1.2集合间的基本关系·教案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该教案聚焦高中数学集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、空集等核心概念。通过复习元素与集合关系，类比实数关系引入，结合三组实例引导观察，搭建从元素到集合关系的学习支架。 特色在于分层教学与逻辑培养，优生班探究子集个数2ⁿ原理培养数学思维，普通班归纳结论落实基础。通过“任意一个”判断逻辑、空集分层解释发展推理意识，Venn图与符号区分强化几何直观和符号意识，助力学生夯实基础，为教师提供清晰教学路径与问题应对策略。

1.2 集合间的基本关系·教案 人教A版必修第一册　第一章　第1课时　45分钟 一、教材分析 本节承接1.1，把研究对象从"元素与集合"抬到"集合与集合"：一个课时完成子集、集合相等、真子集、空集、两条性质与子集的罗列方法。最值得教的三处：一是子集定义中"任意一个"的判断逻辑（有一个元素不在就不成立）；二是空集——学生遇到的第一个"由规定产生"的对象，∅⊆A的规定与∅、{0}、0的辨析是本节考点密集区；三是子集罗列的顺序方法与2ⁿ个数规律。本节的Venn图与数轴表示是全章工具，含参数包含问题（B⊆A讨论B＝∅）是第一章第二大天坑，与1.1的互异性检验并列。 二、学情分析 学生已会∈∉、列举法与描述法，判断具体集合的元素不成问题。预计困难：一是∈与⊆两套符号混用（{0}∈{0，1，2}型错误），对策是判断前先问"左边是元素还是集合"，本节立规矩、此后每次讲评点一次；二是对"规定∅⊆A"不服气，对策是备好两层回答（全体：规定使理论完整；优生：∅里找不出反例，驳不倒即成立）；三是写子集漏∅漏本身，对策是罗列顺序口诀当堂过关；四是含参问题漏讨论空集，本节课上只点到（作业B组练），讲评课展开。两班差异：子集个数规律的道理（每个元素选或不选）和"夹逼型"数M问题为★内容，优生班课上讲，普通班罗列到位即可。 三、教学目标 1．理解子集、真子集的概念，能判断两个具体集合之间的关系，会用⊆、⊊、＝表示。 2．了解空集的含义，记住规定"空集是任何集合的子集"，能辨析0、{0}、∅。 3．能用Venn图表示集合间的包含关系，知道A⊆A与包含的传递性。 4．会按顺序写出给定集合（元素不超过3个）的所有子集、真子集；★能说出子集个数的2ⁿ规律。 四、教学重难点 重点：子集、真子集的概念，集合间关系的判断与表示。 难点：空集的理解（规定的接受与∅、{0}、0的辨析），∈与⊆两套符号的区分。 五、教学方法与教具准备 观察归纳、类比（类比实数间的相等与大小关系）与练习落实。课件39页，问答同页、答案单击浮入；学案一份（附参考答案）；课时作业一份（A组全体必做，B组优生班必做、普通班选做，附详解）。板书主板面写两套符号对照与包含链，副板面画Venn图、罗列子集——Venn图当堂示范画法，要求学生跟画。 六、教学过程 环节一　复习引入（约3分钟） 师生活动：课前默写五个常用数集记号（N、N*、Z、Q、R），同桌互批，教师报答案。 引入语：上一节研究的是元素与集合的关系，用∈和∉。两个实数之间有相等关系、大小关系，比如5＜7；两个集合之间会有什么关系？ 师生活动：多媒体出示教材三组集合：(1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；(2)C为高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；(3)E＝{x|x是两条边相等的三角形}，F＝{x|x是等腰三角形}。 环节二　子集与Venn图（约12分钟） 问题1　前两组中，每组的两个集合有什么共同特点？ 师生活动：学生观察后指名回答。预设：能答出"A的元素都在B里""女生都是这个班的学生"。 明确并板书：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。强调"任意一个"：判断A⊆B要逐个检查A的元素，有一个不在B里就不成立；B里可以有A没有的元素。⊆开口朝大的一方，与∈的开口方向习惯一致。 讲授并板书：在数学中，常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。副板面示范：画大圈B，小圈A整个落在里面，表示A⊆B。学生在学案上跟画。 练习1：判断下列各组中A是否为B的子集（学案探究一）：(1)A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的正约数}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝Z，B＝N。 师生活动：限时2分钟独立完成，指名报答案并说理由。(1)B＝{1，2，4，8}，A中的3不在B里，A不是B的子集；追问：B是A的子集吗？（4、8不在A里，也不是）——有的集合互不包含。(2)等边三角形都是等腰三角形，A⊆B。(3)方向辨析：－1∈Z但－1∉N，Z不是N的子集；反过来N⊆Z成立。 预设：(3)有学生把方向写反。板书包含链的前两环N⊆Z，提示：开口朝大，整数比自然数"大一圈"。 环节三　集合相等与真子集（约8分钟） 问题2　第(3)组集合E＝{x|x是两条边相等的三角形}与F＝{x|x是等腰三角形}是什么关系？ 师生活动：学生思考回答。预设：多数能答"一样"，理由是等腰三角形的定义就是两条边相等的三角形。 明确并板书：E与F的元素完全相同，E＝F。用子集的语言说：如果A⊆B，且B⊆A，那么A＝B。互相包含则相等——今后证明两个集合相等，就分别证这两个方向。 问题3　第(1)组中A⊆B，但B里有A没有的元素（4和5）。这种"包含但不相等"的关系怎么刻画？ 明确并板书：如果A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，就称A是B的真子集，记作A⊊B，读作"A真包含于B"。与⊆的区别：A⊆B允许A＝B，A⊊B不允许。由A⊊B能推出A⊆B，反过来不行。 练习2：用⊊把N、Z、Q、R连成一条链，并各举一个"在外不在内"的元素。 师生活动：指名板演：N⊊Z⊊Q⊊R，见证元素依次如－1、1/2、√2。全班抄进笔记。 环节四　空集与两条性质（约8分钟） 问题4　方程x²＋1＝0的实数根组成的集合里有什么元素？ 师生活动：学生口答：x²＋1＝0没有实数根，这个集合什么元素都没有。 明确并板书：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅。并规定：空集是任何集合的子集，即对任何集合A，∅⊆A。进一步：空集是任何非空集合的真子集——"非空"二字不能丢。 预设：有学生问"为什么∅⊆A，凭什么规定"。答两层：这是数学上的规定，规定它成立子集的理论才完整；★优生补一句：要驳倒∅⊆A，得在∅里找一个不在A里的元素，∅里什么也找不出来，永远驳不倒。不再纠缠。 问题5　0、{0}、∅三个对象一样吗？用符号写出它们之间的正确关系。 师生活动：同桌讨论1分钟，指名回答，教师板书：0是元素，{0}是含一个元素的集合，∅不含任何元素；0∈{0}，0∉∅，∅⊊{0}，∅≠{0}。 预设：有学生写∅∈{0}。当场纠：∅与{0}是集合与集合的关系，用⊆或⊊；{0}的元素只有0，∅不是它的元素。落规矩：判断前先问左边是元素还是集合。 讲授并板书：两条性质：任何一个集合是它本身的子集，A⊆A；如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C（副板面画三个套圈的Venn图即明）。 环节五　子集的罗列与个数规律（约8分钟） 例1　写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 师生活动：学生先独立写，一生板演，全班订正。 解：{a，b}的所有子集为： 　　∅，{a}，{b}，{a，b}，共4个； 　　真子集为∅，{a}，{b}，共3个（去掉{a，b}本身）。 预设：板演学生大概率漏∅。借此落罗列口诀：先写空集，再按元素个数从少到多写，最后写集合本身——不重不漏。真子集只去掉本身，∅保留。 练习3：按口诀写出{a，b，c}的所有子集。学生独立完成后同桌互查个数。 师生活动：订正：∅；{a}，{b}，{c}；{a，b}，{a，c}，{b，c}；{a，b，c}，共8个。 ★问题6（优生班）　∅有1个子集，{a}有2个，{a，b}有4个，{a，b，c}有8个——含n个元素的集合有多少个子集？为什么？ 明确：2ⁿ个。每个元素都有"选进子集"与"不选"两种情况，n个元素逐个定夺，共2×2×…×2＝2ⁿ种。真子集2ⁿ－1个，非空真子集2ⁿ－2个。审题看清问哪一种。 （普通班替代）：不讲道理只归纳结论表（1、2、4、8→2ⁿ），把省下的时间用于再练一道"写出{0，1，2}的所有子集"。 设计意图：个数规律从罗列结果中归纳而来，优生班点破乘法原理，为计数原理埋线。 环节六　当堂检测（约4分钟） 师生活动：学生独立完成学案当堂检测四道小题（∈⊆混合判断、写子集、符号填空、真子集个数各一道），限时4分钟，同桌互批，举手统计错题。 预设：错误集中在第1题（{0}与∅、∈与⊆的混合判断）。当场讲评，回到板书的两套符号对照表。 环节七　课堂小结与作业布置（约2分钟） 问题7　对照板书说一说：本节新增了哪套符号？各管什么？ 明确：⊆、⊊、＝管集合与集合，∈、∉管元素与集合；一个新对象空集∅（规定∅⊆A）；一条包含链N⊊Z⊊Q⊊R；一个口诀（先空集、按个数从少到多、最后本身）；一个规律（子集2ⁿ个）。 作业：课时作业A组全体必做，B组优生班必做、普通班选做（B组第10题要讨论B＝∅，先想清楚再动笔）；预习1.3节，思考：{1，2}和{2，3}放在一起，"公共部分"和"合并起来"各是什么集合。 七、板书设计 1.2 集合间的基本关系 元素与集合：∈　∉　　　　　　　　空集∅：不含任何元素 集合与集合：⊆　⊊　＝　　　　　　　规定：∅⊆A（任何集合） 　A⊆B：A的任意元素都在B中　　　　∅是任何非空集合的真子集 　A⊆B且B⊆A ⟺ A＝B　　　　　　0∈{0}　∅⊊{0}　∅≠{0} 　N⊊Z⊊Q⊊R　　　　　　　　　　　子集2ⁿ　真子集2ⁿ－1　非空真子集2ⁿ－2 （副板面：Venn图示范、{a，b}子集罗列区、三套圈传递性） 八、附：课堂预设 1．学生问"∅和{∅}一样吗"——超出本节要求，答：不一样，{∅}是含一个元素（这个元素是空集）的集合，感兴趣的课后来讨论，考试不涉及。 2．包含链方向写反——回到"开口朝大"，用见证元素反驳（－1∈Z而－1∉N）。 3．有学生认为{1，2}与{2，3}"元素一样多所以相等"——相等看元素是否完全相同，不看个数；两集合互不包含。 4．写真子集时把∅也去掉——真子集只去掉集合本身；对非空集合，∅是真子集。 5．当堂检测第4题答8——问的是真子集个数，2³－1＝7；把三类个数公式在板书上圈出来对照。 九、备教手记（课后填写） 课后核对三件事：一是当堂检测第1题（符号混合判断）的错误率，超过三分之一则1.3节课前用两分钟再考三个同型小题；二是子集罗列口诀的落实情况（板演与互查中漏∅的人数），漏项多则作业讲评时重罗列一遍{0，1，2}；三是数集记号默写未过关名单，周内补测。另记录学生对"规定∅⊆A"的反应，为1.4节讲"规定与定义的区别"积累素材。 学科网（北京）股份有限公司 $