1.2集合间的基本关系·学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、空集、集合相等及子集个数规律。通过课前预习填空衔接集合概念，为课堂探究（如子集判断、Venn图运用）提供基础，构建从概念到应用的学习支架。 资料特色在于分层探究设计（普通班与优生班选做）、口诀辅助子集罗列及易错提醒符号规范。借助Venn图直观化抽象概念培养几何直观（数学眼光），通过判断推理活动发展逻辑思维（数学思维），用符号准确表达集合关系提升数学语言能力，助力学生自主学习与问题解决。

1.2 集合间的基本关系·学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿ 一、课前预习（阅读教材第7～9页，完成填空） 1．对于两个集合A、B，如果集合A中＿＿＿＿＿＿元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的＿＿＿＿，记作A＿＿B（或B＿＿A），读作"A＿＿＿＿B"（或"B包含A"）。 2．在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为＿＿＿＿图。 3．如果A⊆B，且B⊆A，那么A＿＿B。 4．如果集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，就称集合A是集合B的＿＿＿＿＿＿，记作A＿＿B，读作"A真包含于B"。 5．＿＿＿＿＿＿＿＿的集合叫做空集，记为＿＿；规定：空集是任何集合的＿＿＿＿；空集是任何＿＿＿＿集合的真子集。 6．两条性质：任何一个集合是它＿＿＿＿的子集，即A⊆A；如果A⊆B且B⊆C，那么A＿＿C。 二、课堂探究 探究一　子集的判断 判断下列各组中A是否为B的子集，并说明理由： (1)A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的正约数}。B用列举法表示为＿＿＿＿＿＿＿＿；A＿＿＿（是/不是）B的子集，理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}。A＿＿＿B的子集，理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (3)A＝Z，B＝N。A＿＿＿B的子集，理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；反过来，B＿＿A（填⊆或⊊）。 Venn图练习：在右侧空白处画出A⊆B的Venn图。 探究二　集合相等与真子集 1．E＝{x|x是两条边相等的三角形}，F＝{x|x是等腰三角形}，则E＿＿F，理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．子集与真子集的区别：A⊆B允许A＿＿B成立；A⊊B表示A⊆B且A＿＿B。 3．用⊊将N、Z、Q、R连成包含链：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，并各举一个"在外不在内"的元素：＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿。 探究三　空集 1．方程x²＋1＝0的实数根组成的集合是＿＿＿（用符号表示）。 2．判断正误（对的打√，错的打×并改正）： ①∅⊆{0}（　　）　②0∈∅（　　）改正：＿＿＿＿＿　③∅＝{0}（　　）改正：＿＿＿＿＿ ④空集是任何集合的真子集（　　）改正：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．用适当的符号（∈、∉、⊆、⊊、＝）填空：0＿＿{0}；∅＿＿{0}；{0}＿＿{0，1，2}。 探究四　子集的罗列（例1） 例1　写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 罗列口诀（听讲后补全）：先写＿＿＿，再按元素个数从＿＿到＿＿写，最后写＿＿＿＿＿＿；写真子集时只去掉＿＿＿＿＿＿。 练习：写出{a，b，c}的所有子集（写完数一数个数）： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究五　★子集个数规律（优生班课上完成，普通班选做） 1．∅有＿＿个子集；{a}有＿＿个；{a，b}有＿＿个；{a，b，c}有＿＿个。 2．归纳：含n个元素的集合，子集共＿＿个，真子集＿＿＿＿个，非空真子集＿＿＿＿个。 3．道理（一句话）：每个元素都有＿＿＿＿＿＿两种情况，n个元素共2×2×…×2种。 4．满足{1}⊊M⊆{1，2，3}的集合M有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，共＿＿个。 三、当堂检测（限时4分钟） 1．下列各式中正确的是（　　） A．∅∈{0}　　B．0⊆{0}　　C．∅⊊{0}　　D．{0}＝∅ 2．写出集合{0，1}的所有子集：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 3．用适当的符号填空：1＿＿{1，2}；{1}＿＿{1，2}；N＿＿Z。 4．含有3个元素的集合的真子集个数为＿＿＿＿。 四、课堂小结（自我梳理） 两套符号：＿＿、＿＿管元素与集合；＿＿、＿＿、＿＿管集合与集合。一个新对象：＿＿（规定它是任何集合的＿＿＿）。一条包含链：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。一个规律：n个元素的集合有＿＿个子集。 参考答案与解析 一、课前预习 1．任意一个、子集、⊆、⊇、包含于。　2．Venn。　3．＝。　4．真子集、⊊。 5．不含任何元素、∅、子集、非空。　6．本身、⊆。 二、课堂探究 探究一：(1)B＝{1，2，4，8}；不是，A中的元素3不在B中（有一个不在就不是子集）。顺带：B也不是A的子集（4、8不在A中），两集合互不包含。(2)是，等边三角形都是等腰三角形。(3)不是，－1∈Z但－1∉N；反过来N⊊Z（填⊆也对，⊊更精确）。Venn图：小圈A整个落在大圈B内部。 探究二：1．＝，等腰三角形的定义就是有两条边相等的三角形，两集合元素完全相同。2．＝；≠。3．N⊊Z⊊Q⊊R；见证元素如－1（在Z不在N）、1/2（在Q不在Z）、√2（在R不在Q）。 探究三：1．∅。2．①√；②×，0∉∅（空集不含任何元素）；③×，∅⊊{0}（{0}含元素0，不是空集）；④×，改为"空集是任何非空集合的真子集"。3．0∈{0}；∅⊊{0}（填⊆也对）；{0}⊊{0，1，2}（左边是集合，用⊊，不能用∈）。 探究四：例1　子集：∅，{a}，{b}，{a，b}，共4个；真子集：∅，{a}，{b}，共3个。口诀依次填：空集、少、多、集合本身、集合本身。练习：∅；{a}，{b}，{c}；{a，b}，{a，c}，{b，c}；{a，b，c}，共8个。 探究五：1．1、2、4、8。2．2ⁿ、2ⁿ－1、2ⁿ－2。3．选进子集与不选。4．{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共3个（M必须含1且不等于{1}，又是{1，2，3}的子集）。 三、当堂检测 1．C。空集是非空集合{0}的真子集。A项∅不是{0}的元素；B项0是元素，不能用⊆；D项{0}含一个元素，不是空集。 2．∅，{0}，{1}，{0，1}。漏∅或漏{0，1}本身都算错。 3．1∈{1，2}；{1}⊊{1，2}（左边是集合）；N⊊Z。 4．2³－1＝7。问真子集，只去掉本身；答6的是把非空真子集公式用错了地方，答8的是答成了子集个数。 易错提醒 ∈⊆两套符号先看左边是元素还是集合；写子集勿漏∅与本身；"空集是任何集合的真子集"缺"非空"二字即错；子集2ⁿ、真子集2ⁿ－1、非空真子集2ⁿ－2对号入座。 学科网（北京）股份有限公司 $