2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦“两条直线平行和垂直的判定”，通过基础辨析、综合计算、应用推理三层设计，实现从概念理解到问题解决的进阶，培养数学思维与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|平行垂直概念辨析、斜率基本计算|多选概念辨析（如第1题）强化数学眼光，直接考查核心定义| |能力提升|综合条件转化、数学建模|四边形内接圆条件转化（第5题）渗透数学语言，需斜率公式逆用| |综合应用|多步骤推理、几何位置关系证明|含参数直线位置关系讨论（第11题）深化逻辑推理，体现知识综合应用|

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.（多选）下列说法正确的是（ 　） A.若直线l1∥l2，则k1＝k2 B.若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1 C.“直线l1∥l2”的充要条件是“倾斜角α1＝α2” D.若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行 2.已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（4，3），则顶点D的坐标为 （ 　） A.（3，4） B.（4，3） C.（3，1） D.（3，8） 3.已知直线l1的倾斜角为30°，且直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为（ 　） A.－ B. C.－ D. 4.（多选）若直线l1的倾斜角为α，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角可能为（ 　） A.90°－α B.90°＋α C.α－90° D.180°－α 5.过点（0，）与点（7，0）的直线l1和过点（2，1）与点（3，k＋1）的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为（ 　） A.3 B.－3 C.－6 D.6 二、填空题 6.若不同两点P，Q的坐标分别为（a，b），（3－b，3－a），则线段PQ的垂直平分线的斜率为 . 7.已知l1的倾斜角为60°，l2经过点M（1，），N（－2，－2），则直线l1与l2的位置关系是 . 8.已知直线l1，l2的斜率分别为k1＝，k2＝，直线l1，l2互相垂直，且a，b＞0，则＋的最小值为 . 9.已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线l1与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线l2互相垂直，则实数a＝　 　. 三、解答题 10.当m为何值时，过两点A（1，1），B（2m2＋1，m－2）的直线满足下列条件？ （1）倾斜角为135°； （2）与过两点（3，2），（0，－7）的直线垂直； （3）与过两点（2，－3），（－4，9）的直线平行. 11.已知M（1，－1），N（2，2），P（3，0）. （1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； （2）若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角. 解析版 一、选择题 1.（多选）下列说法正确的是（　CD　） A.若直线l1∥l2，则k1＝k2 B.若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1 C.“直线l1∥l2”的充要条件是“倾斜角α1＝α2” D.若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行 解析：对于A，当l1∥l2时，k1＝k2或两直线的斜率均不存在，A项错误； 对于B，当l1⊥l2时，k1与k2可以一个不存在，另一个为0，B项错误； C，D两项显然正确.故选CD. 2.已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（4，3），则顶点D的坐标为 （　A　） A.（3，4） B.（4，3） C.（3，1） D.（3，8） 解析：设D（m，n），由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC， ∴解得∴点D的坐标为（3，4）. 3.已知直线l1的倾斜角为30°，且直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为（　C　） A.－ B. C.－ D. 解析：由题意可得直线l1的斜率为，又直线l1⊥l2，所以直线l2的斜率为－. 4.（多选）若直线l1的倾斜角为α，且l1⊥l2，则直线l2的倾斜角可能为（　ABC　） A.90°－α B.90°＋α C.α－90° D.180°－α 解析：（1）当α＝0°时，l2的倾斜角为90°（如图1）； 图1 （2）当0°＜α＜90°时，l2的倾斜角为90°＋α（如图2）； 图2 （3）当α＝90°时，l2的倾斜角为0°（如图3）； 图3 （4）当90°＜α＜180°时，l2的倾斜角为α－90°（如图4）. 图4 故直线l2的倾斜角可能为90°－α，90°＋α，α－90°，但不可能为180°－α.故选ABC. 5.过点（0，）与点（7，0）的直线l1和过点（2，1）与点（3，k＋1）的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为（　A　） A.3 B.－3 C.－6 D.6 解析：由题意知l1⊥l2，即＝×＝－1，解得k＝3.故选A. 二、填空题 6.若不同两点P，Q的坐标分别为（a，b），（3－b，3－a），则线段PQ的垂直平分线的斜率为　－1　. 解析：由题知a≠3－b，kPQ＝＝1，得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1. 7.已知l1的倾斜角为60°，l2经过点M（1，），N（－2，－2），则直线l1与l2的位置关系是　平行或重合　. 解析：由题意知，＝tan 60°＝，＝＝，所以＝，所以直线l1与直线l2平行或重合. 8.已知直线l1，l2的斜率分别为k1＝，k2＝，直线l1，l2互相垂直，且a，b＞0，则＋的最小值为　3＋2　. 9.已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线l1与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线l2互相垂直，则实数a＝　1或0　. 解析：kAB＝＝a. 当a＝0时，kAB＝0，直线l2的斜率不存在，此时两条直线互相垂直； 当a≠0时，kPQ＝. ∵两条直线互相垂直， ∴a·＝－1，解得a＝1. 综上可得，a＝1或a＝0. 三、解答题 10.当m为何值时，过两点A（1，1），B（2m2＋1，m－2）的直线满足下列条件？ （1）倾斜角为135°； （2）与过两点（3，2），（0，－7）的直线垂直； （3）与过两点（2，－3），（－4，9）的直线平行. 解：（1）由kAB＝＝－1，得2m2＋m－3＝0， 解得m＝－或m＝1. （2）由＝3及垂直关系，得3·＝－1， 解得m＝或m＝－3. （3）由＝＝－2，解得m＝或m＝－1.经检验，此时两直线不重合，所以m的值为或－1. 11.已知M（1，－1），N（2，2），P（3，0）. （1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； （2）若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角. 解：（1）设Q（x，y）， 由已知得kMN＝3， 由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1， 即×3＝－1. ① 由已知得kPN＝－2， 由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ， 即＝－2. ② 联立①②求解得x＝0，y＝1， 即Q（0，1）. （2）由题，设Q（x，0）. ∵∠NQP＝∠NPQ， ∴kNQ＝－kNP. 又∵kNQ＝，kNP＝－2， ∴＝2，解得x＝1， ∴Q（1，0）. 又∵M（1，－1）， ∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 页 学科网（北京）股份有限公司 $