1.2集合间的基本关系·教案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2 集合间的基本关系·教案

人教A版必修第一册　第一章　第1课时　45分钟

一、教材分析

本节承接1.1，把研究对象从"元素与集合"抬到"集合与集合"：一个课时完成子集、集合相等、真子集、空集、两条性质与子集的罗列方法。最值得教的三处：一是子集定义中"任意一个"的判断逻辑（有一个元素不在就不成立）；二是空集——学生遇到的第一个"由规定产生"的对象，∅⊆A的规定与∅、{0}、0的辨析是本节考点密集区；三是子集罗列的顺序方法与2ⁿ个数规律。本节的Venn图与数轴表示是全章工具，含参数包含问题（B⊆A讨论B＝∅）是第一章第二大天坑，与1.1的互异性检验并列。

二、学情分析

学生已会∈∉、列举法与描述法，判断具体集合的元素不成问题。预计困难：一是∈与⊆两套符号混用（{0}∈{0，1，2}型错误），对策是判断前先问"左边是元素还是集合"，本节立规矩、此后每次讲评点一次；二是对"规定∅⊆A"不服气，对策是备好两层回答（全体：规定使理论完整；优生：∅里找不出反例，驳不倒即成立）；三是写子集漏∅漏本身，对策是罗列顺序口诀当堂过关；四是含参问题漏讨论空集，本节课上只点到（作业B组练），讲评课展开。两班差异：子集个数规律的道理（每个元素选或不选）和"夹逼型"数M问题为★内容，优生班课上讲，普通班罗列到位即可。

三、教学目标

1．理解子集、真子集的概念，能判断两个具体集合之间的关系，会用⊆、⊊、＝表示。

2．了解空集的含义，记住规定"空集是任何集合的子集"，能辨析0、{0}、∅。

3．能用Venn图表示集合间的包含关系，知道A⊆A与包含的传递性。

4．会按顺序写出给定集合（元素不超过3个）的所有子集、真子集；★能说出子集个数的2ⁿ规律。

四、教学重难点

重点：子集、真子集的概念，集合间关系的判断与表示。

难点：空集的理解（规定的接受与∅、{0}、0的辨析），∈与⊆两套符号的区分。

五、教学方法与教具准备

观察归纳、类比（类比实数间的相等与大小关系）与练习落实。课件39页，问答同页、答案单击浮入；学案一份（附参考答案）；课时作业一份（A组全体必做，B组优生班必做、普通班选做，附详解）。板书主板面写两套符号对照与包含链，副板面画Venn图、罗列子集——Venn图当堂示范画法，要求学生跟画。

六、教学过程

环节一　复习引入（约3分钟）

师生活动：课前默写五个常用数集记号（N、N*、Z、Q、R），同桌互批，教师报答案。

引入语：上一节研究的是元素与集合的关系，用∈和∉。两个实数之间有相等关系、大小关系，比如5＜7；两个集合之间会有什么关系？

师生活动：多媒体出示教材三组集合：(1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；(2)C为高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；(3)E＝{x|x是两条边相等的三角形}，F＝{x|x是等腰三角形}。

环节二　子集与Venn图（约12分钟）

问题1　前两组中，每组的两个集合有什么共同特点？

师生活动：学生观察后指名回答。预设：能答出"A的元素都在B里""女生都是这个班的学生"。

明确并板书：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。强调"任意一个"：判断A⊆B要逐个检查A的元素，有一个不在B里就不成立；B里可以有A没有的元素。⊆开口朝大的一方，与∈的开口方向习惯一致。

讲授并板书：在数学中，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。副板面示范：画大圈B，小圈A整个落在里面，表示A⊆B。学生在学案上跟画。

练习1：判断下列各组中A是否为B的子集（学案探究一）：(1)A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的正约数}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝Z，B＝N。

师生活动：限时2分钟独立完成，指名报答案并说理由。(1)B＝{1，2，4，8}，A中的3不在B里，A不是B的子集；追问：B是A的子集吗？（4、8不在A里，也不是）——有的集合互不包含。(2)等边三角形都是等腰三角形，A⊆B。(3)方向辨析：－1∈Z但－1∉N，Z不是N的子集；反过来N⊆Z成立。

预设：(3)有学生把方向写反。板书包含链的前两环N⊆Z，提示：开口朝大，整数比自然数"大一圈"。

环节三　集合相等与真子集（约8分钟）

问题2　第(3)组集合E＝{x|x是两条边相等的三角形}与F＝{x|x是等腰三角形}是什么关系？

师生活动：学生思考回答。预设：多数能答"一样"，理由是等腰三角形的定义就是两条边相等的三角形。

明确并板书：E与F的元素完全相同，E＝F。用子集的语言说：如果A⊆B，且B⊆A，那么A＝B。互相包含则相等——今后证明两个集合相等，就分别证这两个方向。

问题3　第(1)组中A⊆B，但B里有A没有的元素（4和5）。这种"包含但不相等"的关系怎么刻画？

明确并板书：如果A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，就称A是B的真子集，记作A⊊B，读作"A真包含于B"。与⊆的区别：A⊆B允许A＝B，A⊊B不允许。由A⊊B能推出A⊆B，反过来不行。

练习2：用⊊把N、Z、Q、R连成一条链，并各举一个"在外不在内"的元素。

师生活动：指名板演：N⊊Z⊊Q⊊R，见证元素依次如－1、1/2、√2。全班抄进笔记。

环节四　空集与两条性质（约8分钟）

问题4　方程x²＋1＝0的实数根组成的集合里有什么元素？

师生活动：学生口答：x²＋1＝0没有实数根，这个集合什么元素都没有。

明确并板书：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅。并规定：空集是任何集合的子集，即对任何集合A，∅⊆A。进一步：空集是任何非空集合的真子集——"非空"二字不能丢。