1 3．（25-26高二上·贵州黔南·期末）若直线经过两点，则直线的斜率为（   ） A． B．7 C．1 D．-1 4．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知斜率为的直线经过点，，则（   ） A． B． C．1 D．0 5．（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏常州·期中）若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．不存在 题型03 直线斜率与直线的方向向量 1．（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 3．过点和的直线的方向向量为，则的值为（   ） A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 4．（25-26高二上·山东济宁·期中）若是直线的一个方向向量，则直线的斜率为___________． 5．（25-26高二上·福建莆田·期末）直线的一个方向向量为，倾斜角为，则_________. 题型04 直线的斜率与倾斜角间的变化关系 1．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 7．过点的直线倾斜角，那么的取值范围是______． 【技巧归纳】 倾斜角与斜率的关系 题型05 直线与线段有交点问题 1．已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广西南宁·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）设，且，点，过点的直线l与线段始终有交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 用数形结合法求斜率的取值范围 已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线l与线段AB在有交点的情况下斜率的取值范围.若直线PA,PB的斜率均存在,则步骤为:①连接PA,PB;②由k=求出kPA,kPB;③结合图形即可得出满足条件的直线l的斜率的取值范围. 题型06 斜率公式的应用与几何意义(含三点共线) 1．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【技巧归纳】 1、判断三点共线的方法 对于给定坐标的三点,要判断三点是否共线,先判断任意两点连线的斜率是否存在. (1)若斜率都不存在,则三点共线. (2)若斜率存在,则任意两点连线的斜率相等时,三点才共线. 注意:若三点共线,则任意两点连线的斜率可能相等,也可能都不存在.解决这类问题时,首先要对斜率是否存在作出判断,必要时分情况讨论,然后下结论. 2、斜率的几何意义的应用 斜率的公式有明显的代数和几何特征,所以可以用于某些分式求范围或函数求值域、最值等问题中. 1．（25-26高二上·广西来宾·期中）若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东梅州·期末）下列直线中，倾斜角为的是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示的直线的斜率等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东广州·期末）经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 5．（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 6．若图中直线，，的斜率分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 7．设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（   ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 8．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·四川南充·阶段检测）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.725，则（    ）    A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 12．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13．已知点，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）经过，两点的直线的方向向量为，则m的值为______. 15．（25-26高二上·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 16．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 17．已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是_____________． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 直线的倾斜角与斜率 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 直线的倾斜角定义 题型02 直线斜率的定义 题型03 直线斜率与直线的方向向量 题型04 直线的斜率与倾斜角间的变化关系 题型05 直线与线段有交点问题 题型06 斜率公式的应用与几何意义(含三点共线) 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.直线的倾斜角 2.直线的斜率 1. 在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素,培养直观想象的核心素养. 2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线的斜率的计算公式,提升数学抽象和数学运算的核心素养. 学习重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念 学习难点：掌握两点的直线的斜率的计算公式 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 图示 即时即练 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线l的方程为:，则直线l的倾斜角为__________. 【答案】 【分析】利用直线方程的特征求出其倾斜角. 【详解】直线垂直于轴，所以直线l的倾斜角为. 故答案为： 【方法总结】 求直线的倾斜角的关键及两点注意 (1)关键:依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正方向所成的角. (2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 知识点02 直线的斜率 一、直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 二、过两点的直线的斜率公式 1、斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 2、对斜率公式的理解 （1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况． （2）直线的斜率公式中的值与，两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． （3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，如果分子式，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． 3、直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 即时即练 1．（25-26高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 【答案】 【详解】设此直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 2．（25-26高二上·北京通州·阶段检测）已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是__________. 【答案】/ 【分析】求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量是， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又，所以， 故答案为：. 3．（多选题）如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求解作答. 【详解】依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等， 于是，整理得，所以或. 故选：AC 4．如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 5．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】由图可知，，则. 故选：AD. 6．在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 【方法总结】 用数形结合法求斜率的取值范围 已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线l与线段AB在有交点的情况下斜率的取值范围.若直线PA,PB的斜率均存在,则步骤为:①连接PA,PB;②由k=求出kPA,kPB;③结合图形即可得出满足条件的直线l的斜率的取值范围. 题型01 直线的倾斜角定义 1．下列关于倾斜角的说法中正确的是（    ）． A．任意一条直线有唯一的倾斜角 B．一直线的倾斜角可以为 C．若直线的倾斜角为0，则该直线与轴重合 D．若直的倾斜角为，则 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角的定义，对四个选项逐一分析，即可得出答案. 【详解】任意一条直线都有唯一的倾斜角，选项A正确； 直线倾斜角的取值范围是，所以直线的倾斜角不可以为，故选项B错误； 若直线的倾斜角为0，则该直线与轴重合或平行，故选项C错误； 因为直线的倾斜角的取值范围是，所以，故选项D错误. 故选：A． 2．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）直线的倾斜角等于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由倾斜角的定义可求结论. 【详解】因为直线垂直于轴，所以直线的倾斜角为. 故选：C. 3．（24-25高二上·湖北武汉·期中）直线的倾斜角为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】由题及倾斜角定义可得答案. 【详解】斜率为0，则倾斜角为0. 故选：A 4．设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，有下列四个值：①；②；③；④．则直线的倾斜角为（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】分和讨论即可. 【详解】直线l绕点A顺时针旋转后得直线，当时，直线的倾斜角为； 当时，直线的倾斜角为． 综上，直线的倾斜角为或. 故选：B 【技巧归纳】 求直线的倾斜角的关键及两点注意 (1)关键:依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正方向所成的角. (2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 题型02 直线斜率的定义 1．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，故. 2．（25-26高二上·四川宜宾·期末）直线的斜率为（   ） A．不存在 B．0 C．3 D．1 【答案】B 【详解】的倾斜角为，斜率,故 3．（25-26高二上·贵州黔南·期末）若直线经过两点，则直线的斜率为（   ） A． B．7 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】由斜率的坐标公式直接求解可得. 【详解】由斜率公式可得斜率． 故选：A． 4．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知斜率为的直线经过点，，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】应用斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题设，可得. 故选：B 5．（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线经过两点，得直线的斜率， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角为， 所以的斜率为. 7．（25-26高二上·江苏常州·期中）若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．不存在 【答案】A 【分析】由两点的斜率公式与直线倾斜角与斜率的关系式即可列出方程，解出答案. 【详解】由题意知， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 题型03 直线斜率与直线的方向向量 1．（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系计算即可； 【详解】由题知直线的斜率为， 因为，所以倾斜角， 故选：D． 2．已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解. 【详解】直线的斜率为，又因为直线的一个方向向量为，所以该直线的斜率也为，故. 故选：C. 3．过点和的直线的方向向量为，则的值为（   ） A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量求得斜率，结合斜率公式列出方程，即可求解. 【详解】由题意，直线的方向向量为，可得直线的斜率为1， 又直线过点和，可得，解得. 故选：A. 4．（25-26高二上·山东济宁·期中）若是直线的一个方向向量，则直线的斜率为___________． 【答案】 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率. 【详解】由直线的方向向量为，则其斜率. 故答案为： 5．（25-26高二上·福建莆田·期末）直线的一个方向向量为，倾斜角为，则_________. 【答案】 【分析】利用直线的方向向量求出直线的斜率，从而得到，利用二倍角公式求出. 【详解】直线的一个方向向量为，， 倾斜角为，，. 故答案为：. 题型04 直线的斜率与倾斜角间的变化关系 1．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得出答案. 【详解】由，，则. 故选：A 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对直线的斜率的取值范围进行分类讨论，利用倾斜角与斜率的关系可得出的倾斜角取值范围. 【详解】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 故选：C. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 5．（多选题）（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 6．（多选题）（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 【答案】BD 【分析】利用正切函数的单调性来判断即可． 【详解】由斜率与倾斜角的关系知， 因为正切函数在区间上单调递增，但它不是定义域内的增函数， 故A错误，B正确，C错误，D正确； 故选：BD 7．过点的直线倾斜角，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线斜率的取值范围，在利用表示斜率，解不等式即可. 【详解】因为直线倾斜角的取值范围为， 所以直线斜率的取值范围为：或. 又，由；由. 所以. 故答案为： 【技巧归纳】 倾斜角与斜率的关系 题型05 直线与线段有交点问题 1．已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算过点与线段的两端点，的直线的斜率，再根据直线与线段无交点的条件，结合图象确定斜率的取值范围. 【详解】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 2．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】求出直线的倾斜角，直线的倾斜角，结合图形可得结果． 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，从而， 设直线的倾斜角为，， 则，从而， 要使直线与线段有公共点， 结合图形可知，直线倾斜角的范围是：， 故选：A. 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 4．（25-26高二上·广西南宁·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得PA、PB的斜率，设直线的斜率为，分析可得，根据倾斜角与斜率的关系，分析即可得答案. 【详解】由题意得， 与线段相交，由题意设直线的斜率为， ，，   或， 由于在及上均单调递增， ∴直线的倾斜角的范围为. 故选：D 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）设，且，点，过点的直线l与线段始终有交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用斜率公式，分别求得，结合题意，得到且，进而求得直线l的倾斜角的取值范围，得到答案. 【详解】由点过点的直线l与线段始终有交点， 如图所示，可得， 设直线l的倾斜角为，可得且， 又因为，且，所以或， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 【技巧归纳】 用数形结合法求斜率的取值范围 已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线l与线段AB在有交点的情况下斜率的取值范围.若直线PA,PB的斜率均存在,则步骤为:①连接PA,PB;②由k=求出kPA,kPB;③结合图形即可得出满足条件的直线l的斜率的取值范围. 题型06 斜率公式的应用与几何意义(含三点共线) 1．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【详解】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 2．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出三点共线时的所有值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件． 故选：C. 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 4．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将求“的取值范围”转化为求点与点连线的斜率问题，并结合图象分析，可得结果. 【详解】由题可知，. 令，且. 则可以看作是线段上（含端点）的点与点连线的斜率. 如图，记，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的倾斜角的范围是. 所以，或. 所以的取值范围是. 故选：A. 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【分析】先画出指数函数图象再结合斜率公式数形结合得出范围. 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 【技巧归纳】 1、判断三点共线的方法 对于给定坐标的三点,要判断三点是否共线,先判断任意两点连线的斜率是否存在. (1)若斜率都不存在,则三点共线. (2)若斜率存在,则任意两点连线的斜率相等时,三点才共线. 注意:若三点共线,则任意两点连线的斜率可能相等,也可能都不存在.解决这类问题时,首先要对斜率是否存在作出判断,必要时分情况讨论,然后下结论. 2、斜率的几何意义的应用 斜率的公式有明显的代数和几何特征,所以可以用于某些分式求范围或函数求值域、最值等问题中. 1．（25-26高二上·广西来宾·期中）若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由倾斜角和斜率的关系即可求解. 【详解】因为，所以直线的斜率为. 故选：C 2．（25-26高二上·广东梅州·期末）下列直线中，倾斜角为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角的定义求解. 【详解】的倾斜角为. 故选：C. 3．如图所示的直线的斜率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图确定直线上的点，再由斜率公式即可求解. 【详解】由图可得直线上两个点的坐标， 所以直线的斜率， 故选：D 4．（25-26高二上·广东广州·期末）经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系可求出t的值. 【详解】由题意，，则. 故选：C 5．（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 6．若图中直线，，的斜率分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 7．设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（   ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 【答案】D 【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解. 【详解】根据题意，画出图形，如图所示： 因为，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意， 通过画图（如图所示）可知： 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：D． 8．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角的范围及斜率与倾斜角的关系确定倾斜角的取值范围. 【详解】由题设且，则. 故选：B 9．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D 10．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答. 【详解】当直线l的倾斜角为时，直线l的斜率不存在； 当直线l的倾斜角时，直线l的斜率，因， 则当时，，即，当时，，即， 所以直线l的斜率的取值范围是. 故选：D 11．（24-25高二上·四川南充·阶段检测）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.725，则（    ）    A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 【答案】A 【分析】设，则利用举步之比可表示出，结合条件，由直线的斜率建立方程，解之即得. 【详解】设，则,， 因,则 由直线的斜率为0.725，可得， 即，解得. 故选：A. 12．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 13．已知点，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解 【详解】可看作与的斜率， 则，， 因为点在线段上， 所以的取值范围为， 故选：A 14．（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）经过，两点的直线的方向向量为，则m的值为______. 【答案】 【分析】根据直线的斜率公式和方向向量的概念求解即可. 【详解】因为直线的方向向量为，故， 因为经过，两点的直线的方向向量为， 所以，解得. 故答案为： 15．（25-26高二上·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 【答案】 【分析】作出图形，根据直线上两点分别求出直线的斜率，进而求得两直线的倾斜角，结合图形，即得答案. 【详解】    如图，先求出直线的斜率分别为：， 则可得直线的倾斜角分别为， 由图知，要使直线与线段没有公共点，需使直线的倾斜角满足， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为：. 16．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【答案】 【分析】利用三点共线有，结合斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题意，则，即. 故答案为： 17．已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是_____________． 【答案】/ 【分析】根据直线斜率的求法及斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由直线l经过，两点， 则直线的斜率， 所以直线的斜率， 由，所以. 故答案为： 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $