2027年高考数学一轮复习检测卷（范围：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式～第三章一元函数的导数及其应用）（全国通用）

**基本信息** 整合几何与常用逻辑用语、不等式及一元函数导数，以基础概念辨析、性质应用及创新题型构建递进式知识网络，提升数学眼光与逻辑思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础工具|选择1-3、填空12|集合运算、逻辑条件、不等式解法|从集合逻辑（工具）到不等式（应用）的基础链| |函数与导数|选择4-8、填空13-14、解答15-18|函数图像、最值、导数应用|函数性质与导数工具的综合应用，体现概念生成与推导| |创新应用|选择7、9、19|新运算定义、平衡互补子集|跨知识整合，培养数学语言表达与创新意识|

第一章 几何与常用逻辑用语、不等式~第三章一元函数的导数及其应用（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 5．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【创新题】7．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【新设问】9．（2026·四川成都·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．， C．当且仅当时， D．，使得 10．（2026·重庆·三模）已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，.则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．在处取得最小值 C．方程有且仅有一个实根 D．对任意，都有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 【新设问】12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合，集合，则函数共有____个；若函数满足：，使得，则符合该条件的函数 共有____个. 13．（2026·山东聊城·二模）已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 14．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，． (1)比较与的大小； (2)若，求的最小值； (3)若，求的取值范围． 16．（15分） （2026·广西·模拟预测）已知，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 17．（15分） （2026·陕西西安·模拟预测）已知函数 . (1)设，求的单调区间； (2)设是的极小值点，求证：. 18．（17分） （2026·山东聊城·二模）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若当时，恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，证明：. 【创新题】19．（17分） （2026·福建福州·三模）设为不小于3的正整数，记有限集，若存在U的两个非空真子集A，B，满足：①；②；③A中所有元素的和与B中所有元素的和相等，则称A，B为一对平衡互补子集，并称A，B中任意一个为平衡子集．约定：不计顺序互换视为同一对，空集、全集不纳入统计，记满足条件的平衡互补子集的总对数为． (1)当时，从集合的所有非空真子集中随机抽取一个，求该子集是平衡子集的概率； (2)设，记，求证：； (3)设，从集合的所有非空真子集中，每次等可能抽取一个．独立重复抽取次，记至少一次抽到平衡子集的概率为，证明：． 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 几何与常用逻辑用语、不等式~第三章一元函数的导数及其应用（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B C A D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB BC ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 1024 570 13． 14．4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）， ， .（3分） （2）， 由，得， 即，解得或（舍去）， 可得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为49.（8分） （3）设函数，， 任取，且， 则， ，且， ，， ，即， 所以函数是上的增函数. ， 由，， . 所以的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）若，则， 所以， 要求， 只需求，令， 则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 故不等式的解集为.（6分） （2）由， 则， 记， 令，则得两根为， 若满足在上存在极大值， 则在定义域内先正、再负、再正，且两根不相等，（8分） 若，即，只有零点， 所以时，， 当时，， 此时函数只有极小值，无极大值，舍去.（10分） 若，即， 则， 此时函数单调递增，无极值，舍去. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时，是极大值点，满足题意. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时是极大值点，满足题意. 综上，的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题可得， 所以， 令，解得：， 令，解得：， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（6分） （2）因为 是 的极小值点， 则， 即，即， 所以（8分） 由于，，由于在上单调递增， 所以， 令，所以在上单调递减， 则， 即（15分） 18．（17分） 【解析】（1）当时，， . 令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 故在处取得最小值， .（4分） （2）当时，恒成立， 即， 即. 令，即求在时恒成立， .（6分） ①当时，恒成立，故在上单调递减， 则当时，恒成立；（8分） ②当时，在上单调递减，且， 则在上恒成立，故在上单调递增， 则成立，与题干矛盾，舍掉；（10分） ③当时，恒成立，故在上单调递增， 则恒成立，与题干矛盾，舍掉. 综上所述，满足要求.（12分） （3）将代入，原方程化为， 即， 则有， 两式相减，得， 即， 故原不等式变形为. 不妨令，不等式两端同时除以，则不等式可变形为. 令，则不等式可继续变形为， 即证在时恒成立， 故令， 则恒成立， 故在时单调递增，则恒成立， 故命题得证.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）当时，则集合，其非空真子集个数为个； ，要使，为平衡互补子集，则，中元素和都为14. 由，得平衡互补子集有与，与，与，与，共4对，即平衡子集有8个. 子集是平衡子集概率为.（6分） （2）当时，集合，其元素和为，为偶数，故存在平衡子集. 当时，，集合，其平衡子集为与，故； 当时，平衡互补子集总对数为，集合； 当时，集合可看作在集合的基础上，新增加了4个元素：，，，； 对于中的每一对平衡互补子集与，可构造中的4对平衡互补子集： ①与； ②与； ③不妨设，剔除元素1得到，则与； ④不妨设，剔除元素2得到，则与； 由于以上四对平衡互补子集互不重复，且均为中的平衡互补子集， 因此可得：，即， ，即不等式成立.（12分） （3）时，集合U的非空真子集总数为. 平衡子集个数为（每对平衡互补子集对应2个平衡子集）， 因此单次抽取到平衡子集的概率， 由（2）可知，代入可得， 令，，，则； 在严格递减，则； . ； .（17分） 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 几何与常用逻辑用语、不等式~第三章一元函数的导数及其应用（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解集合，再由集合的并集求解即可. 【详解】因为，或，所以或. 2． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 3．（2026·宁夏·一模）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可． 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 4．（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】. 5．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数定义判断出函数为偶函数，排除B选项，再通过对变形设，求导得出单调性，进而分析时的情况，排除C，D选项. 【详解】∵，且定义域为， ∴为偶函数，故排除B选项，又因为， ，则恒成立， ∴在上单调递增，当时，， ∴当时，，且单调递增，故排除选项C、D. 6．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性定义可得函数为奇函数，结合其单调性可得，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由恒成立，故定义域为， ， 由在上单调递增， 且在上单调递增，则在上单调递减， 有， 则， 故函数为奇函数，则在上单调递减， 则由可得， 即，则， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为. 【创新题】7．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，， 因为在上是单调递增函数，所以，即； 当时，，， 因为在上是单调递减函数，所以，即； 综上可知，的值域为.故选项C正确. 8．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图像如图． 设 则． 所以， ，， 设 ，则．所以在上单调递增． ， ． 所以时，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【新设问】9．（2026·四川成都·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．， C．当且仅当时， D．，使得 【答案】AB 【分析】求直线交点坐标判断A；利用直线方程分析判断B；利用空集的定义，结合直线平行求解判断C；利用两条直线重合分析求解D. 【详解】对于A，当时，则，， 由，解得，因此，A正确； 对于B，直线过定点， 表示直线上所有的点，因此，B正确； 对于C，，若，则；若，则直线 与直线平行，且，于是，解得， 因此当或时，，C错误； 对于D，若，由选项C知，且，无解，D错误. 10．（2026·重庆·三模）已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用基本不等式,对数的运算性质以及和角的正切公式,结合正切函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A,因，，即,当且仅当时等号成立, 则,故A错误； 对于B,，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C,由A项得,则，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D,由，得，即， 当时，可得，即， 整理得，故D错误． 11．（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，.则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．在处取得最小值 C．方程有且仅有一个实根 D．对任意，都有 【答案】ABC 【详解】函数，则. 由于，所以. 因此. 故是偶函数，A正确； 求导得.当时，；当时，. 所以在处取得最小值，B正确； 方程. 令，则，所以，即. 由于，唯一解为. 因此对应唯一实根，C正确； 当时，，而. 因此当足够大时，，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 【新设问】12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合，集合，则函数共有____个；若函数满足：，使得，则符合该条件的函数 共有____个. 【答案】 1024 570 【分析】空一：函数，每个自变量有4种取值，由乘法原理得总数； 空二：差值在值域中唯一对应，故值域必须同时含有和，用容斥原理得满足条件的个数. 【详解】空一：函数，集合有5个元素，集合有4个元素， 则每个自变量都有4种取值可能，因此总个数为 空二：条件，使得. 由于，差为3的唯一可能是， 因此必须有某个自变量取值为9，另一个自变量取值为6，即函数值域中必须同时包含6和9. 计算满足“值域同时包含6和9”的函数个数，函数总个数为，用容斥原理： 函数值域中不含6：每个自变量只能取，共个； 函数值域中不含9：每个自变量只能取，共个； 函数值域中既不含6也不含9：只能取 ，共个. 由容斥原理，函数值域中同时含有6和9的函数个数为 . 因此符合该条件的函数 共有个. 13．（2026·山东聊城·二模）已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 【答案】 【分析】根据偶函数的定义求得，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题得，解得， 可得的定义域为. 又因为为偶函数，其定义域关于原点对称， 所以，则， 此时，满足为偶函数. 当时，，则， 所以， 则在处的切线方程为. 14．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 【答案】4 【分析】由题设可得，随后讨论的取值可得，，最后由基本不等式可得答案. 【详解】由得， 故当时，， 当时，，故， 故当时，， 即，故， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为4. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，． (1)比较与的大小； (2)若，求的最小值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)49 (3) 【分析】（1）利用作差比较法求解判断； （2）由基本不等式结合一元二次不等式运算求解； （3）先证明函数，的单调性，利用单调性求解的范围. 【详解】（1）， ， .（3分） （2）， 由，得， 即，解得或（舍去）， 可得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为49.（8分） （3）设函数，， 任取，且， 则， ，且， ，， ，即， 所以函数是上的增函数. ， 由，， . 所以的取值范围为.（13分） 16．（15分） （2026·广西·模拟预测）已知，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件得到函数解析式，将不等式构造函数，利用导数分析函数单调性，即可得出结果； （2）求导，将分子构造函数，根据原函数有极大值可得新构造函数先正、再负、再正，且两根不相等，分类讨论两根关系，根据单调性进行取舍即可. 【详解】（1）若，则， 所以， 要求， 只需求，令， 则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 故不等式的解集为.（6分） （2）由， 则， 记， 令，则得两根为， 若满足在上存在极大值， 则在定义域内先正、再负、再正，且两根不相等，（8分） 若，即，只有零点， 所以时，， 当时，， 此时函数只有极小值，无极大值，舍去.（10分） 若，即， 则， 此时函数单调递增，无极值，舍去. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时，是极大值点，满足题意. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时是极大值点，满足题意. 综上，的取值范围为.（15分） 17．（15分） （2026·陕西西安·模拟预测）已知函数 . (1)设，求的单调区间； (2)设是的极小值点，求证：. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 略 【分析】（1）求出，利用导数研究函数单调性的即可； （2）由题可得，由（1）结合零点存在定理可得，令，结合二次函数的单调性即可证明结论. 【详解】（1）由题可得， 所以， 令，解得：， 令，解得：， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（6分） （2）因为 是 的极小值点， 则， 即，即， 所以（8分） 由于，，由于在上单调递增， 所以， 令，所以在上单调递减， 则， 即（15分） 18．（17分） （2026·山东聊城·二模）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若当时，恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，证明：. 【答案】(1) (2) (3)略 【分析】(1)代入后通过单调性求解. (2)通过单调性一步步对范围进行排除，最后确定的范围. (3)通过实根的性质构造新的关于的函数求证. 【详解】（1）当时，， . 令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 故在处取得最小值， .（4分） （2）当时，恒成立， 即， 即. 令，即求在时恒成立， .（6分） ①当时，恒成立，故在上单调递减， 则当时，恒成立；（8分） ②当时，在上单调递减，且， 则在上恒成立，故在上单调递增， 则成立，与题干矛盾，舍掉；（10分） ③当时，恒成立，故在上单调递增， 则恒成立，与题干矛盾，舍掉. 综上所述，满足要求.（12分） （3）将代入，原方程化为， 即， 则有， 两式相减，得， 即， 故原不等式变形为. 不妨令，不等式两端同时除以，则不等式可变形为. 令，则不等式可继续变形为， 即证在时恒成立， 故令， 则恒成立， 故在时单调递增，则恒成立， 故命题得证.（17分） 【创新题】19．（17分） （2026·福建福州·三模）设为不小于3的正整数，记有限集，若存在U的两个非空真子集A，B，满足：①；②；③A中所有元素的和与B中所有元素的和相等，则称A，B为一对平衡互补子集，并称A，B中任意一个为平衡子集．约定：不计顺序互换视为同一对，空集、全集不纳入统计，记满足条件的平衡互补子集的总对数为． (1)当时，从集合的所有非空真子集中随机抽取一个，求该子集是平衡子集的概率； (2)设，记，求证：； (3)设，从集合的所有非空真子集中，每次等可能抽取一个．独立重复抽取次，记至少一次抽到平衡子集的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)略 (3)略 【分析】（1）计算的总元素和，确定平衡子集的元素和为14；统计中所有和等于14的非空真子集的数量，确定平衡互补子集的对数，以及平衡子集的总个数；计算的非空真子集总数，结合古典概型概率公式求解概率； （2）当时，的总元素和为；通过分类讨论，和平衡互补子集的总对数，得到，通过不等式的缩放证得； （3）根据题意求出单次抽取到平衡子集的概率，再 利用对立事件概率公式得到；构造函数，通过函数的单调性证明. 【详解】（1）当时，则集合，其非空真子集个数为个； ，要使，为平衡互补子集，则，中元素和都为14. 由，得平衡互补子集有与，与，与，与，共4对，即平衡子集有8个. 子集是平衡子集概率为.（6分） （2）当时，集合，其元素和为，为偶数，故存在平衡子集. 当时，，集合，其平衡子集为与，故； 当时，平衡互补子集总对数为，集合； 当时，集合可看作在集合的基础上，新增加了4个元素：，，，； 对于中的每一对平衡互补子集与，可构造中的4对平衡互补子集： ①与； ②与； ③不妨设，剔除元素1得到，则与； ④不妨设，剔除元素2得到，则与； 由于以上四对平衡互补子集互不重复，且均为中的平衡互补子集， 因此可得：，即， ，即不等式成立.（12分） （3）时，集合U的非空真子集总数为. 平衡子集个数为（每对平衡互补子集对应2个平衡子集）， 因此单次抽取到平衡子集的概率， 由（2）可知，代入可得， 令，，，则； 在严格递减，则； . ； .（17分） 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $