精品解析：山东省青岛市实验高级中学(青岛十五中)2025-2026学年第二学期第四学段质量检测高一 数学试卷

青岛实验高中2025—2026学年度第二学期第四学段质量检测 高一数学试卷 2026年7月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，若复数对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可得出复数，再利用复数的乘法可求得的值. 【详解】在复平面内，若复数对应的点为，由复数的几何意义可得， 因此，. 故选：A. 2. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得. 故选：B. 3. 已知边长为1的正方形，设，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案. 【详解】因为是边长为1的正方形，， 所以 又，所以 故选：B 4. 某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有47名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业服务满意的百分比大约为（ ） A. 85% B. 75% C. 63.5% D. 67.5% 【答案】D 【解析】 【分析】由问卷设计方式可知，回答第一个问题的人数有40人，其中有20人的手机号是奇数，回答第二个问题的人数为40人，其中27人回答了“是”，由此可以估计本小区对物业服务满意的百分比. 【详解】要调查80名居民,在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，第一个问题可能被询问40次,在被询问的40人中有20人手机号是奇数,而有47人回答了“是”，估计有27个人回答是否满意物业的服务时回答了“是”, 在40人中有27个人满意服务, 估计本小区对物业服务满意的百分比， 故选: D 【点睛】本题考查频数的求法，考查古典概型的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题. 5. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中，分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ ） A. 为中位数，为平均数，为平均数，为中位数 B. 为平均数，为中位数，为平均数，为中位数 C. 为中位数，为平均数，为中位数，为平均数 D. 为平均数，为中位数，为中位数，为平均数 【答案】A 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和，由此能求出结果． 【详解】解：在频率分布直方图中， 中位数两侧小矩形的面积相等， 平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和， 结合两个频率分布直方图得： 为中位数，为平均数，为平均数，为中位数． 故选：A． 6. 已知在复平面内复数，对应的向量分别为，．若，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先表示出，，即可求出，再求出及，最后根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 7. 已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ） A. B. 7 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了，即，由三点共线定理可知，所以，.得.再利用基本不等式解决最值问题即可. 【详解】因为点为的重心，所以，则. 因为三点共线，， 所以，. 所以. 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 故选：D 8. 已知正方体的棱长为，分别为的中点，是线段上的动点，则与平面的交点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定轨迹端点，当与重合时,交点为(中点)；当与重合时,交点为(上分点）。通过几何关系计算,，利用余弦定理得. 【详解】如图所示，连接,，连接, 交于点,连接，交于点， 由,即共面， 由是线段上的动点，得形成平面， 当重合于或时, ,与平面的交点分别为，， 因此的轨迹为线段， 由棱长为，得,则, 又因为，所以， 由,得， 则 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．下列四个论断正确的是( ) A. 若，则 B. C. 若，则 D. ，，此三角形无解 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理和三角形性质可判断ACD，根据三角形内角和及三角函数诱导公式可判断B． 【详解】对于A，若，则a>b，根据正弦定理得，故A正确； 对于B，若，故B错误； 对于C，若，则根据正弦定理得，即tanB=1，∵B是三角形内角，故，故C正确； 对于D，若，，，则根据正弦定理得，故△ABC无解，故D正确． 故选：ACD． 10. 某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170，方差为17；女生身高样本均值为160，方差为30.下列说法中正确的是（ ） A. 男生样本容量为30 B. 每个女生被抽入到样本的概率均为 C. 所有样本的均值为166 D. 所有样本的方差为46.2 【答案】ACD 【解析】 【分析】分层抽样等比例性质求男女生样本容量，再由古典概型的概率求每个女生被抽入到样本的概率判断A、B；利用均值、方差公式，结合男、女的样本的均值和方差求样本总体均值方差判断C、D. 【详解】A：由人，正确； B：由人，故每个女生被抽入到样本的概率为，错误； C：所有样本的均值为，正确； D：男生方差，女生方差， 所有样本的方差 ，正确. 故选：ACD 11. 已知正方体的棱长为1，点满足，其中，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，异面直线与所成的角为 C. 当时， D. 当时，线段的长度最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以正方体一个顶点及三条棱建立空间直角坐标系，得到点的坐标.A选项由空间向量证明线面平行；B选项由空间向量的夹角公式求得线线角；C选项由空间向量的数量积为0证明线线垂直；D选项由基本不等式求得的模长的最小值. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别为如图建立空间直角坐标系. ， ， ∵，∴， A选项：，， ∴，即是平面的法向量， 又∵，∴平面，A选项正确； B选项：设，则，，设异面直线与所成的角为， 则，显然，选项错误； C选项：设，则，即，，则，∴，C选项正确； D选项：，∵，则 即，当且仅当时取等号， ∴，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，本题是立体几何中的动点产生的线线和线面的关系，所以本题建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标关系求得对称结果即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则即可求解． 【详解】根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4， 故原来的平行四边形的面积为， 故答案为：8． 13. 已知且zC，则取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模长性质求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 14. 给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，设，分别求出点,,三点的坐标，由可求得，从而求得的最大值. 【详解】建立如下图所示的直角坐标系，则,, 设,则， ∵， ∴， ∴， 由可得，即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，，当为何值时，与垂直； （2）已知向量，，．若点，、能构成三角形，求实数满足的条件． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）结合平面向量垂直的坐标表示，得到方程，解之即可； （2）根据题意可得点、、能构成三角形，则点、、不共线，即、不共线，从而可直接求解. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为与垂直， 所以，解得． （2）因为，，， 所以，， 若点、、能构成三角形，则点、、不共线，即、不共线， 所以，解得． 16. 某校高一年级学生参加了一学期内平均每周球类运动时长（单位：小时）的调研，现随机抽取40名学生的平均每周球类运动时长进行数据整理，按进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）若将平均每周球类运动时长大于或等于10小时的学生视为“球类运动爱好者”，已知该校高一年级有1200名学生，试估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数； （2）若小明的平均每周球类运动时长为10.5小时，试估计其是否超过该年级的学生； （3）若甲，乙，丙三位同学的平均每周球类运动时长分别为，当其方差最小时，求的值． 【答案】（1）360人； （2）没有超过； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率之和为1求出的值，然后求出平均每周球类运动时长大于或等于10小时的概率，进而可求得人数. （2）先求出80%百分位数，然后进行比较、确定其是否超过该年级80%的学生. （3）先求出平均值和方差，然后利用二次函数的性质求出的值. 【小问1详解】 由，解得． 平均每周球类运动时长大于或等于10小时的人数为人． 估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数为人． 【小问2详解】 由题意，需要确定平均每周球类运动时长的分位数，因为 ， ，故分位数位于内． 所以，即为分位数． 因为，所以没有超过该年级的学生． 【小问3详解】 由题意，甲，乙，丙三位同学球类运动时长平均数为． ．所以当时，最小． 17. 如图，在梯形中，，，为上一点，，. （1）若为等腰三角形，求； （2）设，若，求. 【答案】（1）3（2） 【解析】 【分析】(1)由题意结合几何性质和余弦定理求解BC的长度即可； (2)由题意结合正弦定理得到关于的等式，然后求解的值即可. 【详解】（1）由，可得，， 又为等腰三角形，所以， 从而，， 所以. 在中，由余弦定理得， ， 即. （2）因为，所以，. 在中，由正弦定理得，； 在中，由正弦定理得，， 由，得， 解得. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明：因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以； (2). 【解析】 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可； (2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【详解】（1）略 （2）[方法一]：通性通法—坐标法 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，设, 所以， 设为平面的法向量， 则由可求得平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以，解得． 又点C到平面的距离为，所以， 所以三棱锥的体积为． [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作，垂足为点G． 作，垂足为点F，连结，则． 因为平面，所以平面， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由已知得，故． 又，所以． 因为， ． [方法三]：三面角公式 考虑三面角，记为，为，， 记二面角为．据题意，得． 对使用三面角的余弦公式，可得， 化简可得．① 使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．② 将①②两式平方后相加，可得， 由此得，从而可得． 如图可知，即有， 根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得， 结合的正切值， 可得从而可得三棱锥的体积为． 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理； 方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解. 方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面，直线的一个方向向量为，求直线与平面所成角的正弦值； （2）已知集合，记集合中所有点构成的几何体的体积为，集合，记集合中所有点构成的几何体为，求的值及几何体相邻两个面（有公共棱）所在平面夹角的余弦值． 【答案】（1）; （2），相邻两个面所在平面夹角的余弦值为 . 【解析】 【分析】（1）利用题中概念计算出平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可； （2）分析集合P，利用体积公式求体积即可；利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可． 【小问1详解】 由题可知，直线的方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则 【小问2详解】 集合表示的几何体是关于平面，，对称的，它们在第一卦限的形状为正三棱锥，如下图 其中OA、OB、OC两两垂直，且， 所以， 集合Q所表示的几何图形也关于平面，，对称， 在第一卦限内的部分如图（1）， 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果. 由平面的方程为：，其法向量为； 平面的方程为：，其法向量为. 设平面与平面所成的夹角为，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛实验高中2025—2026学年度第二学期第四学段质量检测 高一数学试卷 2026年7月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，若复数对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知边长为1的正方形，设，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有47名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业服务满意的百分比大约为（ ） A. 85% B. 75% C. 63.5% D. 67.5% 5. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中，分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ ） A. 为中位数，为平均数，为平均数，为中位数 B. 为平均数，为中位数，为平均数，为中位数 C. 为中位数，为平均数，为中位数，为平均数 D. 为平均数，为中位数，为中位数，为平均数 6. 已知在复平面内复数，对应的向量分别为，．若，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ） A. B. 7 C. D. 6 8. 已知正方体的棱长为，分别为的中点，是线段上的动点，则与平面的交点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．下列四个论断正确的是( ) A. 若，则 B. C. 若，则 D. ，，此三角形无解 10. 某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170，方差为17；女生身高样本均值为160，方差为30.下列说法中正确的是（ ） A. 男生样本容量为30 B. 每个女生被抽入到样本的概率均为 C. 所有样本的均值为166 D. 所有样本的方差为46.2 11. 已知正方体的棱长为1，点满足，其中，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，异面直线与所成的角为 C. 当时， D. 当时，线段的长度最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______． 13. 已知且zC，则取值范围为___________. 14. 给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，，当为何值时，与垂直； （2）已知向量，，．若点，、能构成三角形，求实数满足的条件． 16. 某校高一年级学生参加了一学期内平均每周球类运动时长（单位：小时）的调研，现随机抽取40名学生的平均每周球类运动时长进行数据整理，按进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）若将平均每周球类运动时长大于或等于10小时的学生视为“球类运动爱好者”，已知该校高一年级有1200名学生，试估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数； （2）若小明的平均每周球类运动时长为10.5小时，试估计其是否超过该年级的学生； （3）若甲，乙，丙三位同学的平均每周球类运动时长分别为，当其方差最小时，求的值． 17. 如图，在梯形中，，，为上一点，，. （1）若为等腰三角形，求； （2）设，若，求. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面，直线的一个方向向量为，求直线与平面所成角的正弦值； （2）已知集合，记集合中所有点构成的几何体的体积为，集合，记集合中所有点构成的几何体为，求的值及几何体相邻两个面（有公共棱）所在平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $