第三章机械波专题 波的多解问题 讲义（知识点、典例、达标练）-2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

专题 波的多解问题 知识点 波的多解问题 1.造成波的多解问题的主要因素 （1）周期性 ①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。 ②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。 （2）双向性 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定。 ②振动方向双向性：质点振动方向不确定。 如：a.只知道质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。 b.只知道质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下（或向左、向右）两种可能。 c.只告诉波速而未说明波的传播方向，则波传播的方向有两种情形，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。 2.解决波的多解问题的一般思路 （1）首先考虑是否存在多解，若存在多解，分析造成多解的原因，从双向性、周期性分别进行考虑。 （2）对于双向性问题，两个方向对应的情形都要分别考虑。对于周期性因素造成多解的情况，一般采用从特殊到一般的思维方法，即先找出一个周期内Δt或Δx满足条件的关系，若为时间关系，则t＝nT＋Δt（n＝0，1，2，…）；若为距离关系，则x＝nλ＋Δx（n＝0，1，2，…）。 （3）注意题目是否有其他限制条件，如果波的周期、波长、波速有限定，则求出符合限定条件的解。 考向1 求周期的多解问题 【例1】如图所示，实线和虚线分别是沿着轴正方向传播的一列简谐横波在时刻和的波形图，已知波的周期，则下列关于该列波说法正确的是（　　） A．波长为 B．波速为 C．周期为 D．时刻，质点向下振动 【答案】D 【详解】A．由图可知波长为10cm，故A错误； BC．时刻到的过程中， 已知波的周期，则n只能取0，则 波速为，故BC错误； D．简谐横波沿着轴正方向传播，根据同侧法可知时刻，质点向下振动，故D正确。 故选 D。 【变式】如图所示为一列沿x轴负方向传播的简谐横波，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.6s时的波形图，波的周期T＞0.6s，则以下说法正确的是（　　） A．在t＝0.5s时，Q点到达波峰位置 B．在t＝0.9s时，P点沿y轴正方向运动 C．t＝0s至t＝0.4s，P点经过的路程为4m D．波的周期为2.4s 【答案】A 【详解】A．该波的波速v，当时，波由实物图向左移动了，则点波形为10m处的波形，故点到达波峰位置，故A正确； B．在t＝0.9s时，即虚线波向左平移，波形平移距离，即虚线波上P点右方平衡位置为处传到该点，则是P点向y轴负方向运动，故B错误； C．从至，时间间隔，P点振动了半个周期，其通过的路程，故C错误； D．因T＞0.6s，在t＝0.6s内波传播的距离为，由图可知波长为，故在t＝0.6s内波传播的距离小于一个波长，则有t＝0.6s，故T＝0.8s，故D错误； 故选A。 考向2 求波长的多解问题 【例2】如图所示，一列简谐横波沿直线向右传播，a、b两质点的平衡位置相距d=6m，在某时刻a、b质点均振动到平衡位置，且a、b之间有且仅有一个波谷。这列波的波长不可能是（　　） A．4m B．6m C．8m D．12m 【答案】C 【详解】两质点都经过平衡位置，两质点之间只有一个波谷，情况如图所示，则（n=1、2、3） 解得，，，不可能是8m。 故选C。 【变式】一列简谐横波沿直线由a向b传播，a、b相距3m，a、b两质点的振动图像分别如图甲和乙所示，则这列波的波长可能是（    ） A．4m B．8m C．12m D．16m 【答案】A 【详解】由振动图像可知0时刻，a质点处于波峰，b质点经过平衡位置向下运动，作出0时刻ab之间的可能波形图如下 由周期性可知 解得 当n=0时,最大，此时 故选A。 考向 3 求波速的多解问题 【例3】一列沿x轴向右传播的简谐横波在时的波形如图甲所示，处质点的振动图像如图乙所示，则波速可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据图乙，在时处的质点在平衡位置向上运动；若波向右传播，根据图甲得， 根据图乙，周期为，又因为 解得 n=1时，，故选A。 【变式】有一列沿水平方向传播的简谐横波，在波的传播方向上有平衡位置相距的、两质点，已知波的传播方向由指向，图甲、乙分别是、两质点的振动图像。则这列波的波速可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得 所以 所以 当时，有 当时，有 当时，有 故选A。 考向4 传播方向的多解问题 【例4】．图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线。过后，其波形图曲线如图中虚线所示，已知该波的周期大于，下列说法中正确的是（　　）    A．若波是沿x轴正方向传播的，则该波的速度大小为 B．若波是沿x轴正方向传播的，则该波的周期为 C．若波是沿x轴负方向传播的，则该波的周期为 D．若波是沿x轴负方向传播的，则该波的速度大小为 【答案】A 【详解】AB．已知该波的周期大于，则传播距离小于一个波长，若波是沿x轴正方向传播的，则 周期 故A正确，B错误； CD．若波是沿x轴负方向传播的，则 周期 故CD错误。 故选A。 【变式】．如图所示，实线是一列简谐横波在时刻的波形图，虚线是在时刻的波形图。下列说法正确的是（　　） A．当波向左传播时，波速的表达式为 B．当波向左传播且时，波速大小为 C．当波向右传播时，波速的表达式为 D．若波速，则波向左传播 【答案】B 【详解】AB．根据题意，由图可知，当波向左传播时，波在 传播的距离为 由图可知 又有 联立可得 若有 则波的传播距离 即 此时，速度为 故A错误，B正确； C．根据题意，由图可知，当波向右传播时，波在 传播的距离为 由图可知 又有 联立可得 故C错误； D．若波速，则波的传播距离为 结合上述分析可知，波向右传播，故D错误。 故选B。 一、单选题 1．如图所示，实线和虚线分别是沿x轴负方向传播的一列简谐横波在和时刻的波形图。则该波（　　）    A．传播的速度大小可能为 B．周期可能为 C．在到时间内，的质点通过的位移可能为 D．在到时间内，的质点通过的路程可能为 【答案】A 【详解】AB．波沿x轴负方向传播，根据波的周期性可得 （，，） 得 （，，） 可知，当n=0时，周期最大为 Tmax=0.8s 波速 （，，） 当n=3时 v=25m/s 故A正确，B错误； C．在t1到t2时间内，x=2m的质点通过的位移最大为5cm，不可能是1m，故C错误； D．在t1到t2时间内，x=2m的质点通过的路程为 （，，） 不可能为，故D错误。 故选A。 2．如图所示，一列沿轴传播的简谐横波，实线是时的部分波形图，虚线是时的部分波形图，其他数据图中已标出，下列说法正确的是（　　） A．这列波的波长是 B．若该波沿轴正方向传播，其周期可能是 C．若该波沿轴负方向传播，在时，处的质点振动方向沿轴负方向 D．这列波的波速可能是 【答案】B 【详解】A．由图可知，波长为 故A错误； B．若该波沿x轴正方向传播的简谐横波，实线是时的部分波形图，虚线是时的部分波形图，即 解得 当时，周期为0.16s，故B正确； C．在时，处的质点振动方向由“上下坡法”知，方向沿y轴正方向，故C错误； D．该波沿x轴正方向传播时，波速为 当波的波速是，无整数解； 该波沿x轴负方向传播时，波速为 当波的波速是20m/s时，也无整数解。故D错误。 故选B。 3．如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距1.5m。当质点P运动到上方最大位移处时，质点Q刚好运动到平衡位置，则这列波的波长可能是（　　） A．0.4m B．0.6m C．1.0m D．1.5m 【答案】A 【详解】若质点Q刚好运动到平衡位置且向上振动，则 解得波长为 若质点Q刚好运动到平衡位置且向下振动，则 解得波长为 当时，，而取选项中其他波长时，与均不为整数。 故选A。 4．图中实线和虚线分别表示一列简谐横波在传播方向上相距的两质点P和Q的振动图像。该波的波长可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若P质点离波源近，则P、Q间距离至少为四分之三个波长，有 则波长 当时，；若Q质点离波源近，则P、Q间距离至少为四分之一个波长示，有 则波长 没有选项符合这种情况。 故选D。 5．战绳作为一项超燃脂的运动，十分受人欢迎。一次战绳练习中，某运动达人晃动绳的一端使其上下振动（可视为简谐振动）形成横波。图甲、图乙分别是同一绳上P、Q两质点的振动图像，传播方向为P到Q。波长大于1m、小于3m，P、Q两质点在波的传播方向上相距3m，下列说法正确的是（  ）    A．该列波的波长可能为 B．P、Q两质点振动方向始终相反 C．该列波的波速可能为 D．从至，Q质点运动的路程为3.4m 【答案】C 【详解】ABC．由题意可知 （其中n=0、1、2……） 由于波长大于1m、小于3m，则n只能取1、2，当n=1时有 得 当n=2时有 得 且当波长为时，波速 由于P、Q两距离并不是半个波长的奇数倍，故P、Q两点的振动方向并不是始终相反，故AB错误，C正确； D．由于 且由于0时刻Q质点处于平衡位置，则此时间内Q运动的路程 故D错误。 故选C。 二、多选题 6．一列沿x轴传播的简谐横波在0时刻和t=3s时的部分波形分别如图中实线和虚线所示。下列说法正确的是（　　） A．该横波的波长为3m B．若该横波沿x轴正方向传播，则该横波的周期可能为4s C．若该横波沿x轴正方向传播，则该横波的传播速度大小可能为3m/s D．若该横波沿x轴负方向传播，则该横波的传播速度大小可能为3m/s 【答案】BD 【详解】A．由图可知，该横波的波长为4m，故A错误； B．若该横波沿x轴正方向传播，则传播的时间 解得 当时，故B正确； C．若该横波沿x轴正方向传播，周期为 则传播速度为 若，代入上式有 解得，不符合要求，故C错误； D．若该横波沿x轴负方向传播，则传播的时间 解得 则传播速度为 若，代入上式有 解得，符合要求，故D正确。 故选BD。 7．一列机械横波在同一均匀介质中沿水平x轴传播，传播方向上有两质点A、B，其平衡位置间距L=1m，t0时刻A在波峰处，B恰好在平衡位置且向上运动，经，A第一次回到平衡位置。则这列波可能的波速有（　　） A．m/s B．m/s C．8m/s D．4m/s 【答案】AB 【详解】A质点由波峰第一次运动到平衡位置，则有 可得T=0.4s 如果波沿x轴正方向传播，则有    解得 波速为 当n=4时， 如果波沿x轴负方向传播，则有    解得 波速为 当n=25时， 以上两种情况无论n取任何值，波速都不可能是8m/s或4m/s，故选AB。 8．一列简谐横波沿轴正方向传播，在处的质点的振动图像如图甲所示，在处的质点的振动图像如图乙所示，以下说法正确的是（　　） A．该波的传播速度可能为 B．该波的传播速度可能为 C．在内处的质点通过的路程可能为 D．在内处的质点通过的路程一定为 【答案】BD 【详解】AB．根据两质点的振动图像可知 解得 则波速 当时；当时；选项A错误，B正确； CD．因周期T=12s，则，在内处的质点通过的路程一定为3A=12cm，选项C错误，D正确。 故选BD。 9．水袖是我国戏剧演员在舞台上表达感情时的一种夸张技法。某次表演中，演员抖动长袖一端，随之舞动的长袖形成了一列简谐横波（如图），其中实线为时刻波的图像，虚线为时刻波的图像，波的周期。关于该简谐波，下列说法正确的是（　　） A．波长为2m B．周期一定为1.2s C．频率可能为2.5Hz D．若波沿x轴正方向传播，则波速可能为 【答案】AC 【详解】A．根据题意可知，该波的波长为，故A正确； D．若波向轴正方向传播，则有 所以周期为 因为波的周期 则有，T=1.2s 波速为 故D错误； BC．若波向轴负方向传播，则有 所以周期为， 因为波的周期 则有， 频率为 波速为 故C正确，B错误。 故选AC。 三、解答题 10．如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线是简谐横波在时刻的波形图，虚线是简谐横波在时刻的波形图。 (1)求该波的波速大小； (2)若该波的周期大于6s，求该波的周期。 【答案】(1)（） (2) 【详解】（1）由题图可知波长 波沿x轴正方向传播，则 则该波的传播速度为 解得 （） （2）该波的周期 解得 （） 又，则， 11．小明同学查阅资料得知，水波的波速v主要由水深h、水的特质等因素决定，其中，浅水波的波速满足公式。一只青蛙从一片荷叶跳入平静的水池中，平静的水面以青蛙入水点开始上下做简谐运动，在水面上激起一层涟漪（属于浅水波）。青蛙入水不远处的水面上有两片相距0.5m的树叶a、b，已知两片树叶与入水点在一条直线上且在入水点的同侧，其中，b树叶离青蛙入水点更近，两树叶振动图像分别为图中的a、b所示。（g=10m/s2） (1)求：该水波的波长可能为多少； (2)小明观察到零时刻a、b间只有一个波峰，请由此估算该水池的深度约为多少。 【答案】(1)（n=0，1，2，3，...） (2)0.4m 【详解】（1）题意可知0时刻a波在波谷，b波在平衡位置，若波从b向a传播，则两片树叶之间的距离满足（n=0，1，2，3，...） 整理得（n=0，1，2，3，...） 解得（n=0，1，2，3，...） （2）分析可知n=1，即λ=0.4m 由图像可知该水波T=0.2s 根据公式 又有 解得h=0.4m 12．为了保护海洋环境，某中学的学生在专业人员的带领下，去海边清理海洋垃圾，有学生观察到一列沿海面传播的水波（视为横波），在波的传播方向上相距的两处分别有漂浮的垃圾A和垃圾B，垃圾A、B随波上下运动（视为简谐运动），某时刻垃圾A在波峰时，垃圾B恰好运动到平衡位置。该同学记录的垃圾A的振动图像如图所示。 (1)求水波振动的振幅和波长； (2)若垃圾A、B之间（不含A、B）只有一个波谷，求这列水波的波速大小。 【答案】(1)50cm， (2)， 【详解】（1）由图像可得振幅为50cm，由题意可知   解得 （2）A、B间只有一个波谷，故或2，则或 由图像可得周期，则波速 可得或 13．如图所示，沿x轴传播的简谐横波，实线为时刻的波形图，虚线为时刻的波形图，试求： (1)简谐横波的波长和振动质点的振幅； (2)简谐横波的周期可能值是多大？ (3)若波的周期大于2s，判断波的传播方向，并求波的传播速度大小。 【答案】(1)， (2)波向右传；波向左传 (3)向右，4m/s 【详解】（1）由波形图可知，。 （2）若波向右传播，从t1到t2时间内波传播的距离为 则 根据 若波向左传播，从t1到t2时间内波传播的距离为 则 根据 （3）根据上一问的分析知当n=0时，周期最大，只有波向右传播，波的周期最大为3s大于2s，波的传播速度为。 【点睛】 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 波的多解问题 知识点 波的多解问题 1.造成波的多解问题的主要因素 （1）周期性 ①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。 ②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。 （2）双向性 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定。 ②振动方向双向性：质点振动方向不确定。 如：a.只知道质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。 b.只知道质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下（或向左、向右）两种可能。 c.只告诉波速而未说明波的传播方向，则波传播的方向有两种情形，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。 2.解决波的多解问题的一般思路 （1）首先考虑是否存在多解，若存在多解，分析造成多解的原因，从双向性、周期性分别进行考虑。 （2）对于双向性问题，两个方向对应的情形都要分别考虑。对于周期性因素造成多解的情况，一般采用从特殊到一般的思维方法，即先找出一个周期内Δt或Δx满足条件的关系，若为时间关系，则t＝nT＋Δt（n＝0，1，2，…）；若为距离关系，则x＝nλ＋Δx（n＝0，1，2，…）。 （3）注意题目是否有其他限制条件，如果波的周期、波长、波速有限定，则求出符合限定条件的解。 考向1 求周期的多解问题 【例1】如图所示，实线和虚线分别是沿着轴正方向传播的一列简谐横波在时刻和的波形图，已知波的周期，则下列关于该列波说法正确的是（　　） A．波长为 B．波速为 C．周期为 D．时刻，质点向下振动 【变式】如图所示为一列沿x轴负方向传播的简谐横波，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.6s时的波形图，波的周期T＞0.6s，则以下说法正确的是（　　） A．在t＝0.5s时，Q点到达波峰位置 B．在t＝0.9s时，P点沿y轴正方向运动 C．t＝0s至t＝0.4s，P点经过的路程为4m D．波的周期为2.4s 考向2 求波长的多解问题 【例2】如图所示，一列简谐横波沿直线向右传播，a、b两质点的平衡位置相距d=6m，在某时刻a、b质点均振动到平衡位置，且a、b之间有且仅有一个波谷。这列波的波长不可能是（　　） A．4m B．6m C．8m D．12m 【变式】一列简谐横波沿直线由a向b传播，a、b相距3m，a、b两质点的振动图像分别如图甲和乙所示，则这列波的波长可能是（    ） A．4m B．8m C．12m D．16m 考向 3 求波速的多解问题 【例3】一列沿x轴向右传播的简谐横波在时的波形如图甲所示，处质点的振动图像如图乙所示，则波速可能是（　　） A． B． C． D． 【变式】有一列沿水平方向传播的简谐横波，在波的传播方向上有平衡位置相距的、两质点，已知波的传播方向由指向，图甲、乙分别是、两质点的振动图像。则这列波的波速可能为（    ） A． B． C． D． 考向4 传播方向的多解问题 【例4】．图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线。过后，其波形图曲线如图中虚线所示，已知该波的周期大于，下列说法中正确的是（　　）    A．若波是沿x轴正方向传播的，则该波的速度大小为 B．若波是沿x轴正方向传播的，则该波的周期为 C．若波是沿x轴负方向传播的，则该波的周期为 D．若波是沿x轴负方向传播的，则该波的速度大小为 【变式】．如图所示，实线是一列简谐横波在时刻的波形图，虚线是在时刻的波形图。下列说法正确的是（　　） A．当波向左传播时，波速的表达式为 B．当波向左传播且时，波速大小为 C．当波向右传播时，波速的表达式为 D．若波速，则波向左传播 一、单选题 1．如图所示，实线和虚线分别是沿x轴负方向传播的一列简谐横波在和时刻的波形图。则该波（　　）    A．传播的速度大小可能为 B．周期可能为 C．在到时间内，的质点通过的位移可能为 D．在到时间内，的质点通过的路程可能为 2．如图所示，一列沿轴传播的简谐横波，实线是时的部分波形图，虚线是时的部分波形图，其他数据图中已标出，下列说法正确的是（　　） A．这列波的波长是 B．若该波沿轴正方向传播，其周期可能是 C．若该波沿轴负方向传播，在时，处的质点振动方向沿轴负方向 D．这列波的波速可能是 3．如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距1.5m。当质点P运动到上方最大位移处时，质点Q刚好运动到平衡位置，则这列波的波长可能是（　　） A．0.4m B．0.6m C．1.0m D．1.5m 4．图中实线和虚线分别表示一列简谐横波在传播方向上相距的两质点P和Q的振动图像。该波的波长可能为（　　） A． B． C． D． 5．战绳作为一项超燃脂的运动，十分受人欢迎。一次战绳练习中，某运动达人晃动绳的一端使其上下振动（可视为简谐振动）形成横波。图甲、图乙分别是同一绳上P、Q两质点的振动图像，传播方向为P到Q。波长大于1m、小于3m，P、Q两质点在波的传播方向上相距3m，下列说法正确的是（  ）    A．该列波的波长可能为 B．P、Q两质点振动方向始终相反 C．该列波的波速可能为 D．从至，Q质点运动的路程为3.4m 二、多选题 6．一列沿x轴传播的简谐横波在0时刻和t=3s时的部分波形分别如图中实线和虚线所示。下列说法正确的是（　　） A．该横波的波长为3m B．若该横波沿x轴正方向传播，则该横波的周期可能为4s C．若该横波沿x轴正方向传播，则该横波的传播速度大小可能为3m/s D．若该横波沿x轴负方向传播，则该横波的传播速度大小可能为3m/s 7．一列机械横波在同一均匀介质中沿水平x轴传播，传播方向上有两质点A、B，其平衡位置间距L=1m，t0时刻A在波峰处，B恰好在平衡位置且向上运动，经，A第一次回到平衡位置。则这列波可能的波速有（　　） A．m/s B．m/s C．8m/s D．4m/s 8．一列简谐横波沿轴正方向传播，在处的质点的振动图像如图甲所示，在处的质点的振动图像如图乙所示，以下说法正确的是（　　） A．该波的传播速度可能为 B．该波的传播速度可能为 C．在内处的质点通过的路程可能为 D．在内处的质点通过的路程一定为 9．水袖是我国戏剧演员在舞台上表达感情时的一种夸张技法。某次表演中，演员抖动长袖一端，随之舞动的长袖形成了一列简谐横波（如图），其中实线为时刻波的图像，虚线为时刻波的图像，波的周期。关于该简谐波，下列说法正确的是（　　） A．波长为2m B．周期一定为1.2s C．频率可能为2.5Hz D．若波沿x轴正方向传播，则波速可能为 三、解答题 10．如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线是简谐横波在时刻的波形图，虚线是简谐横波在时刻的波形图。 (1)求该波的波速大小； (2)若该波的周期大于6s，求该波的周期。 11．小明同学查阅资料得知，水波的波速v主要由水深h、水的特质等因素决定，其中，浅水波的波速满足公式。一只青蛙从一片荷叶跳入平静的水池中，平静的水面以青蛙入水点开始上下做简谐运动，在水面上激起一层涟漪（属于浅水波）。青蛙入水不远处的水面上有两片相距0.5m的树叶a、b，已知两片树叶与入水点在一条直线上且在入水点的同侧，其中，b树叶离青蛙入水点更近，两树叶振动图像分别为图中的a、b所示。（g=10m/s2） (1)求：该水波的波长可能为多少； (2)小明观察到零时刻a、b间只有一个波峰，请由此估算该水池的深度约为多少。 12．为了保护海洋环境，某中学的学生在专业人员的带领下，去海边清理海洋垃圾，有学生观察到一列沿海面传播的水波（视为横波），在波的传播方向上相距的两处分别有漂浮的垃圾A和垃圾B，垃圾A、B随波上下运动（视为简谐运动），某时刻垃圾A在波峰时，垃圾B恰好运动到平衡位置。该同学记录的垃圾A的振动图像如图所示。 (1)求水波振动的振幅和波长； (2)若垃圾A、B之间（不含A、B）只有一个波谷，求这列水波的波速大小。 13．如图所示，沿x轴传播的简谐横波，实线为时刻的波形图，虚线为时刻的波形图，试求： (1)简谐横波的波长和振动质点的振幅； (2)简谐横波的周期可能值是多大？ (3)若波的周期大于2s，判断波的传播方向，并求波的传播速度大小。 学科网（北京）股份有限公司 $