3.3.1 抛物线的标准方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、标准方程及应用，新课导入从初中二次函数抛物线和物理抛射轨道入手，衔接已有知识，引导学生深入探究圆锥曲线的性质，搭建知识递进的学习支架。 其亮点在于通过喷泉、卫星接收天线等现实情境培养数学眼光，结合定义应用（如距离转化、最值问题）发展数学思维，以待定系数法、建系求解等规范步骤强化数学语言。例题与跟踪训练注重分类讨论与转化思想，助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

第3章 圆锥曲线与方程 1 3.3 抛物线 3.3.1 抛物线的标准方程 2 美丽的喷泉、绽放的烟花等视觉盛宴来自条条抛物线，在初中我们已 经学习过抛物线（二次函数的图象），我们能否像学习圆、椭圆、双曲线 那样对抛物线进行更深入的研究呢？ 返回导航 新课导入 3 1.理解并掌握抛物线的定义，并会应用其解决相关问题． 2.理解并掌握抛物线的标准方程，掌握求抛物线标准方程的方法． 3.了解抛物线定义的实际应用． 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 抛物线的定义及标准方程 思考1 已学习过的哪些知识与抛物线有关？ 提示 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，二次 函数的图象是抛物线. 思考2 在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 提示 它的对称轴垂直于 轴，开口向上或向下. 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.抛物线的定义 （1）定义：平面内到一个定点和一条定直线不在 上)的距离①______ 的点的轨迹叫作抛物线. （2）焦点：定点 叫作抛物线的焦点. （3）准线：定直线 叫作抛物线的准线. 相等 返回导航 8 2.抛物线标准方程的4种形式 标准 方程 图形 _____________________________ _________________________ __________________________ ________________________ 焦点 坐标 ②_ ______ ③_ _______ ④_ _____ ⑤_ _______ 返回导航 9 标准 方程 准线 方程 开口 方向 向右 向左 向上 向下 续表 返回导航 10 ［例1］ （1）若点满足，则动点 的轨迹是 ( ) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 解析：选D.依题意，动点到点 的距离等于其到定直线 的距离，且点不在直线 上，因此动 点 的轨迹是抛物线. √ 返回导航 11 （2）（对接教材例1、例2）求满足下列条件的抛物线的标准方程： ①焦点在 轴上且其到准线的距离为6; 【解】由题意知 ，抛物线开口向左或开口向右，所以抛物线的标准 方程是或 . 返回导航 12 ②过点 . 【解】由于点在第二象限，所以过点 的抛物线开口向左或开口 向上. 若抛物线开口向左，焦点在轴上，设其标准方程为 . 将点代入，可得，所以 ， 所以抛物线的标准方程为 ； 若抛物线开口向上，焦点在轴上，设其标准方程为 . 将点代入，可得，所以 ，所以抛物线的标准方 程为 . 综上所述，所求抛物线的标准方程为或 . 返回导航 13 （1）求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为 ①依据条件设出抛物线的标准方程的类型. ②求参数 的值. ③确定抛物线的标准方程. （2）利用轨迹法求抛物线的标准方程 ①直接法 ②几何法 注意 当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设 或 的形式，以简化讨论过程. 返回导航 14 ［跟踪训练1］ （1）（多选）经过点 的抛物线的标准方程可以 为( ) A. B. C. D. √ √ 返回导航 15 解析：选.当抛物线的焦点在 轴上时，设抛物线的方程为 ， 又因为抛物线经过点 ， 所以，解得 ， 所以抛物线的方程为 . 当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线的方程为 ， 又因为抛物线经过点 ， 所以，解得 ， 所以抛物线的方程为 . 综上，抛物线的方程为或 . 返回导航 16 （2）已知抛物线的准线与圆 相切，请写出 一个抛物线 的标准方程：_________________________________________ ______________________. (答案不唯一，或，或 ，或 解析：由题意得若抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为原点， 则抛物线的准线方程可能为，，， ， 所以抛物线的标准方程可能为，， ， . 返回导航 17 二 抛物线的定义及标准方程的应用 ［例2］ （1）设抛物线的焦点为，若点 在 上，则 ( ) A. B. C. D. √ 返回导航 18 解析：方法一:因为点在上，所以，得 ，所 以抛物线的准线方程为.由抛物线的定义知，等于点 到准线的 距离，即 . 方法二：因为点在上，所以，得 ，所以 ,，所以，所以 . 返回导航 （2）若是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点 到该抛物线准线的距离之和的最小值为____. 解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离 等于该点到焦点的距离.由图可知，当点，点 和抛物 线的焦点，三点共线且点 在第一象限时，所求距离 之和最小，所以最小距离 . 返回导航 20 母题探究 若将本例（2）中的点改为点 ，其他条件不变，求 的最小值. 解：将代入，得，所以点 在抛物 线内部. 因为 为抛物线上的一个动点， 点到准线(设为的距离为 ，则 .由图可知，当时， 最小，最小值是 .即的最小值是 . 返回导航 21 抛物线定义的2种应用 （1）实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等 于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转 化,从而简化某些问题. （2）解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值 时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题. 返回导航 22 ［跟踪训练2］ （1）已知是抛物线的焦点，， 是该抛物线上 的两点，,则线段的中点到 轴的距离为( ) A. B.1 C. D. 解析：选C.根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段的中点到 轴的 距离为 . √ 返回导航 23 （2）已知定长为3的线段的端点，在抛物线上移动，则 的 中点到 轴距离的最小值为__. 解析：如图，设点是抛物线的焦点，过， 两点分 别作其准线的垂线，，过的中点 作准线的垂线 ，，， 为垂足， 则 . 由抛物线的定义，知， ， 返回导航 24 所以 . 设点的横坐标为 ， 则， ， 当线段过焦点时，等号成立，此时点到轴的最短距离为 . 返回导航 25 三 抛物线的实际应用 ［例3］ 某学习小组研究一种卫星接收天线 （如图1所示），发现其曲面与轴截面的交线 为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平 行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射 聚焦到焦点处（如图2所示）.已知接收天线 0.9 的口径（直径）为，深度为 ，则该抛物线的焦点到顶点的距离为____. 返回导航 26 解析：如图所示， 在接收天线的轴截面所在平面建立平面直角坐标系，使 接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点 在轴上，设抛物线方程为 ，代入 ，所以，解得 ，所以 抛物线方程为 ，则该抛物线的焦点到顶点的距 离为 . 返回导航 27 求解抛物线实际应用题的步骤 返回导航 28 ［跟踪训练3］ 某农场为节水推行喷 灌技术，喷头装在管柱的顶端 处， 喷出的水流在各个方向上呈抛物线状， 如图所示.现要求水流最高点 离地面 ，点到管柱所在直线的距离为，且水流落在地面上以 为圆心， 以为半径的圆上，则管柱 的高度为_____. 返回导航 29 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的 方程为，把点 代入方程中， 得，解得 ，所以抛物线方程为 . 把代入方程中，得，即 ， 所以，所以管柱 的高度为 . 返回导航 30 PART 02 课堂巩固 自测 31 1.准线与轴垂直，且经过点 的抛物线的标准方程是( ) A. B. C. D. 解析：选B.由题意可设抛物线的标准方程为 ， 则，解得 ， 因此抛物线的标准方程是 . √ 返回导航 32 2.若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于， 两点，且 ，则线段的中点到 轴的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：选D.设， ，由抛物线方程知， ， 即 ， 所以线段的中点到轴的距离为 .故选D. √ 返回导航 33 3.（多选）设抛物线的焦点为，点 在抛物线 上，且,则抛物线 的方程可以为( ) A. B. C. D. 解析：选 .由题意得 解得或 ， 当时，抛物线方程为 ； 当时，抛物线方程为 . √ √ 返回导航 34 4.如图所示，设是曲线上的动点，则点到点 的距离与 点到直线 的距离之和的最小值为____. 返回导航 35 解析：如图，设抛物线的焦点为，连接， . 因为抛物线的方程为 ， 所以准线方程为，焦点 ， 所以点到点的距离与点到准线 的距离之 和为 ， 则，当，，三点共线时 取得最小值， 此时，即所求最小值为 . 返回导航 36 1.已学习：抛物线的定义和标准方程. 2.须贯通：（1）抛物线定义的应用. （2）求抛物线标准方程的方法. 3.应注意：直线与抛物线的位置关系的讨论. 返回导航 37 $