2.1.1倾斜角与斜率同步练习 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦“倾斜角与斜率”核心概念，通过基础辨析、综合应用到实际情境的三层设计，实现从概念理解到数学建模的进阶，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|倾斜角概念与斜率公式|以辨析题（如第1题）强化概念理解，简单计算题（如第2-4题）巩固运算能力| |进阶层|倾斜角与斜率关系及几何应用|通过几何图形题（如第9题）培养空间观念，充要条件题（第5题）发展推理意识| |提高层|实际情境与跨知识综合|结合斜拉桥问题（第11题）体现数学建模，函数图像斜率题（第15题）提升创新意识|

2.1.1　倾斜角与斜率 1.给出下列命题，其中为真命题的是（　　） A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴 D.若α是直线l的倾斜角，且sin α＝，则α＝45° 2.若直线过坐标平面内两点（4，2），（1，2＋），则此直线的倾斜角是（　　） A.30°　　　B.150°　　　C.60°　　　D.120° 3.若经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则m＝（　　） A.2 B.1 C.－1 D.－2 4. (2026春·龙华区校级期中) 若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（　　） A. 30° B. 45° C. 90° D. 135° 5.“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.（多选）已知点A的坐标为（3，4），在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标可能为（　　） A.（0，－4） B.（4，0） C.（2，0） D.（0，－8） 7. (2026春·青浦区校级期末) 若直线的斜率的变化范围是，则的倾斜角的范围为　　　　. 8.一束光线射到x轴上并经x轴反射，已知入射光线的倾斜角α1＝30°，则反射光线的倾斜角α2＝　　　　. 9.（2024·福州质检）如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为　　　　. 10.已知直线l经过两点A（－1，m），B（m，1），问：当m取何值时： （1）直线l与x轴平行？ （2）直线l的方向向量的坐标为（3，1）. （3）直线的倾斜角为45°？ 11.（2024·重庆质检）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.重庆千厮门嘉陵江大桥如图①所示，桥上共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列，示意图如图②所示.已知拉索上端相邻两个锚的间距｜PiPi＋1｜（i＝1，2，3，…，9）均为3.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距｜AiAi＋1｜（i＝1，2，3，…，9）均为16 m.最短拉索的锚P1，A1满足｜OP1｜＝66 m，｜OA1｜＝86 m，则最长拉索所在直线的斜率为（　　） A.±0.47 B.±0.45 C.±0.42 D.±0.40 12.（多选）如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　　） A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k2＜k1 C.α1＜α3＜α2 D.α3＜α2＜α1 13.过点M（0，1）和N（1，m2＋1）（m∈R）的直线的倾斜角的范围是　　　　. 14.（2025秋·河南期末) 已知平面内三点，，． (1)若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点，求的最小值及此时的方程． 15.（2024·泉州月考）函数y＝f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值范围是（　　） A.{3，4} B.{2，3，4} C.{3，4，5} D.{2，3} 16.已知坐标平面内三点A（－1，1），B（1，1），C（2，＋1）. （1）求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； （2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围. 2.1.1　倾斜角与斜率 1.A　任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B、C错误.D中α有可能为135°，故D错误. 2.B　由题意知k＝＝－，∴直线的倾斜角为150°. 3.A　由题意知，tan 45°＝，得m＝2. 4.B　 由题意直线经过两点，，可得直线斜率，设直线的倾斜角为，即，因为，所以． 5.B　若直线l的斜率不小于0，则该直线的倾斜角为锐角或0°，若直线l的倾斜角为锐角，则该直线l的斜率为正数，即大于0，所以“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的必要不充分条件.故选B. 6.CD　设B（x，0）或（0，y），因为kAB＝或kAB＝，所以＝4或＝4，所以x＝2或y＝－8，所以点B的坐标为（2，0）或（0，－8）. 7. 　解析：设直线的倾斜角为，则 ，由，即，当时，；当时， ，. 8.150°　解析：作出入射光线和反射光线，如图.因为入射光线的倾斜角α1＝30°，所以入射角为60°.又反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60°＋60°＋30°＝150°. 9.30°　解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×（90°－30°）＝30°. 10.解：（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，所以m＝1. （2）直线l的方向向量的坐标为（3，1），故k＝，即＝，解得m＝. （3）由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1， 解得m＝0. 11.C　根据题意，得｜OA10｜＝｜OA1｜＋｜A1A10｜＝86＋9×16＝230 m，｜OP10｜＝｜OP1｜＋｜P1P10｜＝66＋9×3.4＝96.6 m.则右侧最长拉索所在直线的斜率＝－tan∠OA10P10＝－＝－0.42，同理，左侧最长拉索所在直线的斜率＝0.42.故选C. 12.AD　由题图可知k2＞k3＞0，k1＜0，故＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，即k1＜k3＜k2，α3＜α2＜α1，故选A、D. 13.［0，）　解析：由题意知，直线MN的斜率为k＝＝m2≥0.设直线MN的倾斜角为θ，则tan θ≥0.又θ∈[0，π），所以θ∈［0，）. 14.解：（1）因为，，，所以，， 因为直线经过点且与线段有交点，所以直线的斜率满足， 即，所以直线的斜率的取值范围是. （2）由题意，得直线的斜率存在，设为，则， 因为直线过点，所以直线的方程为， 令，解得，所以， 令，解得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 此时直线的方程为．. 15.B　由题意，函数y＝f（x）的图象上的任一点坐标为（x，f（x）），故表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率.若＝＝…＝，则曲线上存在n个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线y＝f（x）有n个交点.如图，数形结合可得n的取值可为2，3，4. 16.解：（1）由斜率公式得kAB＝＝0， kBC＝＝，kAC＝＝. 又倾斜角的取值在[0°，180°）范围内， ∵tan 0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°. ∵tan 60°＝，∴直线BC的倾斜角为60°. ∵tan 30°＝，∴直线AC的倾斜角为30°. （2）如图，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时， 直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，∴k的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $