第02讲 直线的方程（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（苏教版选择性必修第一册）

第02讲 直线的方程（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线的点斜式方程 知识点02：直线的斜截式方程 知识点03：直线的点斜式方程、斜截式方程的应用 知识点04：直线的两点式方程 知识点05：直线的截距式方程 知识点06：直线方程的灵活应用 知识点07：直线的一般式方程 知识点08：直线的一般式方程化为其他形式的方程 知识点09：含参数的一般式方程 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求直线的点斜式方程 题型02：求直线的斜截式方程 题型03：求直线的两点式方程 题型04：求直线的截距式方程 题型05：直线方程的灵活应用 题型06：直线的一般式方程相关判断与应用 题型07：一般式方程化为其他形式 题型08：直线过定点问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线的点斜式方程 我们把方程y-y1=k(x-x1)称为过点P1(x1,y1),斜率为k的直线l的方程. 方程y-y1=k(x-x1)叫作直线的点斜式方程,简称点斜式. 温馨提示　(1)点斜式方程应用的前提是直线的斜率存在.当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x1.特别地,y轴所在直线的方程是x=0. (2)当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y1.特别地,x轴所在直线的方程是y=0 【例1】已知直线经过点，斜率，求该直线的点斜式方程。 【知识点02】直线的斜截式方程 1.直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距. 2.方程y=kx+b叫作直线的斜截式方程,简称斜截式. 温馨提示　(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况;由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距. (2)截距是一个实数,它是直线与x轴交点的横坐标或与y轴交点的纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式都是y=kx+b的形式,区别在于:当k≠0时,y=kx+b为一次函数;当k=0时,y=b,不是一次函数.故一次函数y=kx+b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程. 【例2】已知直线的斜率，在y轴上的截距，求该直线的斜截式方程。 【知识点03】直线的点斜式方程、斜截式方程的应用 根据已知条件（点与斜率、斜率与截距）求直线方程，或根据直线方程判断直线的斜率、截距及位置关系。 【例3】已知直线经过点，且与直线平行，求该直线的点斜式和斜截式方程。 【知识点04】直线的两点式方程 已知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则方程=(x1≠x2且y1≠y2)叫作直线的两点式方程,简称两点式. 温馨提示　(1)直线的两点式方程应用的前提条件是x1≠x2,y1≠y2,即直线的斜率不存在及斜率为零时,没有两点式方程. (2)把直线的两点式方程化为(x2-x1)·(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),则表示过平面内任意已知两点(x1,y1),(x2,y2)的直线. 【例4】已知直线经过两点和，求该直线的两点式方程，并化为斜截式方程。 【知识点05】直线的截距式方程 方程+=1,其中b称为直线在y轴上的截距,a称为直线在x轴上的截距.这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定,所以这个方程也叫作直线的截距式方程,简称截距式. 温馨提示　(1)直线的截距式方程是两点式方程的特殊情形,如果已知直线在两坐标轴上的非零截距,可以直接代入截距式求直线的方程.与坐标轴平行或重合,以及过原点的直线都不能用截距式表示. (2)将直线的方程化为截距式后,可以观察出直线在x轴和y轴上的截距,这一点常被用来作图. 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式方程,用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式方程时,必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用. 【例5】已知直线在x轴上的截距，在y轴上的截距，求该直线的截距式方程，并化为斜截式方程。 【知识点06】直线方程的灵活应用 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标,求过该点的直线方程,一般选取点斜式方程,再由其他条件确定直线的斜率. (2)若已知直线的斜率,一般选用直线的点斜式或斜截式方程,再由其他条件确定直线的一个点或者截距. (3)若已知两点坐标,一般选用直线的两点式方程,若两点是与坐标轴的交点,就用截距式方程. (4)不论选用怎样的直线方程,都要注意各自方程的限制条件,对特殊情况下的直线要单独讨论解决. 【例6】已知直线经过点，且在y轴上的截距为，求该直线的方程（可选择合适形式）。 【知识点07】直线的一般式方程 方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)叫作直线的一般式方程,简称一般式. 在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程,然后转化为一般式. 2.以下两种直线的设法均可避免讨论斜率是否存在 (1)过点(a,0)(a≠0)的直线方程可设为x=ny+a,不能表示与x轴重合的直线; (2)过点(a,b)(ab≠0)的直线方程可设为mx+ny=1(m,n不同时为零),不能表示过原点的直线. A=0,B≠0时,直线与y轴垂直,即直线与x轴平行或重合. 温馨提示　(1)直线的一般式方程是关于x,y的二元一次方程,方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列,x的系数一般不为分数和负数. (2)当A≠0,B=0时,直线与x轴垂直,即直线与y轴平行或重合. 【例7】判断方程是否为直线的一般式，若为，说明直线的特征；若不是，说明理由。 【知识点08】直线的一般式方程化为其他形式的方程 将一般式（不同时为0），根据需求转化为点斜式、斜截式、两点式、截距式，核心是变形整理。 常见转化： （1）化为斜截式：当时，整理为（斜率，截距）； （2）化为截距式：当、、时，整理为（x轴截距，y轴截距）； （3）化为点斜式：先求直线上一点（如x轴交点、y轴交点），再求斜率，代入点斜式。 【例8】将直线的一般式方程，化为斜截式和截距式方程。 【知识点09】含参数的一般式方程 核心定义：一般式方程中，、、含有参数（如、等），参数的取值影响直线的位置（斜率、截距、与其他直线的位置关系），需结合条件求参数值。 核心题型：根据直线的位置关系（平行、垂直）、过定点等条件，求参数的值。 【例9】已知直线（为参数），（1）若直线平行于直线，求的值；（2）若直线垂直于x轴，求的值。 【题型01】求直线的点斜式方程 【典例1-1】（24-25高二上·贵州遵义·期末）过点，斜率为2的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·江苏镇江·月考）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·江苏常州·月考）已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且过点，则直线的方程为__________. 【变式1-3】（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角小． (1)求直线的方程； (2)若点在直线上，且，求的取值范围． 【题型02】求直线的斜截式方程 【典例2-1】（25-26高二上·江苏常州·月考）直线的纵截距是（   ） A． B． C．1 D． 【变式2-1】（24-25高二上·广东·阶段检测）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（    ） A．x+y-4=0 B．x-y+4=0 C．x+y+4=0 D．x-y-4=0 【变式2-2】（多选）（25-26高二上·福建南平·期中）关于直线：，下列结论正确的是（    ） A．的倾斜角为 B．的斜率为1 C．过点 D．在两条坐标轴上的截距相等 【变式2-3】（25-26高二上·山东临沂·期中）若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为________. 【题型03】求直线的两点式方程 【典例3-1】（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【变式3-1】（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·河南·月考）经过点和的直线的方程为________． 【变式3-3】（24-25高二上·江西宜春·月考）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)经过，两点. 【题型04】求直线的截距式方程 【典例4-1】（25-26高二上·四川巴中·月考）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·河北·月考）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·山东济南·月考）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【变式4-3】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程： (1)直线的斜率为2； (2)直线在轴、轴上的截距相等． 【题型05】直线方程的灵活应用 【典例5-1】（25-26高二上·河南·月考）求适合下列条件的直线方程： (1)经过点，且在两坐标轴上的截距相等． (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【变式5-1】（2025高二上·湖北武汉·专题练习）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求角平分线所在的直线方程. 【变式5-2】（25-26高二上·山东济南·月考）三个顶点，求： (1)边上的中线所在直线方程； (2)边上的高所在直线方程. 【变式5-3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知的三个顶点是、、. (1)求边上的中线所在直线方程； (2)求边上的高所在直线方程. 【题型06】直线的一般式方程相关判断与应用 【典例6-1】（25-26高二上·江苏常州·期末）直线的倾斜角为（   ） A．60° B．120° C．135° D．150° 【变式6-1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知直线经过点，则实数a的值为__________. 【变式6-3】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【题型07】一般式方程化为其他形式 【典例7-1】（25-26高二上·江苏南京·期末）直线l：的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选）（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知直线l过点且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l的方程可能为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025高二上·江苏·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 【变式7-3】（25-26高二上·湖北襄阳·月考）（1）若一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． 【题型08】直线过定点问题 【典例8-1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）直线（是任意实数）恒过定点（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知点，若直线与线段相交，则k的取值范围是______． 【变式8-3】（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 一、课堂小结 本讲核心围绕直线的多种方程形式展开，重点掌握点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式的定义、适用条件及转化方法，同时理解含参数一般式方程的参数求解思路。核心逻辑为：根据已知条件（点、斜率、截距、两点）灵活选择方程形式，所有方程均可转化为一般式，且需注意每种形式的适用限制，避免出错。所有核心内容均用微软公式呈现，适配暑期预习巩固、快速梳理重点。 二、知识梳理 知识点1：直线的点斜式方程 1. 核心公式：若直线经过点，斜率为（斜率存在），则方程为： 2. 适用条件：斜率存在（倾斜角），垂直于x轴的直线（）不能用点斜式表示。 3. 关键提醒：公式中是直线上的定点，为定值，与直线上其他点无关。 知识点2：直线的斜截式方程 1. 核心公式：若直线斜率为，在y轴上的截距为（直线过），则方程为： 2. 关键说明： （1）截距是纵坐标，可正、可负、可零（时直线过原点）； （2）适用条件：斜率存在，与点斜式等价（由点斜式令推导得出）。 知识点3：点斜式、斜截式方程的应用 1. 核心应用：根据平行、垂直关系求直线方程（前提：斜率均存在） （1）平行：若直线，则（不重合）； （2）垂直：若直线，则。 2. 解题思路：先求斜率，再结合已知点或截距，代入点斜式或斜截式求解。 知识点4：直线的两点式方程 1. 核心公式：若直线经过两点、（），则方程为： 2. 适用条件：直线不垂直于x轴（）、不垂直于y轴（）。 3. 关键提醒：两点顺序不影响方程，可灵活选择两点简化计算。 知识点5：直线的截距式方程 1. 核心公式：若直线与x轴交于（x轴截距），与y轴交于（y轴截距），且，则方程为： 2. 适用条件：直线不过原点（），且不垂直于x轴、y轴。 3. 易错点：截距不是距离，可正、可负，不能为0。 知识点6：直线方程的灵活应用 1. 选择原则：根据已知条件优先选择简便形式，降低运算量： （1）已知一点+斜率：点斜式； （2）已知斜率+y轴截距：斜截式； （3）已知两点：两点式（需满足适用条件）； （4）已知两轴截距（非零）：截距式。 2. 核心：所有形式均可相互转化，最终可统一为一般式。 知识点7：直线的一般式方程 1. 核心公式：平面内任意直线均可表示为：（其中，即不同时为0） 2. 特殊情况（一般式的变形）： （1）：，平行于x轴； （2）：，垂直于x轴； （3）：，直线过原点。 3. 核心性质：一般式可转化为其他所有方程形式，是直线方程的统一形式。 知识点8：一般式方程化为其他形式 1. 化为斜截式（）：（斜率，y轴截距）； 2. 化为截距式（）：（x轴截距，y轴截距）； 3. 化为点斜式：先求直线上一个定点（如截距点），再求斜率，代入点斜式公式。 知识点9：含参数的一般式方程（补充知识点） 1. 核心形式：（为参数），参数影响直线斜率、截距及位置关系。 2. 常见题型及求解思路： （1）平行/垂直：结合平行、垂直的斜率关系，列方程求参数； （2）垂直于x轴/y轴：令（垂直x轴）或（垂直y轴），求参数； （3）过定点：整理方程为，令系数为0，求定点坐标。 知识点10：易错点梳理（预习重点规避） 1. 忽略方程适用条件：如点斜式、斜截式需斜率存在，截距式需； 2. 混淆“截距”与“距离”：截距可正、可负、可零，距离恒为非负数； 3. 一般式转化错误：忘记不同时为0的前提，变形时注意符号； 4. 含参数方程求解后未验证：如平行关系需验证两直线不重合，避免增根。 一、单选题 1．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏扬州·期末）设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南通·期中）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为（    ） A． B． C． D．或 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 7．（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．过任意两点，的直线方程可以写成 B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 10．（25-26高二上·江苏南通·月考）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 11．（25-26高二上·江苏无锡·月考）下列说法正确的有（    ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 C．过点的直线方程是 D．直线在轴上的截距是 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知直线过点且斜率不存在，则直线方程为________________ 13．（25-26高二上·江苏南通·期中）过两点的直线在轴上的截距为_______________． 14．（24-25高二上·山东临沂·月考）过点与轴、轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为_________． 四、解答题 15．（24-25高二上·广西梧州·月考）已知的顶点坐标是为的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 16．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线的方程为，. (1)若不经过第二象限，求的取值范围； (2)若的斜率存在且不为，在轴上的截距为轴上截距的倍，求的值. 17．（25-26高二上·江苏无锡·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. (1)光线自点射到轴上的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程： (2)直线经过点，且直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4. 18．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19．（25-26高二上·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 直线的方程（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线的点斜式方程 知识点02：直线的斜截式方程 知识点03：直线的点斜式方程、斜截式方程的应用 知识点04：直线的两点式方程 知识点05：直线的截距式方程 知识点06：直线方程的灵活应用 知识点07：直线的一般式方程 知识点08：直线的一般式方程化为其他形式的方程 知识点09：含参数的一般式方程 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求直线的点斜式方程 题型02：求直线的斜截式方程 题型03：求直线的两点式方程 题型04：求直线的截距式方程 题型05：直线方程的灵活应用 题型06：直线的一般式方程相关判断与应用 题型07：一般式方程化为其他形式 题型08：直线过定点问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线的点斜式方程 我们把方程y-y1=k(x-x1)称为过点P1(x1,y1),斜率为k的直线l的方程. 方程y-y1=k(x-x1)叫作直线的点斜式方程,简称点斜式. 温馨提示　(1)点斜式方程应用的前提是直线的斜率存在.当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x1.特别地,y轴所在直线的方程是x=0. (2)当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y1.特别地,x轴所在直线的方程是y=0 【例1】已知直线经过点，斜率，求该直线的点斜式方程。 解：代入点斜式公式，其中，，，得： 答案：该直线的点斜式方程为。 【知识点02】直线的斜截式方程 1.直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距. 2.方程y=kx+b叫作直线的斜截式方程,简称斜截式. 温馨提示　(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况;由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距. (2)截距是一个实数,它是直线与x轴交点的横坐标或与y轴交点的纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式都是y=kx+b的形式,区别在于:当k≠0时,y=kx+b为一次函数;当k=0时,y=b,不是一次函数.故一次函数y=kx+b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程. 【例2】已知直线的斜率，在y轴上的截距，求该直线的斜截式方程。 解：代入斜截式公式，其中，，得： 答案：该直线的斜截式方程为。 【知识点03】直线的点斜式方程、斜截式方程的应用 根据已知条件（点与斜率、斜率与截距）求直线方程，或根据直线方程判断直线的斜率、截距及位置关系。 【例3】已知直线经过点，且与直线平行，求该直线的点斜式和斜截式方程。 解：（1）两直线平行，斜率相等，故所求直线斜率； （2）点斜式方程：代入点和，得； （3）斜截式方程：将点斜式整理化简，，即。 答案：点斜式方程为，斜截式方程为。 【知识点04】直线的两点式方程 已知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则方程=(x1≠x2且y1≠y2)叫作直线的两点式方程,简称两点式. 温馨提示　(1)直线的两点式方程应用的前提条件是x1≠x2,y1≠y2,即直线的斜率不存在及斜率为零时,没有两点式方程. (2)把直线的两点式方程化为(x2-x1)·(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),则表示过平面内任意已知两点(x1,y1),(x2,y2)的直线. 【例4】已知直线经过两点和，求该直线的两点式方程，并化为斜截式方程。 解：（1）两点式方程：代入、，得，化简为； （2）化为斜截式：交叉相乘得，整理得。 答案：两点式方程为，斜截式方程为。 【知识点05】直线的截距式方程 方程+=1,其中b称为直线在y轴上的截距,a称为直线在x轴上的截距.这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定,所以这个方程也叫作直线的截距式方程,简称截距式. 温馨提示　(1)直线的截距式方程是两点式方程的特殊情形,如果已知直线在两坐标轴上的非零截距,可以直接代入截距式求直线的方程.与坐标轴平行或重合,以及过原点的直线都不能用截距式表示. (2)将直线的方程化为截距式后,可以观察出直线在x轴和y轴上的截距,这一点常被用来作图. 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式方程,用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式方程时,必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用. 【例5】已知直线在x轴上的截距，在y轴上的截距，求该直线的截距式方程，并化为斜截式方程。 解：（1）截距式方程：代入，，得； （2）化为斜截式：通分整理得，即。 答案：截距式方程为，斜截式方程为。 【知识点06】直线方程的灵活应用 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标,求过该点的直线方程,一般选取点斜式方程,再由其他条件确定直线的斜率. (2)若已知直线的斜率,一般选用直线的点斜式或斜截式方程,再由其他条件确定直线的一个点或者截距. (3)若已知两点坐标,一般选用直线的两点式方程,若两点是与坐标轴的交点,就用截距式方程. (4)不论选用怎样的直线方程,都要注意各自方程的限制条件,对特殊情况下的直线要单独讨论解决. 【例6】已知直线经过点，且在y轴上的截距为，求该直线的方程（可选择合适形式）。 解：已知直线在y轴上的截距，可设斜截式方程； 将点代入方程，得，解得； 故直线方程为（也可化为点斜式）。 答案：该直线的方程为。 【知识点07】直线的一般式方程 方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)叫作直线的一般式方程,简称一般式. 在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程,然后转化为一般式. 2.以下两种直线的设法均可避免讨论斜率是否存在 (1)过点(a,0)(a≠0)的直线方程可设为x=ny+a,不能表示与x轴重合的直线; (2)过点(a,b)(ab≠0)的直线方程可设为mx+ny=1(m,n不同时为零),不能表示过原点的直线. A=0,B≠0时,直线与y轴垂直,即直线与x轴平行或重合. 温馨提示　(1)直线的一般式方程是关于x,y的二元一次方程,方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列,x的系数一般不为分数和负数. (2)当A≠0,B=0时,直线与x轴垂直,即直线与y轴平行或重合. 【例7】判断方程是否为直线的一般式，若为，说明直线的特征；若不是，说明理由。 解：方程是关于、的二元一次方程，且，，，故是直线的一般式； 令，得（y轴截距为2）；令，得（x轴截距为3），直线过、两点。 答案：是直线的一般式，直线过、两点，x轴截距为3，y轴截距为2。 【知识点08】直线的一般式方程化为其他形式的方程 将一般式（不同时为0），根据需求转化为点斜式、斜截式、两点式、截距式，核心是变形整理。 常见转化： （1）化为斜截式：当时，整理为（斜率，截距）； （2）化为截距式：当、、时，整理为（x轴截距，y轴截距）； （3）化为点斜式：先求直线上一点（如x轴交点、y轴交点），再求斜率，代入点斜式。 【例8】将直线的一般式方程，化为斜截式和截距式方程。 解：（1）化为斜截式：，移项得，两边同除以2，得； （2）化为截距式：由，移项得，两边同除以-8，得。 答案：斜截式方程为，截距式方程为。 【知识点09】含参数的一般式方程 核心定义：一般式方程中，、、含有参数（如、等），参数的取值影响直线的位置（斜率、截距、与其他直线的位置关系），需结合条件求参数值。 核心题型：根据直线的位置关系（平行、垂直）、过定点等条件，求参数的值。 【例9】已知直线（为参数），（1）若直线平行于直线，求的值；（2）若直线垂直于x轴，求的值。 解：（1）直线的斜率为，直线平行于该直线，需满足斜率相等且不重合； 当（即）时，直线的斜截式为； 由斜率相等得，解得，即，得（验证：时，直线，与平行，不重合）； （2）直线垂直于x轴，需满足的系数为0，且的系数不为0； 即且，解得（此时直线，即，垂直于x轴）。 答案：（1）；（2）。 【题型01】求直线的点斜式方程 【典例1-1】（24-25高二上·贵州遵义·期末）过点，斜率为2的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用直线方程的点斜式求出方程即得. 【详解】依题意，所求直线方程为，即. 故选：B 【变式1-1】（25-26高二上·江苏镇江·月考）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的顶点坐标，求得重心坐标，结合外心的性质设的外心的坐标，由求得坐标，然后写出欧拉线方程. 【详解】因为的顶点为，所以其重心为， 因为线段的垂直平分线方程为，所以可设的外心为， 则，即，解得，， ，故该三角形的欧拉线方程为，即. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·江苏常州·月考）已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且过点，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】根据点斜式求得直线的方程. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 所以直线的倾斜角为，斜率为， 所以直线的方程为， 即. 故答案为： 【变式1-3】（25-26高二上·江苏盐城·月考）已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角小． (1)求直线的方程； (2)若点在直线上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求直线的斜率，应用点斜式写出直线方程； （2）根据目标式的几何意义，利用数形结合即可求解. 【详解】（1）由直线的斜率为，所以其倾斜角为， 所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：， （2）由表示与点连线的斜率， 又是直线在部分上的动点，如下图示： 所以，直线的斜率不存在，所以， 所以的取值范围为. 【题型02】求直线的斜截式方程 【典例2-1】（25-26高二上·江苏常州·月考）直线的纵截距是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将直线方程化成斜截式即得答案. 【详解】由可得， 当时，，则直线的纵截距是. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二上·广东·阶段检测）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（    ） A．x+y-4=0 B．x-y+4=0 C．x+y+4=0 D．x-y-4=0 【答案】A 【分析】根据给定条件，判断三角形形状并求出垂心及外心，进而求出欧拉线的方程. 【详解】由，得，则的垂心为，外心为， 所以欧拉线的方程为，即. 故选：A 【变式2-2】（多选）（25-26高二上·福建南平·期中）关于直线：，下列结论正确的是（    ） A．的倾斜角为 B．的斜率为1 C．过点 D．在两条坐标轴上的截距相等 【答案】AB 【分析】根据题意得的斜率为1，在轴上的截距为1，再依次分析各选项即可. 【详解】由题可知，的斜率为1，在轴上的截距为1，故直线的倾斜角为，A，B均正确. 点代入方程不满足，故不在上，C不正确. 令得在轴上的截距为，与轴上的截距1不相等，D不正确. 故选：AB 【变式2-3】（25-26高二上·山东临沂·期中）若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为________. 【答案】 【分析】由直线的平移变换可得平移后的直线方程，比较系数可得． 【详解】易知直线的斜率存在，设方程为，① 所以直线沿轴向右平移3个单位后得到的方程为， 再沿轴向上平移2个单位后得到的方程为，② 因为回到原来的位置，所以方程①②应为同一个， 比较系数可得，解得 故答案为：． 【题型03】求直线的两点式方程 【典例3-1】（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 【变式3-1】（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求边上的中点坐标，再求边上的中线的斜率与方程. 【详解】∵， ∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即 故选：A 【变式3-2】（25-26高二上·河南·月考）经过点和的直线的方程为________． 【答案】 【分析】已知两点， 利用两点式化简得到一般式方程即可. 【详解】由已知得直线的方程为，即． 【变式3-3】（24-25高二上·江西宜春·月考）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)经过，两点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点斜式，即可求出直线方程，再将其化为一般式方程； （2）根据两点式，即可求出直线方程，再将其化为一般式方程. 【详解】（1）由点斜式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为； （2）由两点式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为． 【题型04】求直线的截距式方程 【典例4-1】（25-26高二上·四川巴中·月考）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】令即可求解. 【详解】由截距的概念，令，可得， 即， 故直线在轴上的截距为， 故选：A 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·河北·月考）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据截距式直线方程的定义进行求解即可. 【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得，所以或， 解得或，所以直线方程为或，故A，C正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为，由题可知，故直线方程为，故D正确. 故选：ACD. 【变式4-2】（25-26高二上·山东济南·月考）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【答案】 【分析】设出截距式方程后借助中点定义计算即可得. 【详解】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为，则有， 故该方程为. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程： (1)直线的斜率为2； (2)直线在轴、轴上的截距相等． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用点斜式求解即可； （2）分直线在轴、轴截距为0和不为0进行分类讨论，不为0时利用截距式求解即可. 【详解】（1）因为直线过点，直线的斜率为2， 所以所求为， 即. （2）当直线在轴、轴上的截距都为0时， 所求为， 当直线在轴、轴上的截距都为时， 设所求为， 由题意，解得符合题意， 故所求为， 综上所述，符合题意的直线方程为或. 【题型05】直线方程的灵活应用 【典例5-1】（25-26高二上·河南·月考）求适合下列条件的直线方程： (1)经过点，且在两坐标轴上的截距相等． (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】（1）分直线经过原点、直线不经过原点两种情况讨论，根据条件求出方程即可； （2）得出直线斜率，利用点斜式求方程. 【详解】（1）当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 因直线过点，则直线的方程为； 当直线不经过原点时，若它在两坐标轴上的截距相等，则斜率， 因直线过点，则直线的方程为，即． 综上所述，所求直线方程为或； （2）因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线的斜率为1或， 因直线过点，则直线方程为，即或． 【变式5-1】（2025高二上·湖北武汉·专题练习）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求角平分线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得； （2）先求出直线的单位向量，结合角平分线求出角平分线所在的直线的方向向量，结合方向向量和直线斜率的关系即可求出斜率，再根据点斜式即可求解. 【详解】（1）依题意，边的中点， 因此边上的中线所在直线的斜率， 直线又过， 所以边上的中线所在直线的方程为， 即. （2）由题意知：， 故与同方向的单位向量为：， 与同方向的单位向量为：， 故角平分线所在的直线的方向向量为：， 设角平分线所在的直线的斜率为， 又直线的方向向量可以表示为， ， 直线又过， 故角平分线所在的直线方程为：， 即. 【变式5-2】（25-26高二上·山东济南·月考）三个顶点，求： (1)边上的中线所在直线方程； (2)边上的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标求法，和点斜式方程，求出直线方程即可； （2）根据直线垂直的斜率性质，以及点斜式方程，求出直线方程即可； 【详解】（1）设的中点为，所以，所以， 所以， 根据点斜式方程得，即 （2）设边上高所在直线的斜率为，由题意得，由，所以， 根据点斜式方程得，即. 【变式5-3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知的三个顶点是、、. (1)求边上的中线所在直线方程； (2)求边上的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，进而可求出直线的斜率，利用点斜式方程可得出直线的方程； （2）求出直线的斜率，进而可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】（1）由题意可知，线段的中点为，故， 故边上的中线所在直线方程为，即. （2）由题意可得，因为，则， 故边上的高所在直线方程为，即. 【题型06】直线的一般式方程相关判断与应用 【典例6-1】（25-26高二上·江苏常州·期末）直线的倾斜角为（   ） A．60° B．120° C．135° D．150° 【答案】A 【分析】将直线方程变为斜截式,根据斜率与倾斜角关系可直接求解. 【详解】直线可化为， 所以斜率， 设倾斜角，则， 又因为，所以. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系结合特殊角的正切值可得. 【详解】由题意可得直线的斜率， 设直线的倾斜角为， 所以. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知直线经过点，则实数a的值为__________. 【答案】2 【分析】直接代入点计算即可. 【详解】将代入直线得，解得. 故答案为：2. 【变式6-3】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用点斜式写出直线方程，再化为直线的一般方程； (2)分类讨论截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为，经过点， 所以直线方程为，即. （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 因为直线过点，所以，即， 此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为， 则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 【题型07】一般式方程化为其他形式 【典例7-1】（25-26高二上·江苏南京·期末）直线l：的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角和斜率之间的关系计算可得结果. 【详解】由题意得直线方程为, 设直线的倾斜角为 则，可得. 故选：C 【变式7-1】（多选）（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知直线l过点且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l的方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据直线是否过原点进行分情况讨论即可求解. 【详解】由题可知直线的斜率存在且不为， 当直线过原点时，设为，将代入中，得， 解得，故直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设为， 因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，所以， 则直线的方程化为，将代入中，得， 解得，故直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 故选：AC. 【变式7-2】（2025高二上·江苏·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 【答案】或 【分析】设直线在两坐标轴上的截距分别为，由题意分和两类情况讨论，分别求直线方程即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为，则， 若，则直线过原点，又过点，则直线方程为：； 若，则，可设直线方程为：， 代入点，可得，解得，则直线方程为：. 综上：所求直线方程为或. 故答案为：或. 【变式7-3】（25-26高二上·湖北襄阳·月考）（1）若一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． 【答案】（1）入射光线所在直线的方程为，反射光线所在直线的方程为； （2）或或． 【分析】（1）由点的坐标求得入射光线的方程，进而得到入射光线的斜率，根据对称求得反射光线的斜率，根据反射光线过点求得反射光线的方程； （2）讨论直线在两坐标轴上的截距等于零和不等于零两种情况，当在两坐标轴上的截距均为零时，设直线的方程为；当在两坐标轴上的截距均不为零时，设直线的方程为.分别代入点，可求得直线的方程． 【详解】【小问1】 设入射光线为，反射光线为， 光线从点射出，与轴相交于点， 入射光线的方程为，整理得， 入射光线的斜率，反射光线的斜率， 又反射光线要经过点， 反射光线的方程为，即. 【小问2】 当直线的截距为时，设直线的方程为. 因为直线经过点，所以，所以直线方程为，即， 当直线的截距不为时，设直线的方程为， 则解得或． 若，则直线的方程为，即 若则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为：或或． 【题型08】直线过定点问题 【典例8-1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）直线（是任意实数）恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线系过定点求解. 【详解】当时，， 所以直线（是任意实数）恒过定点， 故选：B 【变式8-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】提取得，从而得到方程组，解出即可. 【详解】，即，则，解得. 则过定点. 故选：C. 【变式8-2】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知点，若直线与线段相交，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求得直线过定点，然后利用两点斜率公式，结合图象求出斜率范围即可. 【详解】直线，即，所以直线过定点， 如图，． 因直线l与线段相交，则由图可知或， 即k的取值范围是． 故答案为： 【变式8-3】（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 一、课堂小结 本讲核心围绕直线的多种方程形式展开，重点掌握点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式的定义、适用条件及转化方法，同时理解含参数一般式方程的参数求解思路。核心逻辑为：根据已知条件（点、斜率、截距、两点）灵活选择方程形式，所有方程均可转化为一般式，且需注意每种形式的适用限制，避免出错。所有核心内容均用微软公式呈现，适配暑期预习巩固、快速梳理重点。 二、知识梳理 知识点1：直线的点斜式方程 1. 核心公式：若直线经过点，斜率为（斜率存在），则方程为： 2. 适用条件：斜率存在（倾斜角），垂直于x轴的直线（）不能用点斜式表示。 3. 关键提醒：公式中是直线上的定点，为定值，与直线上其他点无关。 知识点2：直线的斜截式方程 1. 核心公式：若直线斜率为，在y轴上的截距为（直线过），则方程为： 2. 关键说明： （1）截距是纵坐标，可正、可负、可零（时直线过原点）； （2）适用条件：斜率存在，与点斜式等价（由点斜式令推导得出）。 知识点3：点斜式、斜截式方程的应用 1. 核心应用：根据平行、垂直关系求直线方程（前提：斜率均存在） （1）平行：若直线，则（不重合）； （2）垂直：若直线，则。 2. 解题思路：先求斜率，再结合已知点或截距，代入点斜式或斜截式求解。 知识点4：直线的两点式方程 1. 核心公式：若直线经过两点、（），则方程为： 2. 适用条件：直线不垂直于x轴（）、不垂直于y轴（）。 3. 关键提醒：两点顺序不影响方程，可灵活选择两点简化计算。 知识点5：直线的截距式方程 1. 核心公式：若直线与x轴交于（x轴截距），与y轴交于（y轴截距），且，则方程为： 2. 适用条件：直线不过原点（），且不垂直于x轴、y轴。 3. 易错点：截距不是距离，可正、可负，不能为0。 知识点6：直线方程的灵活应用 1. 选择原则：根据已知条件优先选择简便形式，降低运算量： （1）已知一点+斜率：点斜式； （2）已知斜率+y轴截距：斜截式； （3）已知两点：两点式（需满足适用条件）； （4）已知两轴截距（非零）：截距式。 2. 核心：所有形式均可相互转化，最终可统一为一般式。 知识点7：直线的一般式方程 1. 核心公式：平面内任意直线均可表示为：（其中，即不同时为0） 2. 特殊情况（一般式的变形）： （1）：，平行于x轴； （2）：，垂直于x轴； （3）：，直线过原点。 3. 核心性质：一般式可转化为其他所有方程形式，是直线方程的统一形式。 知识点8：一般式方程化为其他形式 1. 化为斜截式（）：（斜率，y轴截距）； 2. 化为截距式（）：（x轴截距，y轴截距）； 3. 化为点斜式：先求直线上一个定点（如截距点），再求斜率，代入点斜式公式。 知识点9：含参数的一般式方程（补充知识点） 1. 核心形式：（为参数），参数影响直线斜率、截距及位置关系。 2. 常见题型及求解思路： （1）平行/垂直：结合平行、垂直的斜率关系，列方程求参数； （2）垂直于x轴/y轴：令（垂直x轴）或（垂直y轴），求参数； （3）过定点：整理方程为，令系数为0，求定点坐标。 知识点10：易错点梳理（预习重点规避） 1. 忽略方程适用条件：如点斜式、斜截式需斜率存在，截距式需； 2. 混淆“截距”与“距离”：截距可正、可负、可零，距离恒为非负数； 3. 一般式转化错误：忘记不同时为0的前提，变形时注意符号； 4. 含参数方程求解后未验证：如平行关系需验证两直线不重合，避免增根。 一、单选题 1．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的方程得出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得答案. 【详解】因为直线的方程为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 2．（25-26高二上·江苏扬州·期末）设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线的一般式方程化为斜截式方程，进而求解. 【详解】由，所以，所以， 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏南通·期中）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得. 【详解】因为直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等， 当直线经过原点时，满足题意，设直线的方程为， 代入得，此时直线的方程； 当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 则有，解得，此时直线的方程为； 综上所述：所求直线的方程为或. 故选：D. 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的倾斜角求得其斜率，由此写出直线的点斜式方程，化简可得其一般方程. 【详解】由题意知，直线的斜率为，又经过点， 故直线的方程为，即. 故选：D. 5．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，则，可得. 故选：A 6．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B 7．（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论斜率的存在性，求出斜率的取值范围即可得倾斜角的范围. 【详解】由题意知，当时，直线的斜率不存在，其倾斜角； 当时，直线的斜率， 所以倾斜角， 综上，. 故选：C 8．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知直线过定点， 如图所示，可知， 所以当直线与线段有公共点时，的取值范围为. 二、多选题 9．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．过任意两点，的直线方程可以写成 B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 【答案】ABD 【分析】根据直线的各种位置判断A，由截距的概念、斜率的概率判断BCD． 【详解】当或时，直线方程不能写成，故A错误； 当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为﹣1，故B错误； 设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为．令， 得直线在x轴上的截距为，于是，故C正确； 若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误． 故选：ABD． 10．（25-26高二上·江苏南通·月考）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【分析】根据函数的定义域可判断A：根据点斜式方程可判断B；根据倾斜角为的直线方程可判断C；根据直线方程的适用范围可判断D. 【详解】对于A：方程分母不为0，要求，对应的直线不包含点， 而包含点，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B： 倾斜角为，斜率，代入点斜式方程得， 整理得，B正确； 对于C：斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标恒为，方程为，C正确； 对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. 11．（25-26高二上·江苏无锡·月考）下列说法正确的有（    ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 C．过点的直线方程是 D．直线在轴上的截距是 【答案】BD 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项B正确；根据直线两点式方程的限制条件可得选项C错误；根据截距的概念可得选项D正确. 【详解】对于A，当直线倾斜角为钝角时，直线斜率， 当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. 对于B，当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条，故B正确. 对于C，当时， 过点的直线方程是，故C错误； 对于D，对于直线，令，得， 故直线在轴上的截距是，故D正确. 故选：BD 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知直线过点且斜率不存在，则直线方程为________________ 【答案】 【分析】根据题意可知直线与x轴垂直，且过点，即可得直线方程. 【详解】因为直线过点且斜率不存在，可知直线与x轴垂直， 所以直线方程为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·江苏南通·期中）过两点的直线在轴上的截距为_______________． 【答案】 【分析】先求直线斜率，再根据点斜式得到直线方程求出截距即可． 【详解】， 则直线的方程为，即， 当时，， 则直线在轴上的截距为． 故答案为：． 14．（24-25高二上·山东临沂·月考）过点与轴、轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为_________． 【答案】 【分析】可设直线方程为，由题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出，从而得出结果. 【详解】由题可设直线方程为，又直线过点， 得到，又三角形面积为， 又，得到，当且仅当，即时取等号， 又，得到，所以直线方程为，即， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·广西梧州·月考）已知的顶点坐标是为的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解； （2）先求出直线的斜率，再根据点斜式方程即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 故的方程是，即； （2）因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 16．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线的方程为，. (1)若不经过第二象限，求的取值范围； (2)若的斜率存在且不为，在轴上的截距为轴上截距的倍，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，可得直线不经过第二象限；当时，结合函数图象可知斜率为正，且在轴截距小于等于零，从而构造不等式组求得结果； （2）当过坐标原点时，可求得满足题意；当不过坐标原点时，求出直线在轴，轴上的截距，利用在轴上的截距为轴上截距的倍构造方程求得结果. 【详解】（1）当，即时，直线为，不经过第二象限，满足条件， 当，即时，直线可转化为， 则解得， 综上所述，的取值范围为； （2）当过坐标原点时，，解得，符合题意， 因为的斜率存在且不为，所以且， 当不过坐标原点时，即，令，则，令，则， 因为在轴上的截距为轴上截距的倍，所以， 解得，又，所以该方程无解； 综上所述， 17．（25-26高二上·江苏无锡·期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. (1)光线自点射到轴上的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程： (2)直线经过点，且直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点关于轴的对称点，结合点计算即可得； （2）设出该直线截距式方程，结合三角形面积公式计算即可得. 【详解】（1）点关于轴上的对称点为，则反射光线过点， 则反射光线为，即为； （2）由题可知，该直线不过原点，设该直线方程为， 则有，解得，故直线方程为，即. 18．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3), ． 【分析】（1）根据直线的点斜式方程判断定点即可； （2）根据斜截式方程的意义得即可求得答案； （3）根据题意，进而求得直线在坐标轴上的截距，最后计算面积，并结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）解：直线的方程可化为， 根据直线的点斜式方程，可知无论取何值，直线总过定点． （2）解：由题意，直线，即， 因为直线不经过第四象限，所以，解得． 所以的取值范围为 （3）解：由题意知，，当时，，即点， 当时，，即点， 所以，， 所以的面积 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，此时，直线． 19．（25-26高二上·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 (1)求点，的坐标； (2)求斜边中线所在的直线方程； (3)设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）方程转化成，由且，得到，再由，得到； （2）由中点坐标公式得到的中点坐标即可求解； （3）法一：由动点在上运动和动点在上运动，由斜率的几何意义即可求解；法二：确定线段的方程为且，设，联立得到，即可求解. 【详解】（1） 由可得， 令且，解得，， 故直线恒过定点         设，则， 故则， 解得，故 （2）由于，， 故的中点坐标，则， 故直线方程为，即 （3）法一：设与轴的交点为， ①当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当与重合时，， 当在轴上时，，所以.   ②当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当在轴上时，， 当与重合时，，所以，             综上可得.        法二：由于，， 得，所以，即 则线段的方程为且③③     设，其中不为0， 得代入③化简整理得， 即，且， 令，且， 解得 ，则， 即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $