1.6 相似三角形的应用&1.7 位似（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（湘教版·新教材）

19.解：(1)BD⊥AC,∠ADB=∠BDC=90°.在Rt△ABD中，，AD=6,tanA= BD-AD.tan A-8.AB-ADBDF-10.(2)AC-AB-10,AD-6, CD=AC-AD=4.∴BC=√BD+CD=45.sinC=D=,8=2Y5. BC455, 20a证明：AB=2,AC=4,AD=8小能-是-日6-告-合小0-S ∠BAC=∠CAD,△ABCD△ACD.(2)解：AB=2,AC=4,BC=3,.C△ABC=2 +4+3=9.:△MBC△aD.小8是-分Cm=2Cae=18 21.解：(1)由题意，得A(一30,4)，H(0,22).设经过A,B,H三点的抛物线的函数表达 式为y=ax2+22.把A(-30,4)代人，得4=900a+22,解得a=-0经过A,B,H 三点的抛物线的函数表达式为y=一0x十2.(2)由(1)可得两车同时后退10m后， y辅右侧的抛物线的函数表达式为y=一0(x一10)+2.当x=0时，y=一品×(0 1 一10)2+22=20.答：两条水柱的相遇点距离地面20m. 22.(1)证明：：AD⊥BC,BE⊥AC,.∠ADC=∠BDF=∠AEF=90°.∴.∠C+∠CAD =90°，∠C+∠DBF=90°.∴.∠CAD=∠DBF.∴.△ACD∽△BFD.(2)解： os∠ABD=船-号设BD=2,则AB=3∴AD=VAB-BD-5x由 I知△ACD△BFD,祭-品，即器-经BF=,5 23.解：(1)由题意，得∠ABC=90°，AB=10×4=40(m).在Rt△ABC中，∠ACB=45°， '.BC= tan ZACB=40m.答：无人机从点B到点C的飞行距离为40m.(2)延长ED, AB 交BC的延长线于点F,易得EF=AB=40m,∠DFC=90°.设DF=xm.在Rt△CDF 中，∠DCF=45,.CF-TA DCR=xm,BF=CF+BC=(z+40)m在R△BDD 中，∠DBF=15°，∴DF=BF·tan∠DBF,即x=(x+40)X0.27,解得x≈14.8. ∴DF=14.8m.∴.DE=EF-DF=25.2m.答：南塔的高度DE约为25.2m. 24.解：(1)把(4,5)代入y=(a-2)x2+(a+3)x+5,得5=(a-2)×42+(a+3)×4+ 5,解得a=1..该二次函数的表达式为y=-x2+4x十5.(2)由(1)知y=-x2+4x+ 5.令y=0,则-x2+4x十5=0，解得x1=5,x2=-1.令x=0,则y=5.∴.A(-1,0), B(5,0),CO,5).AB-6.P(m,-m+m+5).S-Spm-S-X6X （-m2+4n十5)-SAe=3(-m+4m+5)-Sae:S,=SaAc-SAE=号×6X5 -S△A8e=15-S△ABr.①：S1=S2,∴.3(-m2+4m十5)=15，解得m1=0(不合题意，舍 去)，m2=4.∴.点P的坐标为(4,5).②存在.S-S2=3(-m2+4m+5)-SA8e-(15 -S△AE)=-3m2+12m=-3(m-2)2+12.:-3<0,.当m=2时，S,-S2存在最 大值，最大值为12. -43 随堂反馈 第1章图形的相似 1.1线段的比 1.1.1比例的基本性质 1.C2.D3.B4.-11 5.解：(1)根据题意，得a:b=c：d,即5：（一2)=4：d..5d=(一2)×4，解得d= -号.(2)根据题意，得a:6=c:d,即厄：6=26.∴26=EX6,解得6=5. 6.解：号-冬a=单( 0361)b=b=生.(2)名=46 4 2-62x2-6 1.1.2成比例的线段 1.c2号号号3541.24 5.解：(1)由题意，得a:b=3:6=1:2.(2),线段a,b,c,d成比例，.3：6=12：d, 解得d=24cm. 6,解：这两个等暖三角形的腰与底边是成比例线段，理由如下：由题意，得AB=合(16 -80)=6m,AB=合(24-BC)=9m,∴8-号=号，B8-音-=号 “侣-器÷这两个等膜三角形的膜与底边是成比例线段。 1.2平行线分线段成比例 1D2.D3是42.85.6 6解：IDk/4,瓷-0：AD=3,DE=6,AB=45=BC 9.(2②6/%/噩-是0E=是BE=9 1.3相似图形 1.B2.C3.60°5 4.解：(1)，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',.∠A'=∠A=102°，∠B=∠B=90 ∠D=360°-∠A'-∠B-∠C=48°.(2)：四边形ABCD∽四边形A'B'CD', ÷0-瓷-品.∴号-S-0Bc=12,cn=15 5.解：相似.理由如下：由题意，得MN=20m,EN=10m,CD=20+2=22(m),AD= 10+1=1(m小0多-品，器吕S器：矩形的四个角都是直角， .小路内外边缘所成的矩形相似 1.4相似三角形的判定与性质 第1课时利用平行线判定三角形相似 1.C2.B3.3 4证明：DE∥BC,△AD△ABN,△AME△ANC,÷-A兴，兴=A 删器器器 5.解：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,CD=AB=6.∴.△CFE∽△BAE. ÷8需-罷BE=3CE,AB=6g=合CP=2∴DF=CD+CF=8 -44 第2课时相似三角形的判定定理1 1.C2D3.A4AB/DE(答案不唯-)5.号 6.(1)证明：AB平分∠CAD,.∠CAB=∠BAD.∠ABC=∠D=90°，.△ABC △ADB.(2)解：△ABC△ADB,怎-铝即9AB=26cm 第3课时相似三角形的判定定理2 1.C2.C3.B4.号 5.1.5 6.证明：，BE=3,CE=6,.BC=BE十CE=9.,四边形ABCD是正方形，.AB=BC =9,∠B=∠C=92-号-号8器-号是-8器：△ABEAECF. 第4课时相似三角形的判定定理3 1.A2.A3.2 4.证明：：D,E,F分别为BC,AC,AB的中点，∴.DE,DF,EF均为△ABC的中位线. ∴DE=古AB,DF=合AC,EP=BCR-RE-既=∴△ABCn△DER. 5.解：△ABC∽△DEF.理由如下：由勾股定理，得AC=√22+1严=√5，AB=√22+4 =2W5,BC=√32+4=5，DF=√22+2=2√2，DE=√4+4=4√2，EF= 6+-2而部=平0=器=平品-提-祭△Ac ∽△DEF. 1.5相似三角形的性质 第1课时相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 1.A2.D3.D4.5.6 5.解：'∠AED=∠B,∠EAD=∠BAC,∴△ADE∽△ACB.AF平分∠BAC, AG LAF -0即子6-2. 第2课时相似三角形面积和周长的性质 1.A2.B3.B4.B5.20cm,30cm6.50 7.1证明：BD=5,CD=4,BC=BD+CD=9.:AC=6,C-号8是-号 ÷C-2∠C=∠C,△ABC△DAC(2)解：△ABC△DAC,÷- S△ABC (8C}=合：SA度=18…Sae=号S%e=8.56m=5e-Sae=10, 1.6相似三角形的应用 1.D2.C3.404.2 5解：连接MN品-0=品0银-0=品品-银：∠A=∠A, 30 3AB54 3 △ABC∽△ANM器-器即票=品MN=150m=1.5km答：M,N 两点之间的距离为1.5km. 1.7位似 第1课时位似图形的概念及画法 1.D2.B3.50 4.解：如图，四边形A'B'C'D'即为所求. -45 O 5解：：△AC与△DEF位似，六合祭-8是=号=子AC=4,DF=3AC= 12.(2由蜘哈架=吉小3-（传）广=日5am=95c=54 SADEF 第2课时平面直角坐标系中的位似 9 1.A2.D3.24.(2,1D 5.解：(1)如图，四边形A'B'CD'即为所求.(2)A'(-3,3),B(-4,1),C(-2,0), D(-1,2). 第2章锐角的正弦、余弦、正切 2.1锐角的正弦和余弦 第1课时锐角的正弦 1.A2B364g5.40 6舞：原式=2x号4×号-反-2度②原式-（停+号×夏吉+9 7.解：在R△ABC中，AB=8,sinA=令，BC=AB:sinA=5.AC=VAB-BC =V39.∴sinB=AC=3g AB-8· 第2课时锐角的余弦 1.A2.A3.C4.(1)0.6947(2)63.4°5.25 5 6解：1原式-（合）‘+()°=1.(2)原式=2×号-合= 7.解：四边形ABCD是菱形，AC⊥BD,OB=BD=3.∴∠AOB=90.在 R△A0B中，0A=VaAB-0B-万，o∠BAC-器-9 2.2锐角的正切 1.A2.11.4998(212”3.号 4解：1原式=×5+2×号=3+V巨.(2原式=8×()°+1-4×号=7-2. 5.解：(I)在R△ABC中，BC=4,sinB=?,∴AC=BC·SinB=万.∴AB VBC-AC=3.(2②在R△ABc中，AB=3,AC-7anC-是-39 —46 2.3解直角三角形 1.C2.C3.D 4解：1)在R△ABC中，b=6,e=2,csA=么=号.∠A=45:(2)在 R△ABC中，c=12,cosB=合a=c·cosB=6.∴b=V-a=6V5 5解：在R△ACD中，：∠C=90,AC=8,AD=165,as∠CAD=S- .∠CAD=30°.，AD平分∠CAB,∴.∠CAB=2∠CAD=60°..∠B=90°-∠CAB= 30.c 2.4解直角三角形的应用 第1课时与仰角、俯角有关的应用问题 1.A2.A3.D 4.解：过点D作DE⊥AB于点E,则四边形BCDE为矩形，.DE=BC=20m,BE= CD=1.6m.在Rt△ADE中，∠ADE=38.5°，∴.AE=DE·tan∠ADE≈15.9m. .AB=AE+BE≈18m.答：建筑物AB的高度约为18m. 第2课时与坡度、方位角有关的应用问题 1.C2.1003.6.934.4√5 5.解：过点P作PC⊥AB于点C.在Rt△ACP中，AP=40W2 n mile,∠APC=45°， .PC=AC=AP·sin∠APC=40 n mile.在Rt△BCP中，∠BPC=60°，.BC=PC· tan∠BPC=40W3 n mile..∴.AB=AC+BC=(40+40W3)n mile.答：航程AB为(40+ 40√3)n mile. 第3章一元二次方程 3.1一元二次方程的概念 1.D2.A3.2(答案不唯一) 4.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为2x2+3x-1=0.它的二次项系数为2， 一次项系数为3，常数项为-1.(2)去括号，得3x2+3x-2x一2=2x2十x.移项、合并同 类项，得一元二次方程的一般形式为x2一2=0.它的二次项系数为1，一次项系数为0， 常数项为一2. 5.解：(1)设这两个数中较小的数为x.根据题意，得x(x十2)=120，化为一般形式为x2 十2x一120=0.(2)设充电桩区域的宽度为xm.根据题意，得(130-x)(80一x)= 5000.化成一般形式为x2-210x十5400=0. 3.2一元二次方程的解法 3.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 1.C2.B3.-1 4.解：(1)原方程可化为x2=16.根据平方根的意义，得x=4或x=一4.因此，原方程 的根为x1=4,x2=一4.(2)原方程可化为(x一1)2=9.根据平方根的意义，得x一1=3 或x一1=一3.因此，原方程的根为1=4，x2=一2. 第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1.A2.B3.3 4.解：(1)配方，得x2-4x+22=-1+22,因此(x-2)2=3.由此得x-2=√3或x-2 =-√3，解得x1=2十√3，x2=2-√3.(2)移项，得x2一3x=-2.配方，得x2-3x十 —47 (侵)》°=-2+（名），因此(x一）°=子由此得红一昌=合或x一号=-合，解得 x1=2,x2=1. 第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1.D2.C3.C 4解：1)将二次项系数化为1，得2-受-是配方，得2-音+(）广=是+ (分）》”，因此(x-子)广=是由此得x-子=是或x-子=-，解得石=1，函 -合(2)将=次项系数化为1，得r-12x=14.配方，得士-12x十6=14+6，因此 (x-6)2=50.由此得x-6=5√2或x-6=-5√2，解得x1=6+5V2,x2=6-5√2. (3)移项，得5x-2x=3将二次项系数化为1，得广-号x=是配方，得文-号x十 ()》°-是+（号）》，因此(x-号)-由此得x一吉-号或x一吉=-吾，解得 x=1=-号.(4)整理，得2x-8x=10,将二次项系数化为1，得2-4x=5,配方， 得x2-4x十22=5十22，因此(x-2)2=9.由此得x-2=3或x-2=-3,解得x1=5, x2=-1. 3.2.2公式法 1.A2.C3.A 4.解：(1)移项，得x2-x-3=0.这里a=1,b=-1,c=-3.因而2一4ac=（-1)2-4 ×1×(-3)=13>0,x=1±，.因此，原方程的根为=1+)压，，=1二区 2 2 (2)这里a=4,b=-8,c=1,因而形-4ac=(-8)2-4X4X1=48>0,“x=8+y4s 2×4 =2生5.因此，原方程的根为-2生5-2(3)移项，得24-x十2=0这里 2 a=2,b=-1,c=2.因而6-4ac=(-1)2-4×2×2=-15<0,.原方程无实数根. (0这里a=6=-厄，c=子.因而8-4ac=(-②-4X号×分=1>0，∴x=厄 士1.因此，原方程的根为x1=√2+1，x2=√2-1. 3.2.3因式分解法 第1课时用因式分解法解一元二次方程 1.C2.B3.A4.x-1-2=0x1=-1,x2=3 5.解：(1)把方程左边因式分解，得x(x十5)=0.由此得x=0或x十5=0，解得x=0, x2=-5.(2)原方程可化为(x-1)2十（x-1)=0.把方程左边因式分解，得(x-1)(x 1十1)=0.由此得x-1=0或x=0,解得x1=1,x2=0.(3)原方程可化为3x(x-2)一 (x-2)=0.把方程左边因式分解，得(x-2)(3x-1)=0.由此得x-2=0或3x-1= 0,解得五=2，=子.()配方，得x-8x十4-4华-9=0，因而(x一42-5=0.把方 程左边因式分解，得(x-4十5)(x-4-5)=0,即(x十1)(x-9)=0.由此得x十1=0或 x-9=0,解得x1=一1，x2=9. 第2课时选择合适的方法解一元二次方程 1.A2.D3.B4.(1)直接开平方(2)配方(3)公式(4)因式分解 5.解：(1)根据平方根的意义，得x+1=3或x十1=一3.因此，原方程的根为x1=2,x2 =-4.(2)配方，得x2-4x十22=2十22，因此(x-2)2=6.由此得x-2=√6或x-2= —481.6相似三角形的应用 1.如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE的高为1.5， 测得AB=2m,BC=8m,则建筑物CD的高为 ( ) A.6 m B.6.5m C.7m D.7.5m (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，为估算某鱼塘的宽AB,在鱼塘一侧的空地上取点C,D,E,使点A,C,D在同一条 直线上，点B,C,E在同一条直线上，且CD=2AC,CE=BC.若测得DE=15m,则 鱼塘的宽AB为 A.7.5m B.15m C.30m D.45m 3.如图，A,B两点被一条河隔开，小明为了测量A,B两点间的距离，过点B作BF⊥AB, 在BF上取两点C,D,使BC=2CD,过点D作DE⊥BF,使点A,C,E在同一条直线 上.测得DE=20m,则A,B两点间的距离是 m 4.如图，一束平行的光线从窗户射入教室，已知窗户AB在教室地面上的影长MN=4m, 点M到墙角的距离CM=6m,窗户下沿到教室地面的距离BC=1m(,点M,N,C在同 一条直线上)，则窗户AB的高为m. 5.如图，M,N为山两侧的两个村庄，为了方便两村交通，根据国家的惠民政策，政府决定 打通一个直线隧道，工程人员为计算工程量，必须计算M,N两点之间的距离，选择测 量点A,B,C,点B,C分别在AM,AN上.现测得AM=1km,AN=1.8km,AB= 54m,BC=45m,AC=30m,求M,N两点之间的距离. ·11 1.7位似 第1课时 位似图形的概念及画法 1.下列各组图形不是位似图形的是 ( 石 0 A B D 2.如图，△ABC与△DEF是位似图形，80-号.已知AB=3,则DE的长为 A号 R号 c 6 D.3 D (第2题图) (第3题图) 3.如图，四边形AEFH与四边形ABCD是位似图形，位似比为.若四边形AEPH的周 长为30cm,则四边形ABCD的周长为cm. 4.如图，以点O为位似中心，在正方形网格中作出四边形ABCD的位似图形，使新图形与 原图形的相似比为2：1. 5.如图，△ABC与△DEF关于点O位似，OB=2,OE=6. (1)若AC=4,求DF的长； (2)若△ABC的面积为6，求△DEF的面积 ·12· 第2课时平面直角坐标系中的位似 1.如图，线段AB的两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2).以原点O为位似中心，在第 一象限内将线段AB缩小为原来的，后得到线段CD,则点C的坐标为 A.(3,3) B.(4,3) C.(3,1) D.(4,1) y D B A B OA D B'B AA'x (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心.已知A(1,0), D(3,0),则△ABC与△DEF的相似比为 A.2:1 B.1:2 C.3:1 D.1:3 3.如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A 的坐标为(2,0)，点A'的坐标为(3,0).若CD的长为3，则CD'的长为 4.如图，△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，且CD=2AB.若点C的坐标为 (一4，一2)，则点A的坐标为 5.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(一6,6)，B(一8,2)， C(-4,0),D(-2,4). (1)在所给的平面直角坐标系中画出一个四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'与四边 形ABCD是以原点O为位似中心，相似比为1：2的位似图形； (2)直接写出点A',B',C,D的坐标 ·13·