1.2集合间的基本关系（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了集合间的基本关系知识体系。从Venn图直观工具切入，依次构建子集、真子集、空集等概念，明确集合相等判定依据，推导有限集子集个数公式，进而掌握三种集合关系判定方法及含参集合求参数通用步骤，形成从直观到抽象、从概念到应用的学习支架。 知识链路按“直观工具—基础概念—特殊情形—量化公式—判定方法—参数应用”逻辑展开，每个知识点配易错警示和归纳总结。通过Venn图与数轴数形结合培养数学眼光，分类讨论空集与非空情形发展数学思维，规范符号语言表达，习题分题型配备方法技巧，助力学生构建完整认知框架并提升应用能力。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2集合间的基本关系 🔷知识点一 Venn图（韦恩图） 1.定义：用平面封闭曲线内部代表集合，直观展示集合间包含、相等、独立关系。 2.使用规则 子集：小封闭曲线完全落在大曲线内部； 相等集合：两个曲线完全重合； 无包含关系：两曲线部分相交或完全分离。 作用：快速判断连续数集、离散集合的包含关系，解含参集合题辅助数轴分析。 ⚠️特别提醒 Venn图仅作直观辅助，不能替代严谨代数证明；无限区间集合优先用数轴，离散有限集合优先用Venn图。 📌归纳总结 Venn图看包含，数轴看区间，数形结合快速判断集合从属关系。 🔷 知识点二 子集 1.文字定义：对两集合，若中任意一个元素都属于，称是的子集。 2.符号语言：（读作包含于）；等价描述：。 3.性质 ① 自反性：任意集合是自身子集，； ② 传递性：； ③ 空集规定：（空集是所有集合的子集）。 4.两层含义 包含两种情况： 或 。 ⚠️特别提醒 单独说“是子集”表述错误，必须指明谁的子集，规范表述：是的子集。 📌归纳总结 子集两层含义：集合相等或真包含；空集永远是任何集合的子集，子集关系具备传递性。 🔷 知识点三　集合相等 1.判定依据： 且 。 2.本质：两集合元素完全相同，与元素书写顺序、列举形式无关。 3.两类集合相等证明方法 有限离散集：元素一一对应，结合互异性检验； 无限描述集：双向证明互相包含，缺一不可。 4.拓展结论：相等集合拥有完全相同的所有子集。 ⚠️特别提醒 仅单向证明不能判定集合相等，必须双向互相包含；有限集合相等务必检验元素互异性，避免参数取值重复。 📌归纳总结 双向包含则集合相等，无序、重复元素不改变集合本身。 🔷 知识点四　真子集 1.定义：，且存在元素，称是的真子集。 2.符号：，读作真包含于。 3.性质 ① 任何集合不能是自身真子集； ② 传递性：； ③ 空集规定：（，空集是所有非空集合的真子集）。 ⚠️特别提醒 可推出，但推不出；空集不是自身的真子集。 📌归纳总结 真子集是“范围更小、元素更少”的子集，不能与原集合完全等同。 🔷 知识点五　空集 1.定义：不含任何元素的集合，区别于、。 2.三条硬性规定 任意集合； 任意非空集合； 空集唯一子集是自身，无真子集。 3.解题提醒：已知且含参数，必须优先讨论，极易漏解。 ⚠️特别提醒 是集合，含数字0，含集合元素，三者完全不同，不可混淆。 📌归纳总结 空集是子集万能情况，含参集合求包含关系第一步必讨论空集。 🔷 知识点六　有限集合子集个数万能公式 设集合含有个元素： 1.子集总数：（包含空集与集合本身） 2.真子集个数：（去掉集合自身） 3.非空子集个数：（去掉空集） 4.非空真子集个数：（同时去掉空集、集合自身） 记忆口诀：总子集二的次方，真子集减一，非空真子集再减一。 ⚠️特别提醒 公式仅适用于元素互不重复的有限集合；含重复元素的集合要先去重，再统计有效元素个数。 📌归纳总结 元集合子集总数，减1去自身为真子集，再减1去空集为非空真子集。 🔷 知识点七　三种集合关系判定方法 1.枚举观察法（离散有限集专用） 全部列举元素，直接对比元素是否全部包含，适合元素个数少的集合。 2.元素特征统一法（描述式集合专用） 统一两个集合元素表达式，对比取值范围，如，得。 3.数轴数形结合法（连续不等式集合专用） 把解集画在数轴，小范围集合对应真子集，端点单独验证能否取等。 ⚠️特别提醒 描述型集合不能只看表达式，要化简统一形式再判断；数轴判断时实心端点可重合，空心端点不可包含。 📌归纳总结 离散枚举、整数统一表达式、不等式画数轴，三类集合对应三种判定方法。 🔷 知识点八　集合包含关系求参数通用步骤 1.化简两个集合，写出解集区间； 2.分类讨论：含参集合、两种情况； 3.根据或列不等式组； 4.端点验证：真子集要求两端不能同时取等，剔除两集合完全相等的参数值； 5.合并所有符合条件的参数范围。 ⚠️特别提醒 求解子集参数时不等式先带等号，最后单独验证端点；真子集要排除两集合完全重合的情况。 📌归纳总结 含参子集求解分两步：先讨论空集，再列区间不等式，最后检验端点。 易错点1 混淆元素与集合符号 错例：、 错因：分不清两种符号适用对象； 用于元素与集合之间； 用于集合与集合之间，符号匹配错误。 规避方法：先判断式子两侧是元素还是集合，再匹配对应符号。正确写法：，。 易错点2 误判空集性质 错例 1：空集是任何集合的真子集 错因 1：忽略空集不能是自身的真子集，空集仅为任意非空集合的真子集。 规避 1：牢记定理：空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 错例 2： 错因 2：混淆含 0 集合与空集； 内有元素 0，是非空集合； 不含任何元素。 规避 2：区分空集、含 0 集合，二者不相等。 错例 3： 错因 3： 是以空集为元素的非空集合，与无元素的空集概念不同。 规避 3：分清三类易混集合：、、。 易错点3 含参子集问题遗漏空集讨论 错例：，仅计算，漏掉时成立的情况。 错因：忘记空集是任意集合的子集，含参数方程可能无解、集合为空，未分类讨论。 规避方法：方程、不等式含参数，第一步先令解集为空集求解参数，再讨论集合非空的正常情况。 易错点4 子集、真子集个数公式混用 错例：3 个元素的集合，计算真子集个数写成。 错因：混淆子集与真子集计算公式；个元素集合，子集总数，真子集需去掉集合本身，个数为。 规避方法：熟记公式： ①个元素集合：子集个数； ②真子集个数； ③非空真子集个数。 易错点5 数轴求包含关系端点取舍错误 错例：，，错误写。 错因：不清楚子集允许区间端点重合，未验证边界值是否满足包含关系。 规避方法：列区间不等式统一带上等号；若为真子集，额外验证区间完全重合的特殊情况，排除相等情形。 易错点6 混淆“子集”文字描述 错例：认为是的子集等价于集合元素数量少于集合。 错因：不理解子集包含集合相等的情况；当时，两集合元素数量相同，但仍满足。 规避方法：子集包含 “相等、真包含” 两种情况，两集合元素数量可以相等；只有真子集才满足元素个数更少。 题型一：判断集合间关系 📝方法技巧 1.离散集合：列举全部元素对比； 2.整数型描述集合：统一变量表达式，对比取值； 3.不等式解集：数轴画图，小范围真包含于大范围。 特别提醒：判断真子集必须找到一个属于后者、不属于前者的元素佐证。 归纳总结：范围小的集合真包含于范围大的集合，范围相等则两集合相等。 1.（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 2．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用列举法表示集合，再根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断结论. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 4．（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）下列关系说法错误的有（    ） ①    ②    ③⫋    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据元素与集合，集合与集合间的符号表示判断即可. 【详解】①：因为是集合中的元素，所以，表示的符号不正确，故①错误； ②：因为是任何集合的子集，所以，表示的符号不正确，故②错误； ③：因为中含有元素，而且还有其它元素，所以⫋，故③正确； ④：因为是无理数，而是有理数集，所以，故④错误． 故选：C 题型二：空集概念、性质应用 📝方法技巧 1.概念辨析：分清三者区别； 2.性质判断：牢记空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集； 3.简单应用：判断含空集符号式子的对错，识别方程无解对应空集。 特别提醒：空集是集合，不能用表示集合间包含关系；空集没有真子集。 1.（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 2.(25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 3.（多选）（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 【答案】BCD 【分析】根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定得到答案. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以方程无解，故是空集，故D正确. 故选：BCD. 4.（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【详解】（1）由，得，解得或， 故的取值范围是. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是 题型三：子集、真子集枚举书写 📝方法技巧 按元素个数由少到多分层列举：空集→单元素子集→双元素子集→全集； 真子集剔除集合本身，非空子集剔除空集，非空真子集两者均剔除。 特别提醒：列举不要漏空集、全集，区分子集与真子集范围。 1.（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解． 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 2．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 3.（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 4.（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【答案】(1)或或； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据方程有两个不同的解的问题直接可得； （2）根据方程有一个解进行分类讨论可得实数的取值，再列所有子集. 【详解】（1）由中有两个元素，得方程有两个不同的解， 所以，，解得或且. 故实数的取值集合为或或. （2）由中只有一个元素，得方程有一个解. 当时，方程有一个解； 当时，，解得或. 所以实数的取值集合， 故集合B的所有子集有：，，，，，，，. 题型四：求子集、真子集个数 📝方法技巧 集合含个元素，直接套用公式： 总子集：；真子集或非空子集：；非空真子集： 特别提醒：计算前对集合去重，统计有效元素数量。 1.（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】应用元素和集合关系及集合的包含关系判断求解. 【详解】已知，，且，所以的个数为. 2．（25-26高二下·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 3.（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 4.（25-26高一上·山东德州·期中）已知集合，集合，若，记的所有取值构成的集合为，则集合的子集个数为_____. 【答案】8 【分析】接着分别和求出B结合求集合C，进而可得其子集个数. 【详解】因为集合，集合，且， 当时，则，满足； 当时，则，可得或，解得或； 综上所述：，集合的子集个数为. 故答案为：8. 题型五： 由集合相等求参数 📝方法技巧 1.元素一一对应，分情况列方程； 2.检验集合互异性，重复元素直接舍去对应参数； 3.简便验算：两集合元素和、积分别相等快速验证。 特别提醒：求出参数后代回原集合，必须检验元素互不重复。 归纳总结：集合相等则元素完全相同，分情况解方程，最后验证互异性。 1.（2026·甘肃·模拟预测）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等的关系求解． 【详解】∵集合，，若， ∴，得. 2.（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 3.（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【答案】1 【分析】通过集合相等的性质分类讨论求解. 【详解】显然， ①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性； ②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或. 经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性. 综上可知，. 4．（25-26高一·全国·寒假作业）已知，，若集合，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据集合相等，结合集合的确定性、互异性，分析求解，即可得答案. 【详解】根据题意，，，所以， 故，则， 故，则，解得． 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以． 故答案为：1 题型六： 集合包含关系传递性 📝方法技巧 1.； ； 3.。 特别提醒：传递只能顺向推导，不能反向推导；只要有一处是真子集，首尾一定是真子集关系。 归纳总结：子集、真子集均可顺向传递，相等可等价传递，单向箭头不可逆。 1.判断下列说法是否正确，并简要说明理由： (1)若且，则； (2)若且，则； (3)若且，则． 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)不正确，理由见解析； (3)正确，理由见解析. 【分析】由已知结合元素与集合，集合与集合的关系判断各命题即可求解. 【详解】（1）正确，根据元素与集合可知，若，则集合中的元素全属于集合， 故，则成立. （2）不正确，若且，则不一定成立， 例如. （3）正确，由子集与真子集的概念可得若且，则一定成立. 2.（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 【答案】3 【分析】确定集合，再结合子集、真子集的概念即可求解. 【详解】由题得，. 因为， 所以根据子集的定义，集合C必须含有元素2，5， 所以或或. 故答案为：3 3．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 4．（25-26高一上·北京·阶段检测）满足条件的集合的个数是________. 【答案】4 【分析】根据子集的定义一一列举出符合题意的集合即可. 【详解】由题意，符合题意的集合有共4个. 故答案为：4 题型七： 已知包含关系求参数 📝方法技巧 分、两类列不等式组，端点验证。 特别提醒：二次不等式解集为空集要考虑开口、判别式；一次方程空集只需系数为0。 归纳总结：含参集合求包含，空集优先讨论，区间端点带等号，真子集剔除重合情况。 1．（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分、，结合进行求解． 【详解】当时，，符合； 当时，，，又， ， 综上，a∈ 2.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 3.（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 4.（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 题型八： 证明两集合相等 📝方法技巧 标准两步证明 1.证：任取，推导； 2.证：任取，推导； 两步完成，才可下结论。 特别提醒：只证单向只能证明子集，不能证明相等，大题两步缺一不可。 归纳总结：双向包含证明集合相等，先证左包含右，再证右包含左。 1.（高一上·湖北·专题练习）已知，求证： 【答案】证明见解析 【分析】证两个集合相等，先证明，再证明即可得出结论. 【详解】（1）先证， 设， 则存在， 满足， ， ， 即. （2）再证， 设， 则存在， 满足， ， ， 即. 综上：.. 2.（高一·全国·课堂例题）集合，，试证明． 【答案】证明见解析 【分析】设，利用集合的的含义和奇偶数的性质即可得，再设，再次利用集合的的含义和奇偶数的性质即可得，综合即可证明. 【详解】（1）设，则，且． ①若是偶数，可设，，则，，∴； ②若是奇数，可设，，则，，∴． ∴不论是奇数还是偶数，都有．∴． （2）设，则，或，． ∵，或，，，， ∴，则． 由（1）（2），得． 3.（高一上·安徽马鞍山·阶段检测）已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）是否存在实数，，使. 【答案】（1）；（2）不存在. 【解析】（1）转化条件为或，验证元素的互异性即可得解； （2）按照、讨论，验证即可得解. 【详解】（1）由题意，或，解得或， 当时，，不成立； 当时，，成立； ∴. （2）由题意，， 若，则，，不合题意； 若，则，，不合题意； ∴不存在实数，，使得. 4．（高一·全国·课后作业）已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由． 【答案】三个集合不相等,理由见解析. 【分析】求出函数的定义域和值域化简集合A，B，得到B⊆A，再由C为点集，可得三集合不等． 【详解】因为三个集合中代表的元素性质互不相同， 所以它们是互不相同的集合．理由如下： 集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R； 集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}． 集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上， 所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}． ∴三个集合不相等． 题型九：新定义集合运算与子集综合 📝方法技巧 先按定义求出新集合全部元素，去重后统计元素个数，再用子集个数公式计算。 特别提醒：新集合元素存在重复，必须先去重再计算子集数量。 归纳总结：新运算先化简集合，再套用有限集子集个数公式解题。 1.（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 2．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 【答案】D 【分析】由新概念“类”的定义逐一检验即可求解 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：，则，，，， ，，， 因为，，所以，所以，故D正确； 故选：D 3．（25-26高一上·河南郑州·期中）当一个含有非零实数的数集满足“如果，则”时，我们称就是一个数域.①0和1是任何数域的元素；②；③集合是一个数域；④有理数集是最小的数域（即对于任意的数域，都有）.以上关于数域的说法中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据有理数的定义及数域的定义一一判断即可. 【详解】由题意可知对任意数域，存在非零实数， 则由数域定义，所以和是任何数域的元素，故①正确； 由①知，所以，以此类推，所有的正整数均属于数域， 所以，故②正确； 集合，则，但，不满足数域的定义， 故集合不是一个数域，故③错误； 由①知所有正整数均属于数域，又， 以此类推，所有负整数均属于数域，所以所有的整数均属于数域， 所以对任意整数，有， 故对有理数集，有， 又对任意的，有， 所以有理数集是数域，且有理数集是最小的数域，故④正确. 故选：C 4.（25-26高一上·山西大同·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义．已知，且，若的所有可能取值构成集合，则___________． 【答案】1 【分析】解方程得到，由定义知道的值，再分类讨论得出结果. 【详解】解得或，即， ∵，∴或， 当时，方程，只有实数根， 所以且，得； 当时，方程， 时，方程有个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，则方程整理为， 方程的实数根，分别为，，此时，不满足条件， 若，则方程整理为， 方程的实数根，分别为，，此时，不满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有个相等的实数根，即，得， 由上可知不符合题意， 综上：符合题意，. 故答案为：1 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2集合间的基本关系 🔷知识点一 Venn图（韦恩图） 1.定义：用平面封闭曲线内部代表集合，直观展示集合间包含、相等、独立关系。 2.使用规则 子集：小封闭曲线完全落在大曲线内部； 相等集合：两个曲线完全重合； 无包含关系：两曲线部分相交或完全分离。 作用：快速判断连续数集、离散集合的包含关系，解含参集合题辅助数轴分析。 ⚠️特别提醒 Venn图仅作直观辅助，不能替代严谨代数证明；无限区间集合优先用数轴，离散有限集合优先用Venn图。 📌归纳总结 Venn图看包含，数轴看区间，数形结合快速判断集合从属关系。 🔷 知识点二 子集 1.文字定义：对两集合，若中任意一个元素都属于，称是的子集。 2.符号语言：（读作包含于）；等价描述：。 3.性质 ① 自反性：任意集合是自身子集，； ② 传递性：； ③ 空集规定：（空集是所有集合的子集）。 4.两层含义 包含两种情况： 或 。 ⚠️特别提醒 单独说“是子集”表述错误，必须指明谁的子集，规范表述：是的子集。 📌归纳总结 子集两层含义：集合相等或真包含；空集永远是任何集合的子集，子集关系具备传递性。 🔷 知识点三　集合相等 1.判定依据： 且 。 2.本质：两集合元素完全相同，与元素书写顺序、列举形式无关。 3.两类集合相等证明方法 有限离散集：元素一一对应，结合互异性检验； 无限描述集：双向证明互相包含，缺一不可。 4.拓展结论：相等集合拥有完全相同的所有子集。 ⚠️特别提醒 仅单向证明不能判定集合相等，必须双向互相包含；有限集合相等务必检验元素互异性，避免参数取值重复。 📌归纳总结 双向包含则集合相等，无序、重复元素不改变集合本身。 🔷 知识点四　真子集 1.定义：，且存在元素，称是的真子集。 2.符号：，读作真包含于。 3.性质 ① 任何集合不能是自身真子集； ② 传递性：； ③ 空集规定：（，空集是所有非空集合的真子集）。 ⚠️特别提醒 可推出，但推不出；空集不是自身的真子集。 📌归纳总结 真子集是“范围更小、元素更少”的子集，不能与原集合完全等同。 🔷 知识点五　空集 1.定义：不含任何元素的集合，区别于、。 2.三条硬性规定 任意集合； 任意非空集合； 空集唯一子集是自身，无真子集。 3.解题提醒：已知且含参数，必须优先讨论，极易漏解。 ⚠️特别提醒 是集合，含数字0，含集合元素，三者完全不同，不可混淆。 📌归纳总结 空集是子集万能情况，含参集合求包含关系第一步必讨论空集。 🔷 知识点六　有限集合子集个数万能公式 设集合含有个元素： 1.子集总数：（包含空集与集合本身） 2.真子集个数：（去掉集合自身） 3.非空子集个数：（去掉空集） 4.非空真子集个数：（同时去掉空集、集合自身） 记忆口诀：总子集二的次方，真子集减一，非空真子集再减一。 ⚠️特别提醒 公式仅适用于元素互不重复的有限集合；含重复元素的集合要先去重，再统计有效元素个数。 📌归纳总结 元集合子集总数，减1去自身为真子集，再减1去空集为非空真子集。 🔷 知识点七　三种集合关系判定方法 1.枚举观察法（离散有限集专用） 全部列举元素，直接对比元素是否全部包含，适合元素个数少的集合。 2.元素特征统一法（描述式集合专用） 统一两个集合元素表达式，对比取值范围，如，得。 3.数轴数形结合法（连续不等式集合专用） 把解集画在数轴，小范围集合对应真子集，端点单独验证能否取等。 ⚠️特别提醒 描述型集合不能只看表达式，要化简统一形式再判断；数轴判断时实心端点可重合，空心端点不可包含。 📌归纳总结 离散枚举、整数统一表达式、不等式画数轴，三类集合对应三种判定方法。 🔷 知识点八　集合包含关系求参数通用步骤 1.化简两个集合，写出解集区间； 2.分类讨论：含参集合、两种情况； 3.根据或列不等式组； 4.端点验证：真子集要求两端不能同时取等，剔除两集合完全相等的参数值； 5.合并所有符合条件的参数范围。 ⚠️特别提醒 求解子集参数时不等式先带等号，最后单独验证端点；真子集要排除两集合完全重合的情况。 📌归纳总结 含参子集求解分两步：先讨论空集，再列区间不等式，最后检验端点。 易错点1 混淆元素与集合符号 错例：、 错因：分不清两种符号适用对象； 用于元素与集合之间； 用于集合与集合之间，符号匹配错误。 规避方法：先判断式子两侧是元素还是集合，再匹配对应符号。正确写法：，。 易错点2 误判空集性质 错例 1：空集是任何集合的真子集 错因 1：忽略空集不能是自身的真子集，空集仅为任意非空集合的真子集。 规避 1：牢记定理：空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 错例 2： 错因 2：混淆含 0 集合与空集； 内有元素 0，是非空集合； 不含任何元素。 规避 2：区分空集、含 0 集合，二者不相等。 错例 3： 错因 3： 是以空集为元素的非空集合，与无元素的空集概念不同。 规避 3：分清三类易混集合：、、。 易错点3 含参子集问题遗漏空集讨论 错例：，仅计算，漏掉时成立的情况。 错因：忘记空集是任意集合的子集，含参数方程可能无解、集合为空，未分类讨论。 规避方法：方程、不等式含参数，第一步先令解集为空集求解参数，再讨论集合非空的正常情况。 易错点4 子集、真子集个数公式混用 错例：3 个元素的集合，计算真子集个数写成。 错因：混淆子集与真子集计算公式；个元素集合，子集总数，真子集需去掉集合本身，个数为。 规避方法：熟记公式： ①个元素集合：子集个数； ②真子集个数； ③非空真子集个数。 易错点5 数轴求包含关系端点取舍错误 错例：，，错误写。 错因：不清楚子集允许区间端点重合，未验证边界值是否满足包含关系。 规避方法：列区间不等式统一带上等号；若为真子集，额外验证区间完全重合的特殊情况，排除相等情形。 易错点6 混淆“子集”文字描述 错例：认为是的子集等价于集合元素数量少于集合。 错因：不理解子集包含集合相等的情况；当时，两集合元素数量相同，但仍满足。 规避方法：子集包含 “相等、真包含” 两种情况，两集合元素数量可以相等；只有真子集才满足元素个数更少。 题型一：判断集合间关系 📝方法技巧 1.离散集合：列举全部元素对比； 2.整数型描述集合：统一变量表达式，对比取值； 3.不等式解集：数轴画图，小范围真包含于大范围。 特别提醒：判断真子集必须找到一个属于后者、不属于前者的元素佐证。 归纳总结：范围小的集合真包含于范围大的集合，范围相等则两集合相等。 1.（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）下列关系说法错误的有（    ） ①    ②    ③⫋    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：空集概念、性质应用 📝方法技巧 1.概念辨析：分清三者区别； 2.性质判断：牢记空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集； 3.简单应用：判断含空集符号式子的对错，识别方程无解对应空集。 特别提醒：空集是集合，不能用表示集合间包含关系；空集没有真子集。 1.（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 2.(25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（多选）（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 4.（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 题型三：子集、真子集枚举书写 📝方法技巧 按元素个数由少到多分层列举：空集→单元素子集→双元素子集→全集； 真子集剔除集合本身，非空子集剔除空集，非空真子集两者均剔除。 特别提醒：列举不要漏空集、全集，区分子集与真子集范围。 1.（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 4.（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 题型四：求子集、真子集个数 📝方法技巧 集合含个元素，直接套用公式： 总子集：；真子集/非空子集：；非空真子集： 特别提醒：计算前对集合去重，统计有效元素数量。 1.（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 2．（25-26高二下·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·山东德州·期中）已知集合，集合，若，记的所有取值构成的集合为，则集合的子集个数为_____. 题型五： 由集合相等求参数 📝方法技巧 1.元素一一对应，分情况列方程； 2.检验集合互异性，重复元素直接舍去对应参数； 3.简便验算：两集合元素和、积分别相等快速验证。 特别提醒：求出参数后代回原集合，必须检验元素互不重复。 归纳总结：集合相等则元素完全相同，分情况解方程，最后验证互异性。 1.（2026·甘肃·模拟预测）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 2.（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 3.（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 4．（25-26高一·全国·寒假作业）已知，，若集合，则的值为________． 题型六： 集合包含关系传递性 📝方法技巧 1.； ； 3.。 特别提醒：传递只能顺向推导，不能反向推导；只要有一处是真子集，首尾一定是真子集关系。 归纳总结：子集、真子集均可顺向传递，相等可等价传递，单向箭头不可逆。 1.判断下列说法是否正确，并简要说明理由： (1)若且，则； (2)若且，则； (3)若且，则． 2.（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 3．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 4．（25-26高一上·北京·阶段检测）满足条件的集合的个数是________. 题型七： 已知包含关系求参数 📝方法技巧 分、两类列不等式组，端点验证。 特别提醒：二次不等式解集为空集要考虑开口、判别式；一次方程空集只需系数为0。 归纳总结：含参集合求包含，空集优先讨论，区间端点带等号，真子集剔除重合情况。 1．（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 4.（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 题型八： 证明两集合相等 📝方法技巧 标准两步证明 1.证：任取，推导； 2.证：任取，推导； 两步完成，才可下结论。 特别提醒：只证单向只能证明子集，不能证明相等，大题两步缺一不可。 归纳总结：双向包含证明集合相等，先证左包含右，再证右包含左。 1.（高一上·湖北·专题练习）已知，求证： 2.（高一·全国·课堂例题）集合，，试证明． 3.（高一上·安徽马鞍山·阶段检测）已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）是否存在实数，，使. 4．（高一·全国·课后作业）已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由． 题型九：新定义集合运算与子集综合 📝方法技巧 先按定义求出新集合全部元素，去重后统计元素个数，再用子集个数公式计算。 特别提醒：新集合元素存在重复，必须先去重再计算子集数量。 归纳总结：新运算先化简集合，再套用有限集子集个数公式解题。 1.（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 2．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 3．（25-26高一上·河南郑州·期中）当一个含有非零实数的数集满足“如果，则”时，我们称就是一个数域.①0和1是任何数域的元素；②；③集合是一个数域；④有理数集是最小的数域（即对于任意的数域，都有）.以上关于数域的说法中不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 4.（25-26高一上·山西大同·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义．已知，且，若的所有可能取值构成集合，则___________． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $