2.5实验：用单摆测量重力加速度 讲义（知识点、典例、达标练）-2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

第5节 实验：用单摆测量重力加速度 知识点 用单摆测量重力加速度 一、实验原理 　当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，由此得到g＝，因此，只要测出　摆长l　和　振动周期T　，就可以求出当地的重力加速度g的值。 二、实验器材 　铁架台、单摆、　游标卡尺　、毫米刻度尺、　停表　。 三、实验过程 1.让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆。 2.把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。 3.用毫米刻度尺量出摆线长度l'，用游标卡尺测出金属小球的直径，得出金属小球半径r，计算出摆长l＝　l'＋r　。 4.把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度（小于5°），然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T。 5.根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。 6.改变摆长，重做几次实验。 四、数据处理 1.公式法：利用T＝求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度。 2. 图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条　过原点的直线　，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝　4π2k　求出重力加速度。 五、注意事项 1.一般选用一米左右的细线。 2.悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。 3.应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。 4.单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于　5°　。 5.选择在摆球摆到　平衡位置处时　开始计时，并数准全振动的次数。 六、误差分析 1.系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等等。 2.偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的测量上。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。 3.图像分析：单摆周期公式为T＝2π，得T2＝l， 若误将悬点到小球下端的距离记为摆长，则T2＝(L－r)，作出的图线应当是图丁中的③。 若误将悬点到小球上端的距离记为摆长，则T2＝(L+r)，作出的图线应当是图丁中的① T2－L图像斜率不受影响，故利用该图线求得的重力加速度等于利用图线②求得的重力加速度。 考向1 读数问题 【例1】在“用单摆测定重力加速度”的实验中， (1)组装了如下几种实验装置，你认为最合理的装置是________ A． B． C． D． (2)用毫米刻度尺测得摆线长度为l，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则摆球的直径________，摆长________（用字母、表达）； 【答案】(1)B (2) 【详解】（1）单摆实验要求：摆线不可伸长、质量不计；摆球密度大、体积小，可视为质点；悬挂点固定，摆动在同一竖直平面内。 A．弹性绳会伸缩，摆长不固定，故A错误； B．铁夹、细绳和铁球，满足要求，故B正确； C．粗金属杆缠绕，悬挂点不固定，摆动不稳定，故C错误； D．塑料球密度小，受空气阻力影响大，，故D错误。 故选B。 （2）[1]游标卡尺读数等于主尺读数加游标读数 由图，主尺读数，游标为十分度，精度，游标零刻度对齐。 因此游标卡尺读数 [2]摆长是悬点到摆球中心的距离，因此 【变式】用单摆测量当地的重力加速度，实验装置如图1所示。 (1)组装单摆时，应该选用________。（用器材前的字母表示） A．长度为1 m左右的细线 B．长度为30 cm左右的细线 C．直径约为2 cm的塑料球 D．直径约为2 cm的钢球 (2)实验中用游标卡尺测量金属球的直径，测量结果如图2所示，读出小球直径________； (3)实验中测得摆线长为、小球直径为、记录摆球做次全振动的时间为，可以测得重力加速度________（用、、、表示）。 【答案】(1)AD (2)2.06 (3) 【详解】（1）AB．为减小实验误差，摆线长度应远大于摆球直径，选择1m左右的细线，故A正确，B错误； CD．为减小空气阻力，摆球应选质量大而体积小的钢球，故C错误，D正确。 故选AD。 （2）由图可知游标卡尺为10分度，精度为0.1mm，则小球直径 （3）单摆完成n次全振动所用的时间t，则单摆周期为 根据 联立解得 考向2 实验基本操作 【例2】某学习小组用单摆测量重力加速度的实验装置如图所示。 (1)本实验____________（填“需要”或“不需要”）称量小球的质量; (2)关于实验操作，下列说法正确的是____________。 A．摆线要选择细一些、伸缩性小一些、适当短一些的 B．摆球尽量选择质量大一些、体积小一些的 C．为了使单摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角尽量大一些 (3)测得摆线的长度为，小球的直径为，测出单摆完成次全振动所用的时间，则单摆的周期____________，重力加速度____________（用、、、、表示）。 (4)为了减少实验误差，改变摆线的长度，测量出多组周期和摆线长度，以为横坐标、为纵坐标作出图线，若图像的斜率为，则当地的重力加速度____________（用和表示）。 【答案】(1)不需要 (2)B (3) (4) 【详解】（1）该实验不需要称量小球的质量。 （2）A．摆线要选择细一些、伸缩性小一些、适当长一些的，可以减小实验误差，故A错误； B．摆球尽量选择质量大一些的，体积小一些的，故B正确； C．摆球的摆动角度不能太大，一般不超过，且周期与角度无关，故C错误。 故选B。 （3）[1]根据题意可知，单摆的周期 [2]根据 解得重力加速度 （4）由 可得 则图像的斜率 解得 【变式】某同学利用如图甲所示的装置测量当地的重力加速度。细线一端用铁夹固定在横梁处，另一端连接带遮光片的小钢球，在小钢球平衡位置的正下方、与遮光片正对的位置安装一光电门。 (1)用10分度的游标卡尺测量小钢球的直径，某次测量如图乙所示，从图中读出__________。 (2)用毫米刻度尺测量细线长度为，摆长记为；将小钢球拉开一定角度（小于5°）由静止释放，当遮光片某次经过光电门时开始计时并记为第0次，第次时停止计时，所用时间为，则小钢球摆动的周期为__________。 (3)改变摆长多次测量，得到多组和的数据。绘制图像如图丙所示，则__________（结果保留三位有效数字，取9.86）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由图乙可知，小钢球的直径 （2）根据题意可知，小钢球摆动的周期为。 （3）根据题意，由单摆周期公式 整理可得 结合图丙可得 解得 考向 3 误差分析 【例3】某学习小组利用单摆测定当地的重力加速度。 (1)该小组就地取材组装了以下几种实验装置。其中最为合理的是__________； A． B． C． (2)为了准确测量单摆周期，应在摆球到达__________（选填“最低点”或“最高点”）位置时开始计时； (3)若某次实验测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度，则造成这一情况可能的原因是__________。 A．选用的摆线相对过长 B．测量摆长时，以悬点到小球上端边缘的距离为摆长 C．测量周期时，误将摆球的49次全振动记为50次 【答案】(1)B (2)最低点 (3)C 【详解】（1）为了保证摆长不变，应用金属夹夹住细绳，为了减小误差，应选择密度大的铁球。 故选B。 （2）为了准确测量单摆周期，应在摆球到达最低点位置时开始计时。 （3）根据，可得，据此分析 A．选用的摆线相对过长，则周期相应变大，对重力加速度测量无影响，选项A错误； B．测量摆长时，以悬点到小球上端边缘的距离为摆长，则摆长测量值偏小，重力加速度偏小，选项B错误； C．测量周期时，误将摆球的49次全振动记为50次，则测得的周期偏小，则重力加速度测量值偏大，选项C正确。 故选C。 【变式】某班同学们用单摆测量重力加速度，实验装置如图甲所示。 (1)第一组同学在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且计数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端），再用螺旋测微器测得摆球的直径为d（读数如图乙所示）。该小组的一位同学认为单摆周期为，并由此计算当地的重力加速度，若该小组其他操作都正确，他们的测量结果将___________。（选填“偏大”“偏小”或“不变”） (2)第二组同学经测量得到6组摆长L和对应的周期T，画出图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图丙所示。则当地重力加速度的表达式g=___________。 (3)在测量时，第三小组由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，如图丁所示，这时如果测出摆球做这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比___________（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。 【答案】(1)偏大 (2) (3)偏大 【详解】（1）实验中，单摆的周期为 该小组的一位同学认为单摆周期为 可知周期的测量值偏小，根据 可得 可知由此计算当地的重力加速度，若该小组其他操作都正确，他们的测量结果将偏大。 （2）根据单摆周期公式 可得 结合图像，则有 解得 （3）以表示摆线长，表示摆线与竖直方向的夹角，表示摆球的质量，表示摆线对摆球的拉力，表示摆球圆锥摆运动的周期，摆球受力分析，如图所示 在水平方向，根据牛顿第二定律有 联立解得 根据单摆周期公式 可知单摆运动的等效摆长小于单摆摆长，则单摆周期的测量值偏小，根据单摆周期公式求出的重力加速度 可知重力加速度的测量值大于真实值。 考向4 创新实验 【例4】．在用单摆测重力加速度的实验中，杭州二中某兴趣小组开展了若干探究活动。 (1)如图1所示，在摆球的平衡位置处安装光电门。陈同学利用光电门，从小钢球第1次经过______（选填“最高点”或“最低点”）的时刻作为计时起点； (2)利用图像处理实验数据是常用的方法，吴同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度，测出对应的周期T，作出相应的关系图线，如图2所示。图线的斜率，则重力加速度______（保留3位有效数字）； 【答案】(1)最低点 (2)9.71 【详解】（1）单摆摆动过程中，最低点速度最大，相同位置误差下计时误差最小，因此选择小钢球第1次经过最低点作为计时起点。 （2）设摆球半径为，根据单摆周期公式 解得 结合图2，可知图像的斜率为 解得 【变式】在利用单摆测量重力加速度时，某学习小组为了解环境对测量结果带来的影响，设计了如下实验，实验装置如图甲所示。 (1)物理量的测量： ①测摆长：用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长为（从悬点到摆球的最上端），再用螺旋测微器测得摆球的直径为。由图乙可知，摆球的直径__________mm； ②测周期：让摆球带上正电并处于匀强磁场中，拉开一个小角度后静止释放。摆球摆动到最低点开始计时且记数为1，到第次经过最低点所用的时间为，则周期__________。 (2)已知：磁感应强度为，磁场方向平行水平桌面，且与摆球摆动平面垂直（不计空气阻力），带电摆球电荷量为，摆球到达最低点时的速度为，则相邻两次经过最低点时，摆绳的拉力差大小__________。 (3)若该小组其他操作都正确，并由此计算当地的重力加速度，__________（用物理量、、表示）； 【答案】(1) /5.981/5.979 (2) (3) 【详解】（1）[1]由图乙可知，摆球的直径 [2]单摆的周期为 （2）洛伦兹力不做功，故带电摆球相邻两次经过最低点，速度大小相等，方向相反，即洛伦兹力大小相等，方向相反，设第一次经过最低点时洛伦兹力方向为背离圆心，则第二次经过最低点时洛伦兹力方向为指向圆心，根据牛顿第二定律有， 联立解得摆绳的拉力差大小 （3）根据单摆周期公式有 解得 1．用单摆测定重力加速度的实验装置如图甲所示。 (1)组装单摆时，在下列提供的器材中应选用_________（填选项前字母）。 A．长度为左右的细线 B．长度为左右的细线 C．直径为左右的铁球 D．直径为左右的塑料球 (2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用图_________（选填“乙”或“丙”）所示的固定方式。 (3)甲同学测得摆球的直径为，测得球完成次全振动所用的时间为，测得摆球用线长为，根据以上数据，可得到当地的重力加速度为_________（用、等字母表示）。 【答案】(1)AC (2)乙 (3) 【详解】（1）本实验要求摆长约1m，以减小测量误差； 同时需要选择密度更大的摆球，减小空气阻力对实验的影响 因此选1m左右的细线、直径2cm左右的铁球，故选AC。 （2）实验过程中需要保证悬点固定，避免摆动时摆长发生变化。乙图用夹子固定悬点，摆长稳定； 丙图缠绕式固定，摆动时悬点会滑动、摆长会改变，故选乙。 （3）单摆的实际摆长为​ 单摆的周期为 根据单摆周期公式​​ 联立可得 2．实验小组要利用下图（a）装置来测量当地的重力加速度。 (1)将摆线上端固定在铁架台上，下端系在小球上，做成图（a）所示的单摆。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长为l，再用20分度游标卡尺测得摆球的直径为d（读数如图（b）所示），摆球的直径d=__________cm； (2)将小球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，小球经平衡位置时开始计时，小球完成n次全振动所用时间为t，则单摆周期T=_____； (3)根据已知信息，当地重力加速度的表达式应为g=_____（用π、n、t、l、d表示）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由图可知直径 （2）单摆周期为一次全振动所用时间则 （3）由单摆周期公式 可得 3．某学习小组用如图甲所示装置进行“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)如图甲，可在单摆悬点处安装力传感器，某同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图乙所示，则单摆在时刻小球加速度_____（选填“指向圆心”或“沿切线方向”）。 (2)若已知摆长和周期，则当地重力加速度的表达式_____（用、表示）。 (3)若实验时，固定细线的铁夹出现松动，摆动过程中摆线变长了，则测得的重力加速度_____（选填“偏大”或“偏小”）。 【答案】(1)沿切线方向 (2) (3)偏小 【详解】（1）时刻线中拉力最小，对应小球在最高点，小球的速度为0，向心加速度为0，所以加速度沿切线方向。 （2）由单摆的周期公式，可得当地重力加速度的表达式为 （3）摆线松动变长后，测量得到的摆长（初始摆长）小于实际摆过程中的摆长，周期测量值是实际摆动的周期，根据，测得的重力加速度值偏小。 4．某学习小组在实验室用如图甲所示的装置进行“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)为提高实验测量的准确性，小组成员对实验操作的注意事项发表了下列观点，其中正确的是__________。（多选） A．对于摆球的选择，可以是小铁球，也可以是小塑料球 B．测量摆线长时，要让摆球静止悬挂再测量 C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动 D．测量周期时应该在小球摆到最高点时开始计时 (2)为减小实验误差，多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用得到的数据绘制-L图像如图乙所示。由图可知重力加速度大小__________。（用图中字母表示） 【答案】(1)BC (2) 【详解】（1）A．为减小空气阻力对实验的影响，减小实验误差，组装单摆须选用密度大、体积小的摆球，故A错误； B．测量摆长时应在摆球安装好后测量悬点到球心的距离，故B正确； C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动，不能使单摆成为圆锥摆，故C正确； D．在摆球经过平衡位置时开始计时，速度最大，误差最小，故D错误。 故选BC。 （2）根据单摆的周期公式 解得 可知图像的斜率为 则重力加速度大小 5．晓宇在用单摆测量当地的重力加速度时，利用了如图所示的实验装置。两根等长摆线将一小球拴接在铁架台的横梁上，用刻度尺测量出摆线的长度L，并测量出摆线与水平横梁的夹角，用螺旋测微器测得小球的直径为d，将摆球拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，通过秒表测量小球的摆动周期T。 请回答下列问题： (1)为了减小实验误差，实验时应从摆球摆到_______（选填“最低点”或“最高点”）开始计时。 (2)该单摆的摆长为_______，当地的重力加速度为_______。（均用题中物理量符号表示） 【答案】(1)最低点 (2) 【详解】（1）为了减小实验误差，实验时应从摆球摆到最低点开始计时。 （2）[1]该单摆的摆长为 [2]根据 解得当地的重力加速度为 6．某实验小组用图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢球直径，示数如图乙所示，小钢球直径__________mm，记摆长。 (2)拉开小钢球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于，释放小钢球，当其振动稳定时，在小球经过最低点开始计时并计数，记下多次全振动的时间，计算出周期T。多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T，并作出图像，图像为过原点的直线，其斜率为k，如图丙中实线所示，则重力加速度__________（用k表示）。 (3)若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，作出的图像可能为图丙中的虚线__________（选填“1”“2”或“3”）。 【答案】(1)20.025/20.024/20.026 (2) (3)3 【详解】（1）由螺旋测微器的示数可知，小球的直径为 （2）根据 解得 结合图像可知，图线斜率 解得 （3）若将摆线长度误认为摆长，则有 整理得 故斜率不变，纵轴截距为负值，可能为图丙中的虚线3。 7．智能手机自带许多传感器，某同学想使用其中的光传感器，结合单摆做“探究单摆的周期与摆长的关系”实验。实验装置如图（甲）所示。O点为单摆的悬点，将摆球拉到A点，由静止释放摆球，B点为其运动过程中的最低位置。则 (1)下图中有关器材的选择和安装最合理的是________； A． B． C． D． (2)若使用光电计时器精确测量单摆的周期，光电门应放在________（选填“A”或“B”）处与球心等高的位置。 (3)由于家中没有游标卡尺，无法测小球的直径d，该同学将摆线长度作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出图像如图。算出当地重力加速度，从理论上讲用这种方法得到的当地重力加速度________（选填“偏大”或“偏小”或“准确”）。 【答案】(1)C (2)B (3)准确 【详解】（1）为了减小空气阻力的影响，需选择质量大的铁球，其次，为了防止悬点滑动，需要夹子夹住摆线，最后，为了不让摆长发生改变，需选择细丝线。 故选C。 （2）摆球经过B时速度最大，通过光电门的时间最短，测量误差小，故光电门应放在B处。 （3）根据单摆周期公式 可得 则图线斜率计算得到的重力加速度与小球的直径无关，故这种方法得到的当地重力加速度准确。 8．某同学利用智能手机和一个磁性小球做“用单摆测量重力加速度”实验，装置如图甲所示。 (1)将摆线上端固定在铁架台上，下端拴接一磁性小球，将智能手机中的磁传感器置于磁性小球平衡位置的正下方，使小球在竖直面内做小角度摆动（摆角小于5°），打开智能手机的磁传感器，测量磁感应强度的变化。手机软件记录的磁感应强度随时间变化的关系如图乙所示，则该单摆的周期 T=________（用t1和t2表示）。 (2)假设实验中，该同学测摆长时忘记计入磁性小球的半径，导致计算代入的摆长变短，则根据单摆周期公式直接求得的当地重力加速度的值________（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。 【答案】(1) (2)偏小 【详解】（1）磁性小球经过最低点时手机软件测得的磁感应强度最大，根据题图可知 （2）根据单摆周期公式可知，若测摆长时忘记计入磁性小球的半径，导致计算代入的摆长变短，根据单摆周期公式求得的当地重力加速度的值偏小。 9．某实验小组利用如图甲所示的装置，来测量当地的重力加速度g，实验步骤如下： A、按甲图安装好实验装置； B、用游标卡尺测量小球的直径d； C、用米尺测量悬线的长度L； D、让小球在竖直平面内小角度摆动，记录小球10次全振动时间为t； E、数据处理，计算得到当地重力加速度g。 结合上述实验，完成下列问题： (1)用游标为10分度的游标卡尺测量小球直径，示数如图乙所示，读数为_______mm。 (2)根据所测数据，当地重力加速度_______（用d、L、、t表示）。 (3)实验测得重力加速度g比当地实际的重力加速度要偏大，可能原因是_______。 A．直接将悬线的长度当作摆长来计算 B．误将小球9次全振动记录成10次 【答案】(1)15.2 (2) (3)B 【详解】（1）由图可知，游标卡尺的读数为 （2）由题意可知，单摆的摆长为 单摆的周期为 单摆周期公式 联立，解得 （3）A．根据 可得 若直接将悬线的长度当作摆长来计算，则摆长偏小，实验测得重力加速度g比当地实际的重力加速度要偏小，故A错误； B．根据单摆的周期为 若误将小球9次全振动记录成10次，则单摆周期偏小，根据 可知，实验测得重力加速度g比当地实际的重力加速度要偏大，故B正确。 故选B。 10．2025年是我国首次自主完成珠峰高程测量50周年。某兴趣小组受此启发，在泰山山顶用单摆测量重力加速度，并以此估算海拔高度。实验装置如图甲所示，实验中测得摆球完成次全振动的时间。请回答： (1)用20分度的游标卡尺测量摆球直径。游标卡尺示数如图乙所示，则摆球的直径为______。 (2)若测得摆线长度，则重力加速度的测量值______（取，结果保留三位有效数字）。 (3)多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆线长和对应的摆球摆动周期，并作出图像。由于未考虑小球的大小，图像为不过原点的直线，利用图像的斜率计算得到的重力加速度值______（填“偏大”“偏小”或“不变”）。 【答案】(1)19.20 (2)9.76 (3)不变 【详解】（1）摆球的直径为 （2）根据单摆周期公式有 变形得 又， 联立解得 （3）根据单摆周期公式有 又 联立得 可知图像的斜率为 解得 可知利用图像的斜率计算得到的重力加速度值，与图像是否过原点无关，只要斜率不变，重力加速度就不变。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5节 实验：用单摆测量重力加速度 知识点 用单摆测量重力加速度 一、实验原理 　当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，由此得到g＝，因此，只要测出　摆长l　和　振动周期T　，就可以求出当地的重力加速度g的值。 二、实验器材 　铁架台、单摆、　游标卡尺　、毫米刻度尺、　停表　。 三、实验过程 1.让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆。 2.把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。 3.用毫米刻度尺量出摆线长度l'，用游标卡尺测出金属小球的直径，得出金属小球半径r，计算出摆长l＝　l'＋r　。 4.把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度（小于5°），然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T。 5.根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。 6.改变摆长，重做几次实验。 四、数据处理 1.公式法：利用T＝求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度。 2. 图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条　过原点的直线　，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝　4π2k　求出重力加速度。 五、注意事项 1.一般选用一米左右的细线。 2.悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。 3.应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。 4.单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于　5°　。 5.选择在摆球摆到　平衡位置处时　开始计时，并数准全振动的次数。 六、误差分析 1.系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等等。 2.偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的测量上。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。 3.图像分析：单摆周期公式为T＝2π，得T2＝l， 若误将悬点到小球下端的距离记为摆长，则T2＝(L－r)，作出的图线应当是图丁中的③。 若误将悬点到小球上端的距离记为摆长，则T2＝(L+r)，作出的图线应当是图丁中的① T2－L图像斜率不受影响，故利用该图线求得的重力加速度等于利用图线②求得的重力加速度。 考向1 读数问题 【例1】在“用单摆测定重力加速度”的实验中， (1)组装了如下几种实验装置，你认为最合理的装置是________ A． B． C． D． (2)用毫米刻度尺测得摆线长度为l，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则摆球的直径________，摆长________（用字母、表达）； 【变式】用单摆测量当地的重力加速度，实验装置如图1所示。 (1)组装单摆时，应该选用________。（用器材前的字母表示） A．长度为1 m左右的细线 B．长度为30 cm左右的细线 C．直径约为2 cm的塑料球 D．直径约为2 cm的钢球 (2)实验中用游标卡尺测量金属球的直径，测量结果如图2所示，读出小球直径________； (3)实验中测得摆线长为、小球直径为、记录摆球做次全振动的时间为，可以测得重力加速度________（用、、、表示）。 考向2 实验基本操作 【例2】某学习小组用单摆测量重力加速度的实验装置如图所示。 (1)本实验____________（填“需要”或“不需要”）称量小球的质量; (2)关于实验操作，下列说法正确的是____________。 A．摆线要选择细一些、伸缩性小一些、适当短一些的 B．摆球尽量选择质量大一些、体积小一些的 C．为了使单摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角尽量大一些 (3)测得摆线的长度为，小球的直径为，测出单摆完成次全振动所用的时间，则单摆的周期____________，重力加速度____________（用、、、、表示）。 (4)为了减少实验误差，改变摆线的长度，测量出多组周期和摆线长度，以为横坐标、为纵坐标作出图线，若图像的斜率为，则当地的重力加速度____________（用和表示）。 【变式】某同学利用如图甲所示的装置测量当地的重力加速度。细线一端用铁夹固定在横梁处，另一端连接带遮光片的小钢球，在小钢球平衡位置的正下方、与遮光片正对的位置安装一光电门。 (1)用10分度的游标卡尺测量小钢球的直径，某次测量如图乙所示，从图中读出__________。 (2)用毫米刻度尺测量细线长度为，摆长记为；将小钢球拉开一定角度（小于5°）由静止释放，当遮光片某次经过光电门时开始计时并记为第0次，第次时停止计时，所用时间为，则小钢球摆动的周期为__________。 (3)改变摆长多次测量，得到多组和的数据。绘制图像如图丙所示，则__________（结果保留三位有效数字，取9.86）。 考向 3 误差分析 【例3】某学习小组利用单摆测定当地的重力加速度。 (1)该小组就地取材组装了以下几种实验装置。其中最为合理的是__________； A． B． C． (2)为了准确测量单摆周期，应在摆球到达__________（选填“最低点”或“最高点”）位置时开始计时； (3)若某次实验测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度，则造成这一情况可能的原因是__________。 A．选用的摆线相对过长 B．测量摆长时，以悬点到小球上端边缘的距离为摆长 C．测量周期时，误将摆球的49次全振动记为50次 【变式】某班同学们用单摆测量重力加速度，实验装置如图甲所示。 (1)第一组同学在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且计数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端），再用螺旋测微器测得摆球的直径为d（读数如图乙所示）。该小组的一位同学认为单摆周期为，并由此计算当地的重力加速度，若该小组其他操作都正确，他们的测量结果将___________。（选填“偏大”“偏小”或“不变”） (2)第二组同学经测量得到6组摆长L和对应的周期T，画出图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图丙所示。则当地重力加速度的表达式g=___________。 (3)在测量时，第三小组由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，如图丁所示，这时如果测出摆球做这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比___________（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。 考向4 创新实验 【例4】．在用单摆测重力加速度的实验中，杭州二中某兴趣小组开展了若干探究活动。 (1)如图1所示，在摆球的平衡位置处安装光电门。陈同学利用光电门，从小钢球第1次经过______（选填“最高点”或“最低点”）的时刻作为计时起点； (2)利用图像处理实验数据是常用的方法，吴同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度，测出对应的周期T，作出相应的关系图线，如图2所示。图线的斜率，则重力加速度______（保留3位有效数字）； 【变式】在利用单摆测量重力加速度时，某学习小组为了解环境对测量结果带来的影响，设计了如下实验，实验装置如图甲所示。 (1)物理量的测量： ①测摆长：用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长为（从悬点到摆球的最上端），再用螺旋测微器测得摆球的直径为。由图乙可知，摆球的直径__________mm； ②测周期：让摆球带上正电并处于匀强磁场中，拉开一个小角度后静止释放。摆球摆动到最低点开始计时且记数为1，到第次经过最低点所用的时间为，则周期__________。 (2)已知：磁感应强度为，磁场方向平行水平桌面，且与摆球摆动平面垂直（不计空气阻力），带电摆球电荷量为，摆球到达最低点时的速度为，则相邻两次经过最低点时，摆绳的拉力差大小__________。 (3)若该小组其他操作都正确，并由此计算当地的重力加速度，__________（用物理量、、表示）； 1．用单摆测定重力加速度的实验装置如图甲所示。 (1)组装单摆时，在下列提供的器材中应选用_________（填选项前字母）。 A．长度为左右的细线 B．长度为左右的细线 C．直径为左右的铁球 D．直径为左右的塑料球 (2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用图_________（选填“乙”或“丙”）所示的固定方式。 (3)甲同学测得摆球的直径为，测得球完成次全振动所用的时间为，测得摆球用线长为，根据以上数据，可得到当地的重力加速度为_________（用、等字母表示）。 2．实验小组要利用下图（a）装置来测量当地的重力加速度。 (1)将摆线上端固定在铁架台上，下端系在小球上，做成图（a）所示的单摆。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长为l，再用20分度游标卡尺测得摆球的直径为d（读数如图（b）所示），摆球的直径d=__________cm； (2)将小球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，小球经平衡位置时开始计时，小球完成n次全振动所用时间为t，则单摆周期T=_____； (3)根据已知信息，当地重力加速度的表达式应为g=_____（用π、n、t、l、d表示）。 3．某学习小组用如图甲所示装置进行“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)如图甲，可在单摆悬点处安装力传感器，某同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图乙所示，则单摆在时刻小球加速度_____（选填“指向圆心”或“沿切线方向”）。 (2)若已知摆长和周期，则当地重力加速度的表达式_____（用、表示）。 (3)若实验时，固定细线的铁夹出现松动，摆动过程中摆线变长了，则测得的重力加速度_____（选填“偏大”或“偏小”）。 4．某学习小组在实验室用如图甲所示的装置进行“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)为提高实验测量的准确性，小组成员对实验操作的注意事项发表了下列观点，其中正确的是__________。（多选） A．对于摆球的选择，可以是小铁球，也可以是小塑料球 B．测量摆线长时，要让摆球静止悬挂再测量 C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动 D．测量周期时应该在小球摆到最高点时开始计时 (2)为减小实验误差，多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用得到的数据绘制-L图像如图乙所示。由图可知重力加速度大小__________。（用图中字母表示） 5．晓宇在用单摆测量当地的重力加速度时，利用了如图所示的实验装置。两根等长摆线将一小球拴接在铁架台的横梁上，用刻度尺测量出摆线的长度L，并测量出摆线与水平横梁的夹角，用螺旋测微器测得小球的直径为d，将摆球拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，通过秒表测量小球的摆动周期T。 请回答下列问题： (1)为了减小实验误差，实验时应从摆球摆到_______（选填“最低点”或“最高点”）开始计时。 (2)该单摆的摆长为_______，当地的重力加速度为_______。（均用题中物理量符号表示） 6．某实验小组用图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢球直径，示数如图乙所示，小钢球直径__________mm，记摆长。 (2)拉开小钢球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于，释放小钢球，当其振动稳定时，在小球经过最低点开始计时并计数，记下多次全振动的时间，计算出周期T。多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T，并作出图像，图像为过原点的直线，其斜率为k，如图丙中实线所示，则重力加速度__________（用k表示）。 (3)若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，作出的图像可能为图丙中的虚线__________（选填“1”“2”或“3”）。 7．智能手机自带许多传感器，某同学想使用其中的光传感器，结合单摆做“探究单摆的周期与摆长的关系”实验。实验装置如图（甲）所示。O点为单摆的悬点，将摆球拉到A点，由静止释放摆球，B点为其运动过程中的最低位置。则 (1)下图中有关器材的选择和安装最合理的是________； A． B． C． D． (2)若使用光电计时器精确测量单摆的周期，光电门应放在________（选填“A”或“B”）处与球心等高的位置。 (3)由于家中没有游标卡尺，无法测小球的直径d，该同学将摆线长度作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出图像如图。算出当地重力加速度，从理论上讲用这种方法得到的当地重力加速度________（选填“偏大”或“偏小”或“准确”）。 8．某同学利用智能手机和一个磁性小球做“用单摆测量重力加速度”实验，装置如图甲所示。 (1)将摆线上端固定在铁架台上，下端拴接一磁性小球，将智能手机中的磁传感器置于磁性小球平衡位置的正下方，使小球在竖直面内做小角度摆动（摆角小于5°），打开智能手机的磁传感器，测量磁感应强度的变化。手机软件记录的磁感应强度随时间变化的关系如图乙所示，则该单摆的周期 T=________（用t1和t2表示）。 (2)假设实验中，该同学测摆长时忘记计入磁性小球的半径，导致计算代入的摆长变短，则根据单摆周期公式直接求得的当地重力加速度的值________（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。 9．某实验小组利用如图甲所示的装置，来测量当地的重力加速度g，实验步骤如下： A、按甲图安装好实验装置； B、用游标卡尺测量小球的直径d； C、用米尺测量悬线的长度L； D、让小球在竖直平面内小角度摆动，记录小球10次全振动时间为t； E、数据处理，计算得到当地重力加速度g。 结合上述实验，完成下列问题： (1)用游标为10分度的游标卡尺测量小球直径，示数如图乙所示，读数为_______mm。 (2)根据所测数据，当地重力加速度_______（用d、L、、t表示）。 (3)实验测得重力加速度g比当地实际的重力加速度要偏大，可能原因是_______。 A．直接将悬线的长度当作摆长来计算 B．误将小球9次全振动记录成10次 10．2025年是我国首次自主完成珠峰高程测量50周年。某兴趣小组受此启发，在泰山山顶用单摆测量重力加速度，并以此估算海拔高度。实验装置如图甲所示，实验中测得摆球完成次全振动的时间。请回答： (1)用20分度的游标卡尺测量摆球直径。游标卡尺示数如图乙所示，则摆球的直径为______。 (2)若测得摆线长度，则重力加速度的测量值______（取，结果保留三位有效数字）。 (3)多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆线长和对应的摆球摆动周期，并作出图像。由于未考虑小球的大小，图像为不过原点的直线，利用图像的斜率计算得到的重力加速度值______（填“偏大”“偏小”或“不变”）。 学科网（北京）股份有限公司 $