第14讲 直线与抛物线的位置关系（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（苏教版选修第一册）

第14讲 直线与抛物线的位置关系 （知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：抛物线基础标准方程与核心性质 知识点02：直线与抛物线的三种位置关系 知识点03：直线与抛物线相交的弦长公式 知识点04：抛物线焦点弦性质 知识点05：抛物线切线方程与切点问题 知识点06：直线与抛物线的中点弦问题（点差法） 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断直线与抛物线的位置关系 题型02：直线与抛物线交点相关问题 题型03：根据韦达定理求参数 题型04：求直线与抛物线相交所得弦的弦长 题型05：抛物线中的三角形或四边形面积问题 题型06：抛物线焦点弦的性质 题型07：抛物线中的参数范围及最值 题型08：抛物线中的定点、定值 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】抛物线基础标准方程与核心性质 考查四类抛物线标准方程，所有直线与抛物线问题均基于以下参数： 1. 开口向右：，焦点，准线 2. 开口向左：焦点，准线 3. 开口向上：，焦点，准线 4. 开口向下：，焦点，准线 核心参数：为焦点到准线的距离，恒有。 【例1】已知抛物线焦点为，求抛物线的标准方程、准线方程。 【知识点02】直线与抛物线的三种位置关系 将直线方程代入抛物线方程，消元得到一元二次/一次方程，通过判别式判定位置关系： 设联立后方程为： 1. ：直线与抛物线相交，有2个不同公共点； 2. ：直线与抛物线相切，有1个公共点（切线）； 3. ：直线与抛物线相离，无公共点。 易错重点：联立后若二次项系数，方程为一次方程，直线与抛物线交于一点（相交非相切，直线平行于对称轴）。 【例2】判断直线与抛物线的位置关系。 【知识点03】直线与抛物线相交的弦长公式 直线与抛物线交于，直线斜率为，弦长通用公式： 结合韦达定理：联立方程，则。 【例3】已知直线与抛物线交于两点，求弦长。 【知识点04】抛物线焦点弦性质 过抛物线焦点的直线交抛物线于，有核心秒杀结论： 1. ， 2. 焦点弦长： 3. 最短焦点弦为通径，通径长： 【例4】已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，求的值及焦点弦长公式。 【知识点05】抛物线切线方程与切点问题 抛物线上一点处的切线方程： 切线核心判定：联立直线与抛物线，令，求解参数即可得切线斜率/方程。 【例5】求抛物线在点处的切线方程。 【知识点06】直线与抛物线的中点弦问题（点差法） 已知抛物线弦中点为，采用点差法快速求斜率： 设在上，则： 两式作差： 因式分解得： 斜率公式： 【例6】已知抛物线的弦中点为，求直线的斜率。 【题型01】判断直线与抛物线的位置关系 【典例1-1】已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式1-1】直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式1-2】抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【变式1-3】已知抛物线C:，焦点为，点在抛物上，设，其中． （I）求焦点的坐标； （Ⅱ）试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明． 【题型02】直线与抛物线交点相关问题 【典例2-1】（25-26高二上·江苏·期中）已知抛物线C：与直线交于两点，若（O为坐标原点），则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】设抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为__________． 【变式2-2】（多选）已知斜率为的直线l经过抛物线的焦点，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线过点，直线过点与抛物线相交于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若，求直线的方程. 【题型03】根据韦达定理求参数 【典例3-1】过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，是原点，则（    ） A．-1 B． C． D．0 【变式3-1】（25-26高二上·江苏南京·期中）若直线与抛物线：交于，两点，且线段中点的横坐标为2，则直线的斜率为（　　） A．-1 B． C．1 D．2 【变式3-2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的焦点为F，点，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线与C的另一个交点分别为M，N．当直线斜率不存在时，______；当直线斜率存在时，______． 【变式3-3】（24-25高二上·江西·期中）已知抛物线的焦点为．过的直线与交于，两点，． (1)求的值； (2)求直线与的公共点个数； (3)证明：． 【题型04】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【典例4-1】（24-25高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【变式4-1】过抛物线的焦点F作倾斜角是的直线，交抛物线于A，B两点，则（    ） A．8 B． C． D．16 【变式4-2】直线过抛物线的焦点，与交于两点，则________． 【变式4-3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点． (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度. 【题型05】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【典例5-1】（24-25高二上·浙江温州·期末）已知点是抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足.则的面积为（   ） A．4 B． C．8 D．16 【变式5-1】已知抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限．过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q．若直线PF的斜率为，则是面积为______． 【变式5-2】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知抛物线的焦点为，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于点和，其中点在第一象限． (1)若直线的倾斜角为，求线段的长； (2)求四边形的面积的最小值． 【变式5-3】（25-26高二上·江苏扬州·期末）已知抛物线，经过其焦点作斜率大于0的直线，与抛物线交于A，B两点．设A，B两点的横坐标分别为，且的等差中项为3． (1)求直线的方程； (2)若线段的垂直平分线与轴交于点，求三角形的面积． 【题型06】抛物线焦点弦的性质 【典例6-1】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）过抛物线的焦点且垂直于轴的弦长度为2，则正数的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式6-1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为3，则弦的长____________ 【变式6-3】（多选）（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段检测）已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．直线过焦点 B．当时，，两点横坐标的和为5 C．当时，直线截抛物线所得的弦长为8 D．以为直径的圆与相切 【题型07】抛物线中的参数范围及最值 【典例7-1】抛物线的顶点是抛物线上到点的距离最近的点，则实数的a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】抛物线上的点到直线的距离最小值是________. 【变式7-2】（多选）已知点是焦点为的抛物线上的一个动点，，则（   ） A．的最小值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最大值为 【变式7-3】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为. (1)求轨迹为的方程 (2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围. 【题型08】抛物线中的定点、定值 【典例8-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上两点满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】过x轴上点的直线与抛物线交于A，B两点，若为定值，则实数a的值为______． 【变式8-2】（多选）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．线段的中点在一条定直线上 C．为定值（、分别为直线、的斜率） D．为定值（为抛物线的焦点） 【变式8-3】（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，M，N分别为AB，DE的中点，证明：直线MN过定点． 知识点01核心概述 本讲核心为研究直线与抛物线的位置关系，主流解题方法为联立方程法、判别式法、韦达定理、点差法，重点考查位置关系判定、弦长计算、焦点弦性质、切线方程、中点弦问题，是圆锥曲线核心高频考点。 知识点02前置基础：抛物线标准方程与性质 为抛物线焦点到准线的距离，恒满足，四类标准方程核心性质： 1. 开口向右：，焦点，准线 2. 开口向左：，焦点，准线 3. 开口向上：，焦点，准线 4. 开口向下：，焦点，准线 知识点03直线与抛物线的三种位置关系 1. 判定方法 将直线与抛物线方程联立消元，得到一元方程，根据方程类型和判别式判定位置关系： 联立得方程： ① 当（二次方程）： ：直线与抛物线相交，2个公共点； ：直线与抛物线相切，1个公共点（切点）； ：直线与抛物线相离，无公共点。 ② 当（一次方程）： 直线平行于抛物线对称轴，与抛物线相交于一点，并非切线（高频易错点）。 知识点04弦长计算公式 设直线与抛物线交于，直线斜率为，由韦达定理得。 1. 通用弦长公式： 2. 斜率不存在（直线垂直x轴）： 解题技巧：优先使用韦达定理整体代入，避免单独求解交点坐标，简化运算。 知识点05焦点弦核心性质（压轴考点） 过抛物线焦点的直线交抛物线于，满足以下定值与长度结论： 1. 坐标定值结论： 2. 焦点弦长公式： 3. 通径性质：垂直于对称轴的焦点弦为通径，通径长，是抛物线最短焦点弦。 知识点06抛物线切线方程 抛物线上任意一点处的切线标准方程： 通用求解方法：联立直线与抛物线方程，令判别式，求解切线斜率与方程。 知识点07中点弦问题（点差法） 1. 核心原理 已知抛物线弦中点，通过点差法快速推导直线斜率，适用于所有中点弦题型。 2. 核心公式 对于抛物线，弦斜率： 重要注意：点差法求出斜率后，必须验证直线与抛物线是否相交，避免增根。 知识点08高频易错点汇总 1. 一点不等同于切线：直线平行抛物线对称轴时仅有一个交点，属于相交，不是相切； 2. 联立方程需分类讨论：必须判断二次项系数是否为0，防止漏解； 3. 焦点弦、通径公式仅适用于标准抛物线，不可盲目套用在非标准方程上； 4. 中点弦问题务必验证相交性，点差法无法自动判别直线与曲线位置关系； 5. 解题优先使用整体代换思想，利用韦达定理计算弦长、参数，减少计算失误。 一、单选题 1．已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 2．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）过抛物线的焦点的弦，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，有，则直线的斜率是（   ） A． B． C． D． 6．已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高二上·江苏无锡·阶段检测）设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形 8．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·河南·阶段检测）已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为16 D．若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为 10．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则 C．的最小值为16 D．为钝角 11．弦经过抛物线的焦点，设、，下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．以弦为直径的圆与准线相切 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知直线与抛物线相交于两点，线段的中点的横坐标为，点为轴上的动点.若的最小值为，则实数的值为__________. 13．（24-25高二上·山西太原·期末）已知过抛物线C：（）的焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两个不同点，若，则（O是坐标原点）的面积为__________. 14．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线，直线与相交于，两点，若的准线上一点满足，则的坐标为_____. 四、解答题 15．已知抛物线方程为，过点的直线AB交抛物线于点A、B，若线段AB的垂直平分线交x轴于点，求的取值范围. 16．（24-25高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. (1)若直线的斜率为1，求； (2)求证：. 17．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.直线与交于，两点，且点为线段的中点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若为坐标原点，求的面积. 18．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 19．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 直线与抛物线的位置关系 （知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：抛物线基础标准方程与核心性质 知识点02：直线与抛物线的三种位置关系 知识点03：直线与抛物线相交的弦长公式 知识点04：抛物线焦点弦性质 知识点05：抛物线切线方程与切点问题 知识点06：直线与抛物线的中点弦问题（点差法） 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断直线与抛物线的位置关系 题型02：直线与抛物线交点相关问题 题型03：根据韦达定理求参数 题型04：求直线与抛物线相交所得弦的弦长 题型05：抛物线中的三角形或四边形面积问题 题型06：抛物线焦点弦的性质 题型07：抛物线中的参数范围及最值 题型08：抛物线中的定点、定值 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】抛物线基础标准方程与核心性质 考查四类抛物线标准方程，所有直线与抛物线问题均基于以下参数： 1. 开口向右：，焦点，准线 2. 开口向左：焦点，准线 3. 开口向上：，焦点，准线 4. 开口向下：，焦点，准线 核心参数：为焦点到准线的距离，恒有。 【例1】已知抛物线焦点为，求抛物线的标准方程、准线方程。 解析 1. 判定开口：焦点在轴正半轴，抛物线开口向右，设方程为； 2. 由焦点坐标得：，解得； 3. 代入标准方程得：； 4. 准线方程：。 结论：标准方程为，准线方程为。 【知识点02】直线与抛物线的三种位置关系 将直线方程代入抛物线方程，消元得到一元二次/一次方程，通过判别式判定位置关系： 设联立后方程为： 1. ：直线与抛物线相交，有2个不同公共点； 2. ：直线与抛物线相切，有1个公共点（切线）； 3. ：直线与抛物线相离，无公共点。 易错重点：联立后若二次项系数，方程为一次方程，直线与抛物线交于一点（相交非相切，直线平行于对称轴）。 【例2】判断直线与抛物线的位置关系。 解：1. 联立方程：将代入 2. 展开整理： 3. 计算判别式： 4. 判定关系：，直线与抛物线相切。 结论：直线与抛物线相切。 【知识点03】直线与抛物线相交的弦长公式 直线与抛物线交于，直线斜率为，弦长通用公式： 结合韦达定理：联立方程，则。 【例3】已知直线与抛物线交于两点，求弦长。 解：1. 联立方程：将代入 2. 整理化简： 3. 判别式，无交点，说明直线与抛物线相离，无弦长。 变式替换真题：将直线改为重新求解 联立： 韦达定理： 斜率，代入弦长公式： 结论：弦长。 【知识点04】抛物线焦点弦性质 过抛物线焦点的直线交抛物线于，有核心秒杀结论： 1. ， 2. 焦点弦长： 3. 最短焦点弦为通径，通径长： 【例4】已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，求的值及焦点弦长公式。 解：1. 由抛物线方程得，即； 2. 代入焦点弦结论： 3. 焦点弦长： 结论：，焦点弦长 【知识点05】抛物线切线方程与切点问题 抛物线上一点处的切线方程： 切线核心判定：联立直线与抛物线，令，求解参数即可得切线斜率/方程。 【例5】求抛物线在点处的切线方程。 解：1. 由题意得，切点； 2. 代入切线公式： 3. 化简整理： 结论：切线方程为。 【知识点06】直线与抛物线的中点弦问题（点差法） 已知抛物线弦中点为，采用点差法快速求斜率： 设在上，则： 两式作差： 因式分解得： 斜率公式： 【例6】已知抛物线的弦中点为，求直线的斜率。 解：1. 由抛物线得，中点； 2. 代入点差法斜率公式： 结论：直线的斜率为2。 【题型01】判断直线与抛物线的位置关系 【典例1-1】已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 【变式1-1】直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【详解】直线过定点， ∵， ∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A 【变式1-2】抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】求出直线AF的中垂线方程，代入，可得，即可得出结论． 【详解】设，，则的中点坐标为，，所以中垂线的斜率为，所以直线的中垂线方程为，代入，可得 ∴，∵线段FA的中垂线与抛物线相切. 故选：B 【变式1-3】已知抛物线C:，焦点为，点在抛物上，设，其中． （I）求焦点的坐标； （Ⅱ）试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）相切，证明见解析. 【解析】（Ⅰ）求出的值，可得焦点的坐标； （Ⅱ）分别求出直线的斜率与抛物线C：上过点的切线的斜率，可得其相等，可证明直线与抛物线C相切. 【详解】解：（Ⅰ）由抛物线C：，可得：，， 可得焦点的坐标为； （Ⅱ）直线与抛物线C相切，证明如下： 由点及点，可得， 又，可得，可得， 同时由抛物线C：，，， 所以过的切线的斜率为：， 所以直线与抛物线C相切. 【题型02】直线与抛物线交点相关问题 【典例2-1】（25-26高二上·江苏·期中）已知抛物线C：与直线交于两点，若（O为坐标原点），则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先联立抛物线与直线方程，得到交点坐标的关系，再利用向量数量积的坐标运算建立关于的方程，进而求解的值. 【详解】联立，得， ，得， 设，，则， 所以．因为， 所以，解得或． 故选：C. 【变式2-1】设抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为__________． 【答案】或 【分析】设 由得，由均在抛物线上求出可得直线的斜率，再由点斜式方程方程可得答案. 【详解】由题， ，又， 则，， 由题意知,，因此， 即， 又由均在抛物线上知， 解得， 直线的斜率为， 因此直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式2-2】（多选）已知斜率为的直线l经过抛物线的焦点，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意可得方程，联立曲线即可解出A，B两点坐标，结合两点间距离公式与向量数量积逐项计算即可得. 【详解】由题意可得，则， 联立可得，解得或， 即，， 对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，，则， 故与不垂直，即不为，故C错误； 对D：，又，故，故D正确. 故选：AD. 【变式2-3】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线过点，直线过点与抛物线相交于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入方程求出，即可求得抛物线C的方程； （2）直线l过点，所以设直线的方程为：，联立方程组可知，，由，所以，然后求解即可. 【详解】（1）抛物线C：过点，所以，， 故抛物线C的方程为：. （2）    直线l过点，所以设直线的方程为：， 联立方程组得：，所以， ，设，， 所以，， 因为，所以， 所以，所以解得， 所以直线的方程为或. 【题型03】根据韦达定理求参数 【典例3-1】过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，是原点，则（    ） A．-1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】设过抛物线焦点F的直线为，，联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，然后算出的值，然后可得答案. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 设过抛物线焦点F的直线为， 由可得，所以， 所以 故选：B 【变式3-1】（25-26高二上·江苏南京·期中）若直线与抛物线：交于，两点，且线段中点的横坐标为2，则直线的斜率为（　　） A．-1 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】设直线方程为，与抛物线联立得：，再根据线段中点的横坐标为2，得，从而求出斜率. 【详解】依题意，直线斜率存在，设直线方程为， 与抛物线联立得：， 设，， 由韦达定理得：， 又因为线段中点的横坐标为2， 得， 所以， 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的焦点为F，点，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线与C的另一个交点分别为M，N．当直线斜率不存在时，______；当直线斜率存在时，______． 【答案】 2 4 【分析】第一空：当直线斜率不存在时，求出的坐标即可求解； 第二空：当直线斜率存在时，设，由直线与抛物线方程联立结合韦达定理进行求解． 【详解】第一空： 抛物线的焦点为， 当直线斜率不存在时， ， 则． 第二空： 当直线斜率存在时，设， 如图所示： 直线的方程为：，代入，可得， 得，得， 同理得， 则， 设直线的方程为：，代入， 可得， 则，得， 故答案为：2；4 【变式3-3】（24-25高二上·江西·期中）已知抛物线的焦点为．过的直线与交于，两点，． (1)求的值； (2)求直线与的公共点个数； (3)证明：． 【答案】(1) (2)1个 (3)证明：由（1）知，， 所以 ， 所以． 【分析】（1）设出直线方程，直曲联立，由韦达定理可得； （2）由坐标表示出直线的斜率进而得到直线方程，直曲联立，得到二次方程的根只有一个即可求出； （3）由向量乘积的坐标表示再结合韦达定理化简得到数量积为零即可证明； 【详解】（1）设直线的方程为， 与联立得， 所以． （2）直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即， 与联立得， 解得， 所以直线与只有1个公共点． （3）略 【题型04】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【典例4-1】（24-25高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】因为为抛物线：的焦点，则，， 又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为， 联立，消去，得， 显然，所以， 则. 故选：B. 【变式4-1】过抛物线的焦点F作倾斜角是的直线，交抛物线于A，B两点，则（    ） A．8 B． C． D．16 【答案】D 【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式设出直线方程：，与抛物线方程联解得一个关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段的长度． 【详解】根据抛物线方程得：焦点坐标， 直线的斜率为， 设直线的方程为，，，，， 由得， 所以，， 所以弦长． 故选：D． 【变式4-2】直线过抛物线的焦点，与交于两点，则________． 【答案】10 【分析】先求出，再利用公式可求. 【详解】因为直线过抛物线的焦点，故即， 故抛物线， 设， 由可得， 故， 故答案为：10. 【变式4-3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点． (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据抛物线焦点的位置分类讨论，设出抛物线的方程，把点代入求解即可； （2）求出直线的方程，代入抛物线，利用弦长公式求解. 【详解】（1）若抛物线焦点在轴上，则可设， 抛物线经过点，，解得：， 抛物线方程为：； 若抛物线焦点在轴上，则可设， 抛物线经过点，，解得：， 抛物线方程为：， 综上所述：抛物线的方程为：或. （2）由（1）知：抛物线的方程为：，焦点为， 则直线， 代入抛物线方程，消去得，则，显然， 所以，， 则. 【题型05】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【典例5-1】（24-25高二上·浙江温州·期末）已知点是抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足.则的面积为（   ） A．4 B． C．8 D．16 【答案】C 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，即可得到知为等腰直角三角形，从而得到也为等腰直角三角形，且腰长为，即可求出三角形的面积. 【详解】抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且， 过点作准线的垂线，垂足为，则，所以， 则，所以， 所以为等腰直角三角形，所以也为等腰直角三角形，且腰长为， 所以该三角形的面积为. 故选：C． 【变式5-1】已知抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限．过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q．若直线PF的斜率为，则是面积为______． 【答案】 【分析】确定焦点坐标，设，根据斜率得到，，再计算面积即可. 【详解】抛物线的焦点为，设，，则， 解得或（舍），，准线方程为，则， . 故答案为：. 【变式5-2】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知抛物线的焦点为，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于点和，其中点在第一象限． (1)若直线的倾斜角为，求线段的长； (2)求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理以及抛物线的定义可求； （2）设，，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理以及抛物线的定义求出，最后根据以及基本不等式求最值. 【详解】（1）由题可知，， 则直线的方程为 联立，得，． 设，则， 则线段的长为. （2）依题意，，直线的斜率存在且不为0，设，， 由，得，显然， 设，则，得， 同理可得，， 四边形的面积，等号成立时， 故四边形的面积取得最小值32． 【变式5-3】（25-26高二上·江苏扬州·期末）已知抛物线，经过其焦点作斜率大于0的直线，与抛物线交于A，B两点．设A，B两点的横坐标分别为，且的等差中项为3． (1)求直线的方程； (2)若线段的垂直平分线与轴交于点，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：设，然后与抛物线方程联立消去，结合韦达定理和已知条件，求出直线的方程；方法二：设，然后与抛物线方程联立消去，结合韦达定理和已知条件，求出直线的方程. （2）先求出的垂直平分线方程，然后求得点到直线的距离，进而可求出的面积. 【详解】（1）方法一：由题知． 因为斜率大于0，所以设． 由，消得，所以． 因为A，B两点的横坐标分别为，且的等差中项为3，所以． 所以直线的方程为. 方法二：由题知． 因为斜率大于0，所以设． 由，消得，所以． 因为A，B两点的横坐标分别为，且的等差中项为3， 所以，所以． 所以，直线的方程为． （2）的垂直平分线方程为，即， 所以，点到直线的距离， 所以． 【题型06】抛物线焦点弦的性质 【典例6-1】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）过抛物线的焦点且垂直于轴的弦长度为2，则正数的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】抛物线方程求得弦长，进而可求正数的值. 【详解】由抛物线可得焦点坐标为， 当时，，所以， 又因为过抛物线的焦点且垂直于轴的弦长度为2，所以， 所以. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 【变式6-2】已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为3，则弦的长____________ 【答案】8 【分析】利用抛物线的定义即可得出． 【详解】由题设知线段AB的中点到准线的距离为4， 设A，B两点到准线的距离分别为， 由抛物线的定义知：． 故答案为：8 【变式6-3】（多选）（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段检测）已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A．直线过焦点 B．当时，，两点横坐标的和为5 C．当时，直线截抛物线所得的弦长为8 D．以为直径的圆与相切 【答案】ACD 【分析】利用直线的点斜式方程可判断A正确，联立直线与抛物线方程利用韦达定理可得B错误，由焦半径公式计算可得C正确，再结合梯形中位线性质可证明D正确. 【详解】对于A，易知抛物线的焦点； 由直线可得，由直线的点斜式方程可得直线过定点，可得A正确； 对于B，当时，， 联立，整理可得， 由韦达定理可得，因此，两点横坐标的和为6，即B错误； 对于C，结合B选项，由焦半径公式可得， 即直线截抛物线所得的弦长为8，即C正确; 对于D，易知准线方程为，分别作垂直于准线，垂足为，如下图所示： 因为直线过焦点，可得， 线段的中点到准线的距离为，可得， 以为直径的圆与准线相切，可得D正确. 故选：ACD 【题型07】抛物线中的参数范围及最值 【典例7-1】抛物线的顶点是抛物线上到点的距离最近的点，则实数的a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设是抛物线上任一点，求出，由时取得最值可得的范围． 【详解】设是抛物线上任一点， 则， ∵，∴当，即时，时，． 故选：D． 【变式7-1】抛物线上的点到直线的距离最小值是________. 【答案】 【分析】设出抛物线上动点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的性质即可得结果. 【详解】设抛物线一点为， 该点到直线的距离为， 当，即时，取得最小值为， 故答案为：. 【变式7-2】（多选）已知点是焦点为的抛物线上的一个动点，，则（   ） A．的最小值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】根据抛物线的焦半径公式，即可求解AB ,根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解C，根据两点斜率公式，结合正切的和差角公式，分类讨论，利用导数求解函数的最值，即可求解D. 【详解】由抛物线方程，得其焦点，准线方程为，过作于点，则，显然当在坐标原点时有最小值，此时，即的最小值为1，所以A正确； 由于，故当三点共线时，即在坐标原点时有最小值，此时，即的最小值为4，所以B正确； 对于C选项， 设，则，当时，取得最小值，最小值为，所以C错误． 对于D选项， 根据抛物线的对称性，不妨设， 若，则，，，所以； 若，则，，，所以； 若且，此时且， ，，所以， 因为，所以，即． 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以．此时有最大值为1．而，则． 综上，的最大值为．所以D错误． 故选:AB． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 【变式7-3】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为. (1)求轨迹为的方程 (2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设出点的坐标，列出等式，进而求得点的轨迹的方程； （2）设出直线的方程，将直线的方程与轨迹的方程联立，结合判别式和根的范围，即可求解. 【详解】（1）解：设是轨迹上的任意一点， 因为点到点的距离比它到的距离多，可得， 即，整理得， 所以点的轨迹的方程为. （2）解：在点轨迹中，记， 因为斜率的直线过定点，不妨设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 当时，，此时，可得直线与轨迹恰好有一个公共点； 当时，可得，不妨设直线与轴的交点为， 令，解得， 若直线与轨迹恰好有一个公共点，则满足， 解得或， 综上，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点. 【题型08】抛物线中的定点、定值 【典例8-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上两点满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况，设的方程，将其与抛物线方程联立消去，根据韦达定理求得的表达式，由推出，借助于韦达定理求得，即可判断. 【详解】当直线垂直于轴时，设其方程为，，则， 由，可得，解得，此时直线：，恒过定点； 当直线的斜率存在时，设其方程为代入抛物线，得， 设，则，且，， 所以 ，解得，则直线，恒过定点. 综上，可得直线过定点， 故选：B. 【变式8-1】过x轴上点的直线与抛物线交于A，B两点，若为定值，则实数a的值为______． 【答案】4 【分析】设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程可得，，然后得到，再根据为定值列方程，解方程即可. 【详解】设直线的方程为，联立得， 设，，则，， ，同理可得， 所以， 因为为定值，所以，解得. 故答案为：4. 【点睛】型式子为定值求参数的方法： ①让分子分母对应项系数比值相等，例如：为定值，则，解方程即可； ②设，然后根据定值与变量无关列方程，例如：为定值，设，整理得，定值与变量无关，所以. 【变式8-2】（多选）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．线段的中点在一条定直线上 C．为定值（、分别为直线、的斜率） D．为定值（为抛物线的焦点） 【答案】BC 【分析】分析可知，，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A选项；求出线段中点的纵坐标，可判断B选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项. 【详解】若，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，则， 设直线的方程为，联立可得， ，    对于A选项，不一定是定值，A错； 对于B选项，设线段的中点为，则， 为定值，故线段的中点在定直线上，B对； 对于C选项，为定值，C对； 对于D选项，不一定为定值，D错. 故选：BC. 【变式8-3】（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，M，N分别为AB，DE的中点，证明：直线MN过定点． 【答案】证明见解析 【分析】设出两点坐标，直曲联立，用韦达定理得到坐标，再得到直线方程，找到定点. 【详解】因为抛物线的焦点为F，所以，    由题意可知：直线l与直线DE的斜率都存在，且均不为0， 设直线l的方程为，，， 联立方程，消去x化简得， 则，， 可得，，即， 同理可得：， 若点M，N的横坐标相等，即，解得， 此时直线MN的斜率不存在，直线MN的方程为； 若点M，N的横坐标不相等，即， 则直线MN的斜率， 可得直线MN的方程为， 所以直线MN过点． 综上所述：直线MN过定点． 知识点01核心概述 本讲核心为研究直线与抛物线的位置关系，主流解题方法为联立方程法、判别式法、韦达定理、点差法，重点考查位置关系判定、弦长计算、焦点弦性质、切线方程、中点弦问题，是圆锥曲线核心高频考点。 知识点02前置基础：抛物线标准方程与性质 为抛物线焦点到准线的距离，恒满足，四类标准方程核心性质： 1. 开口向右：，焦点，准线 2. 开口向左：，焦点，准线 3. 开口向上：，焦点，准线 4. 开口向下：，焦点，准线 知识点03直线与抛物线的三种位置关系 1. 判定方法 将直线与抛物线方程联立消元，得到一元方程，根据方程类型和判别式判定位置关系： 联立得方程： ① 当（二次方程）： ：直线与抛物线相交，2个公共点； ：直线与抛物线相切，1个公共点（切点）； ：直线与抛物线相离，无公共点。 ② 当（一次方程）： 直线平行于抛物线对称轴，与抛物线相交于一点，并非切线（高频易错点）。 知识点04弦长计算公式 设直线与抛物线交于，直线斜率为，由韦达定理得。 1. 通用弦长公式： 2. 斜率不存在（直线垂直x轴）： 解题技巧：优先使用韦达定理整体代入，避免单独求解交点坐标，简化运算。 知识点05焦点弦核心性质（压轴考点） 过抛物线焦点的直线交抛物线于，满足以下定值与长度结论： 1. 坐标定值结论： 2. 焦点弦长公式： 3. 通径性质：垂直于对称轴的焦点弦为通径，通径长，是抛物线最短焦点弦。 知识点06抛物线切线方程 抛物线上任意一点处的切线标准方程： 通用求解方法：联立直线与抛物线方程，令判别式，求解切线斜率与方程。 知识点07中点弦问题（点差法） 1. 核心原理 已知抛物线弦中点，通过点差法快速推导直线斜率，适用于所有中点弦题型。 2. 核心公式 对于抛物线，弦斜率： 重要注意：点差法求出斜率后，必须验证直线与抛物线是否相交，避免增根。 知识点08高频易错点汇总 1. 一点不等同于切线：直线平行抛物线对称轴时仅有一个交点，属于相交，不是相切； 2. 联立方程需分类讨论：必须判断二次项系数是否为0，防止漏解； 3. 焦点弦、通径公式仅适用于标准抛物线，不可盲目套用在非标准方程上； 4. 中点弦问题务必验证相交性，点差法无法自动判别直线与曲线位置关系； 5. 解题优先使用整体代换思想，利用韦达定理计算弦长、参数，减少计算失误。 一、单选题 1．已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据可得，再根据韦达定理即可求出的坐标，进而可求解. 【详解】 抛物线的焦点， 设，假设， 显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零， 设弦所在的直线方程为， 联立，消去可得，， 所以， 因为，所以，则， 所以，解得，所以， 所以， 所以弦的中点的坐标为， 所以弦的中点轴的距离为， 故选:C. 2．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两点的纵坐标，由此求得. 【详解】抛物线的焦点为， 直线的方程为， 由，解得， 所以. 故选：D 3．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程可得韦达定理，进而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二级结论求解. 【详解】方法一：由题意知抛物线焦点，所以直线. 由得. 设，,则由抛物线的几何性质，得. 方法二：由于，因为，所以. 故选：A. 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）过抛物线的焦点的弦，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据可得，设直线方程联立抛物线，由根与系数关系得出，即而求出B点，根据斜率公式求解即可. 【详解】设， 由，可得，即 ， 设直线方程为：， ，， ， 故选：D 5．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，有，则直线的斜率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作于E.由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，的值，从而得到直线AB的斜率k值. 【详解】作出抛物线的准线l：，设A、B在l上的射影分别是C、D， 连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E. ∵，∴设， 由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得. 因此，Rt△ABE中，，， 则直线AB的斜率， 故选：B. 6．已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设直线的方程为，与抛物线的方程联立，结合韦达定理和抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的方程为，则其焦点， 设直线的方程为， 由，可得：， ，， 根据抛物线定义，， 因为，所以， 所以 即，解得：. 故选：B. 7．（24-25高二上·江苏无锡·阶段检测）设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形 【答案】C 【分析】由直线过抛物线的焦点，即可求得，进而判断A；将直线方程代入抛物线方程，结合韦达定理得出，由焦半径公式即可判断B；由的中点的横坐标得出中点到抛物线的准线的距离，即可判断C；分别求出两点的坐标，根据韦达定理即可判断D． 【详解】对于A，直线过抛物线的焦点，可得，所以，故A错误； 对于B，抛物线方程为：，与交于两点， 直线方程代入抛物线方程可得，，所以， 所以，故B不正确； 对于C，的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为， 所以以为直径的圆与相切，故C正确； 对于D，由B得，，解得或， 不妨设，则， 所以，， 所以不是等腰三角形，故D错误； 故选：C 8．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，垂足为，利用抛物线的定义得到，可知当三点共线时有最小值，再利用点到直线的距离公式计算. 【详解】过点作，垂足为， 由题意可知，直线的方程为，抛物线的焦点为， 由抛物线的定义可知，， 则，等号成立时三点共线， 点到直线的距离为， 故的最小值为. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高二上·河南·阶段检测）已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为16 D．若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为 【答案】ACD 【分析】把过点的直线方程设为，与联立，用韦达定理即可得到选项A正确，B错误；利用弦长公式即可求出弦长，再利用，即得得到坐标原点即为的外心，再利用不等式即可求得结果. 【详解】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由，得， 所以，，，故A正确，B错误； ， 所以，当且仅当时，取到最小值，故C正确； 因为，所以，所以的外心就是弦的中点， 记为，其中，．由，以及， 得， 即，所以直线的斜率．要求直线的斜率的最大值，所以， 所以，当且仅当， 即时“=”号成立，即直线的斜率的最大值为，故D正确. 故选：ACD． 10．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则 C．的最小值为16 D．为钝角 【答案】BCD 【分析】结合抛物线的定义、韦达定理及向量数量积的性质，逐一分析各选项的正确性. 【详解】选项A：抛物线，，准线方程为，A错误. 选项B：由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 故.若，则，B正确. 选项C：过焦点的直线与抛物线交于、， 当直线垂直轴时，，，此时； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 由韦达定理得，， 而，， 故 . 综上所述，，故最小值为16，C正确. 选项D：向量，， ，而，所以， 故，且不共线，故为钝角，D正确. 故选：BCD. 11．弦经过抛物线的焦点，设、，下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．以弦为直径的圆与准线相切 【答案】BCD 【分析】利用抛物线的焦半径公式可判断A选项；设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断C选项；利用弦长公式可判断B选项；利用抛物线的焦点弦公式以及直线与圆的位置关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，准线方程为， 由抛物线的焦半径公式可得，A错； 对于BC选项，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 所以， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，B对C对； 对于D选项，弦的中点为，点到准线的距离为， 由焦点弦长公式可得，所以以弦为直径的圆与准线相切，D对. 故选：BCD. 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知直线与抛物线相交于两点，线段的中点的横坐标为，点为轴上的动点.若的最小值为，则实数的值为__________. 【答案】或 【分析】设点，联立直线与抛物线，利用韦达定理以及中点坐标，设点关于轴的对称点为，可得，代入计算即可求出实数的值. 【详解】设点， 联立，消去整理得， 则， 因为线段的中点的横坐标为， 所以，即， 设点关于轴的对称点为，则， 所以 ， 所以，即， 解得或，满足. 故答案为：或. 13．（24-25高二上·山西太原·期末）已知过抛物线C：（）的焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两个不同点，若，则（O是坐标原点）的面积为__________. 【答案】1 【分析】设直线方程为，设，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理结合弦长公式求得，再求出到直线的距离后，由面积公式计算． 【详解】由题意，直线方程为，设， 由得， 所以， 又， 所以，解得（负值舍去），即直线方程为， 所以到直线的距离为， ， 故答案为：1. 14．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线，直线与相交于，两点，若的准线上一点满足，则的坐标为_____. 【答案】/ 【分析】根据抛物线标准方程确定其准线方程，设出准线上动点的坐标形式，将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理得到两交点横、纵坐标的和与积的关系式，然后，将垂直条件转化为两向量的数量积为零，写出代数等式并代入韦达定理所得的坐标关系式，得到关于动点纵坐标的一元二次方程. 【详解】已知抛物线，则准线方程为，设点在准线上，， 将直线代入抛物线方程得： ， 化简整理得：， 设，则是方程的两个根， ， 由得：， 于是 则， 代入，得：， ，， 即， 化简得： 代入已知数值得：， 整理得：， 即故，即. 故答案为： 四、解答题 15．已知抛物线方程为，过点的直线AB交抛物线于点A、B，若线段AB的垂直平分线交x轴于点，求的取值范围. 【答案】（4，+∞） 【分析】先求线段AB的垂直平分线的方程，进而可得n关于斜率的函数，利用配方法可求n的取值范围 【详解】设直线AB的方程为y＝k（x+2）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2） 把y＝k（x+2）代入抛物线方程可得：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2＝0 ∴，x1x2＝4 ∴，y1y2＝8 ∴线段AB的中点C的坐标为 ∴直线CQ的方程为 令y＝0，则 ∵过点P（﹣2，0）的直线AB交抛物线于点A、B， 且， ∴ ∴， ∴n的取值范围为（4，+∞） 16．（24-25高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. (1)若直线的斜率为1，求； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明：当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去， 设直线的方程为， 与联立得， 设，则， 则， 故， 故. 【分析】（1）直线的方程为，联立，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到； （2）当直线的斜率为0时，不合要求，设直线的方程为，与联立得，得到两根之和，两根之积，计算出，得到，得到垂直关系. 【详解】（1）直线的方程为， 联立得， 设，则， 则； （2）略 17．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.直线与交于，两点，且点为线段的中点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出即得抛物线方程； （2）设，由中点弦公式计算可得，直线的方程为，直线与抛物线联立方程，利用弦长公式及三角形面积公式列式计算即可求解. 【详解】（1）由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为； （2）如图，由题意，设， 代入抛物线方程，可得， 两式相减可得，即， 由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. 联立，得，其中， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积. 18．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）关于轴的对称点与三点在同一直线上，设直线的方程为，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系可求，进而求得抛物线的方程； （2）求得直线的方程，设，利用点到直线的距离公式可求到直线距离的最小值. 【详解】（1）抛物线的焦点 因为直线与直线斜率之和为0， 所以点关于轴的对称点与三点在同一直线上，    设直线的方程为， 与抛物线联立可得，消去得， 由是方程的两根， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2）因为在抛物线上，所以，所以， 所以，又，所以，又且直线， 所以的方程为， 设，所以点到直线距离； 当时，到直线距离取最小值，最小值为. 19．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)由抛物线对称性，不妨令点在轴上方， 由（1）知，，焦点， 显然直线不垂直于坐标轴， 设其方程为，如图所示： 由消去得：， 因为， 设，，所以， 直线的斜率为:，方程为， 直线的斜率为:，方程为， 由，消去得：， 整理得： ， 因此点的横坐标恒为， 所以点在定直线上. 【分析】（1）根据已知条件先找出直线的方程，联立直线和抛物线方程解出，从而得出的值建立方程求出的值即可； （2）由抛物线的对称性进行分析后，设直线，联立直线和抛物线方程，分析写出韦达定理，分别求出直线的方程，联立两直线方程分析即可得出结论. 【详解】（1）如图所示： 抛物线的焦点，则直线， 由得， 依题意，解得， 所以抛物线的方程为. （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $