3.2.1单调性与最值-3.2.2奇偶性综合应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学抽象、推理及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|奇偶性、单调性的基本概念及单一性质应用|选择、填空为主，如奇偶性图像分析（题1）、单调性比较（题3）| |B级|奇偶性与单调性的综合应用、抽象函数性质|多选、解答题为主，如抽象函数单调性证明（题13）、不等式求解（题12）|

3.2.2.2单调性与奇偶性的综合应用 A级 基础练习 1.(多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是(　　) A.这个函数有2个单调递增区间 B.这个函数有3个单调递减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值-7 2.下列函数是奇函数,且在(0,+∞)上为增函数的是 (　　) A.y=x2 B.y= C.y=x+ D.y=x- 3.已知定义在R上的偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,则f(-3),f(),f(π)的大小顺序是(　　) A.f()<f(-3)<f(π) B.f(-3)<f()<f(π) C.f(π)<f(-3)<f() D.f()<f(π)<f(-3) 4.若奇函数f(x)在区间[1,5]上单调递增,且最小值为3,则它在区间[-5,-1]上(　　) A.单调递增且有最大值-3 B.单调递增且有最小值-3 C.单调递减且有最大值-3 D.单调递减且有最小值-3 5.若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,则f(-1),f(-),f()的大小关系为(　　) A.f()>f(-)>f(-1) B.f()<f(-)<f(-1) C.f(-)<f()<f(-1) D.f(-1)<f()<f(-) 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在区间(-∞,0]上单调递增,则下列不等关系恒成立的是(　　) A.g(g(1))>g(g(2)) B.g(f(1))<g(f(2)) C.f(g(1))>f(g(2)) D.f(f(1))>f(f(2)) 7.设函数f(x)=|x|-,则不等式f(x)>f(2x-1)的解集为　　　　　.  8.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件: ①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数. 若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围. B级 拔高提升 9.(多选题)关于函数y=f(x),y=g(x),下述结论正确的是(　　) A.若y=f(x)是奇函数,则f(0)=0 B.若y=f(x)是偶函数,则y=|f(x)|也是偶函数 C.若y=f(x)(x∈R)满足f(1)<f(2),则f(x)在区间[1,2]上单调递增 D.若y=f(x),y=g(x)均为R上的增函数,则y=f(x)+g(x)也是R上的增函数 10.若定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,且f(-2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　) A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3] 11．若函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( 　 ) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞) 12.已知函数f(x)在[1,+∞)内单调递减且对任意x∈R满足f(x)=f(2-x),则不等式f(2x-3)>f(x)的解集是　　　　　.  13．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足下面两个条件：①对于任意的x，y∈R，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；②当x>0时，f(x)<0，且f(1)＝－2.试求函数f(x)在[－3,3]上的值域． 参考答案 1.BC　根据偶函数的图象关于y轴对称,可得它在定义域[-7,7]上的图象,如图所示,因此这个函数有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC. 2.D　y=x2为偶函数,不符合条件;y=f(x)==1-为非奇非偶函数,不符合题意;y=x+为奇函数,但在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增,不符合题意;y=x-为奇函数,而y=x-在(0,+∞)上单调递增,故选D. 3.C　因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-3)=f(3). 又因为f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,<3<π,得f(π)<f(3)<f(),所以f(π)<f(-3)<f().故选C. 4.A　因为函数f(x)在区间[1,5]上单调递增,且有最小值3,所以f(1)=3.又f(x)为奇函数,所以函数f(x)在区间[-5,-1]上单调递增,且有最大值f(-1)=-f(1)=-3. 故选A. 5.B　∵函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数, ∴f(-x)=(m-1)x2-2mx+3=f(x)=(m-1)x2+2mx+3,∴m=0,即f(x)=-x2+3. ∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,∴f(-1)>f(-)>f(-)=f().即f()<f(-)<f(-1),故选B. 6.C　由题意可知f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,在区间(0,+∞)上单调递减,g(x)在R上单调递增,且g(0)=0, 所以f(1)>f(2),g(2)>g(1)>0. 对于A,因为g(2)>g(1)>0,g(x)在R上单调递增,所以g(g(2))>g(g(1)),故A错误;对于B,因为f(1)>f(2),g(x)在R上单调递增,所以g(f(1))>g(f(2)),故B错误;对于C,因为g(2)>g(1)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以f(g(1))>f(g(2)),故C正确;对于D,因为f(1),f(2)正负不知,所以f(f(1)),f(f(2))大小关系不定,故D错误.故选C. 7.(,1)　函数f(x)的定义域为R,f(-x)=|-x|-=|x|-=f(x),所以函数f(x)为偶函数. 又因为函数y=|x|,y=-在区间[0,+∞)上均单调递增,故函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增. 由f(x)>f(2x-1),得f(|x|)>f(|2x-1|), 则|2x-1|<|x|,即(2x-1)2<x2,即(3x-1)(x-1)<0,解得<x<1,所以原不等式的解集为(,1). 8.解∵f(x)为奇函数,∴f(1-a2)=-f(a2-1), ∴f(1-a)+f(1-a2)<0, 则f(1-a)<-f(1-a2), 即f(1-a)<f(a2-1). ∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数, ∴解得0<a<1, 故实数a的取值范围为(0,1). 9.BD　若y=f(x)是奇函数,当定义域不包含0时不成立,故A错误;若y=f(x)是偶函数,f(x)=f(-x),故|f(x)|=|f(-x)|,y=|f(x)|也是偶函数,B正确;举反例:f(x)=(x-)2满足f(1)<f(2),在[1,2]上不单调递增,故C错误;设x1<x2,则[f(x2)+g(x2)]-[f(x1)+g(x1)]=[f(x2)-f(x1)]+[g(x2)-g(x1)]>0,故y=f(x)+g(x)也是R上的增函数,故D正确. 10.D　因为在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,且f(-2)=0,所以f(x)在(-∞,0)上也是单调递减,且f(0)=0,f(2)=-f(-2)=0,所以当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)>0,当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)<0.所以由xf(x-1)≥0可得或x=0,解得-1≤x<0或1≤x≤3或x=0,即-1≤x≤0或1≤x≤3.所以满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D. 11，　因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．故选A． 12.(,3)　因为f(x)满足对任意x∈R有f(x)=f(2-x),所以f(x)的图象的对称轴为直线x=1, 又函数f(x)在[1,+∞)内单调递减,所以f(x)在(-∞,1)内单调递增, 所以由f(2x-3)>f(x),得(2x-3-1)2<(x-1)2, 解得<x<3,即所求不等式的解集是(,3). 13.　任取x1，x2，且－3≤x1<x2≤3， 则x2－x1>0，f(x2－x1)<0， ∵f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)， ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，即f(x2)<f(x1)， ∴f(x)在[－3,3]上单调递减． 又f(1)＝－2，f(2)＝f(1)＋f(1)＝－4， ∴f(3)＝f(1)＋f(2)＝－2－4＝－6，又f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－3)＝－f(3)＝6，又f(x)在[－3,3]上单调递减， ∴函数f(x)在[－3,3]上的值域为[－6,6]． 1 学科网（北京）股份有限公司 $