第18章分式（暑假预习课）2026-2027学年数学八年级上册人教版

**基本信息** 聚焦分式核心概念与运算，通过基础巩固、中档应用、拔高创新三层设计，构建从概念辨析到实际建模的完整知识巩固路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|分式定义、基本性质、简单运算|单选题1-4直接考查概念辨析与基础运算，夯实抽象能力| |中档|分式方程求解、实际应用|填空题11-13及解答题18-19结合工程问题，强化模型意识与推理能力| |拔高|综合计算、新定义问题|解答题20“十字分式方程”及21作差法比较，发展创新意识与数学思维|

（暑假预习课）第18章分式-2026-2027学年数学八年级上册人教版（新教材） 一、单选题 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值（    ） A．4 B． C． D． 4．计算（    ） A． B． C． D．1 5．据2026年1月2日芜湖高新区“弋江发布”消息，2025年弋江区在七大重点工作中都取得了成效．在城乡建设这一项中生态环境持续得到改善（降至33微克/立方米，水源地水质达标）．其中，33微克等于克，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 6．如果分式中的都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（） A．缩小为原来的倍 B．扩大为原来的2倍 C．不变 D．不确定 7．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．．且 C． D．且 8．甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花4小时，甲160小时制作手工艺品的数量与乙120小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．某公司开发了A，B两款AI模型，已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，模型A处理400GB数据的时间是模型B处理300GB数据的时间2倍．根据题意，小明列出了两个方程：①，②对于两个方程中和的意义，下列说法正确的是（    ） A．表示模型A处理400GB数据的时间 B．表示模型B每小时能处理多少GB数据 C．表示模型B处理数据的时间 D．表示模型A每小时能处理多少数据 10．如图，点，在数轴上对应的数分别为，且点，关于原点对称，则的值是（   ） A． B．5 C．7 D． 二、填空题 11．如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是______． 12．计算：______． 13．若常数M，N满足，则_______． 14．已知，若x为正整数，则a的最大值为___________． 15．如图，甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，，按如图所示的两种方式放置．图①中阴影部分面积为16，图②中阴影部分面积为12，则的值是______． 16．若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为___________． 三、解答题 17．化简： 18．解方程： (1)； (2)． 19．万象灯火闹元宵，一碗汤圆共团圆．而“柿柿如意”汤圆更是将这种美好寓意发挥到极致．一所大学为让提前返校的外地学生感受节日的温情，计划为学生购买传统汤圆和“柿柿如意”汤圆共40袋．已知某超市每袋“柿柿如意”汤圆的标价比传统汤圆的标价高，若按标价购买共需花费380元，其中购买传统汤圆花费200元． (1)求每袋传统汤圆的标价． (2)若经过与店主协商，考虑到购买较多，店主同意该大学按“柿柿如意”汤圆九折，传统汤圆八折的优惠价购入，则购买原定数量的两类汤圆共需花费多少元？ 20．我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 21．【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． (1)【知识运用】请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”，“”或“”）： ① ；②当时， ； (2)【知识运用】若，试比较与的大小，并说明理由； (3)【类比运用】图（1）是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的新正方形，此正方形的面积为；请判断与的大小关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假预习课）第18章分式-2026-2027学年数学八年级上册人教版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D A B D C C D 1．C 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是掌握分式的定义． 依据分式的概念逐一判断选项即可，分式的定义为形如（A、B为整式，且B中含有字母）的式子． 【详解】解： 选项A是单项式，属于整式； 选项B的分母是常数2，不含字母，属于整式； 选项C的分母是，含有字母a，符合分式定义； 选项D的分母是常数5，不含字母，属于整式； 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、选项分子分母同时加，不符合分式基本性质，值改变，不符合题意； 、选项分子分母未同乘（或除以）同一个整式，值改变，不符合题意； 、∵， ∴， ∵该分式有意义时，即，此时， ∴约分后得，与原式相等，符合题意； 、选项无法因式分解为含的整式，无法约分得到原式，不符合题意； 故选：． 3．C 【分析】本题考查分式的化简，可通过已知条件用含b的式子表示a，再代入所求分式计算，或利用分式的基本性质将所求分式转化为含的形式求解． 【详解】解：方法一： ∵ ∴（） 将代入得： ． 方法二： ∵， ∴． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查分式的除法运算，利用分式除法法则将除法转化为乘法，再通过约分简化计算． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，熟练掌握其表示法是解决此题的关键． 【详解】解：． 故选：A． 6．B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母变化后的值的判断方法是解题的关键．先将、替换为扩大后的、，代入原分式并化简，再与原分式的值对比，判断其变化情况． 【详解】解：∵、都扩大为原来的2倍， ∴替换后所得分式为， ∵， ∴所得分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了解分式方程．先解分式方程得到的表达式，再根据解是非负数及分式方程分母不为0（解不为增根）列不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解：∵原分式方程为 ∴将方程右边变形为，两边同乘去分母得： 移项合并同类项得： ∴ ∵方程的解是非负数 ∴ 解得：． 又∵分式方程分母不能为0，即 ∴ 解得：． ∴的取值范围是且． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是根据“甲160小时制作的数量与乙120小时制作的数量相同”这一等量关系，结合甲、乙制作每件手工艺品的时间列出方程． 【详解】解：∵甲制作一件手工艺品需要小时，甲制作一件比乙多花4小时， ∴乙制作一件手工艺品需要小时， ∵工作数量总工作时间制作每件的时间，且甲160小时制作的数量与乙120小时制作的数量相同， ∴可列方程为， 故选：C． 9．C 【分析】此题考查了分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键 本题需结合工作总量、工作效率、工作时间的关系（工作时间=工作总量÷工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间），分析方程中变量的实际意义． 【详解】对于方程①： ∵ 等式左边为模型A处理400GB数据的时间，右边为模型B处理300GB数据的时间，且A的时间是B的2倍 ∴ 表示模型A每小时处理的GB数据量，故A、B选项错误 对于方程②： ∵ 为模型B的每小时处理量，为模型A的每小时处理量，且B比A每小时多处理10GB ∴ 表示模型B处理300GB数据的时间，故C选项正确，D选项错误 故选：C 10．D 【分析】本题结合相反数的定义考查解分式方程，关键是利用“关于原点对称的两个点对应的数互为相反数”列出分式方程，再按分式方程的求解步骤解方程并检验． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴，解得； 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故选：D． 11． 【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式．先解分式方程得到解，再根据解为正数列不等式，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：解方程， 去分母得， 解得． 由于方程的解是正数，所以，即． 又因为分母，即，则，解得， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了分式的加法． 先化简分式，再计算加法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 将等式左边通分后与右边比较分子，得到关于和的方程组，再利用平方差公式求解的值． 【详解】解：由，左边通分得， 则， 展开得， 即， 比较系数得， 则， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先将分式化简为，由为正整数且分母不为零，得，根据反比例函数的性质，随增大而减小，故当时取最大值 【详解】解：原式， 由于为正整数，且原式中分母和， 因此，故 因为随增大而减小， 所以随增大而减小， 故当时，有最大值，， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了分式的运算的应用．根据题意可得，，从而得出，，原式整理得，代入数据即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ， 故答案为：. 16．4 【分析】本题主要考查已知不等式组解集求参数，已知分式方程解求参数，先解不等式组，得到解集范围，根据有且只有3个整数解，确定m的取值范围；再解分式方程，得到x关于m的表达式，根据解为非负整数且不为增根，确定m的值；最后求满足条件的整数m的和． 【详解】解：解不等式组： 由，得； 由，得． 所以不等式组的解集为． 因为有且只有3个整数解，所以整数解为1，2，3，故， 解得，所以整数m的值为2，3，4，5． 解分式方程： 方程化为， 解得． 由解为非负整数且， 所以且为整数，且， 即且是3的倍数且． 当时，不是整数； 当时，不是整数； 当时，符合要求； 当时， 不是整数． 所以符合条件的整数m只有4，故和为4． 故答案为：4． 17． 【分析】先通分括号内，再把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． 【详解】解： ． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意最后一定要检验． （1）先对分母分解因式，并写成含有的形式，然后方程两边同乘最简公分母，把分式方程化成整式方程，解方程求出x，最后进行检验即可； （2）方程两边同乘，把分式方程化成整式方程，解方程求出x，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， 方程两边同乘，得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解：， 方程两边同乘，得：， ， 整理得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 19．(1)每袋传统汤圆的标价是8元 (2)购买原定数量的两类汤圆共需花费322元 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程． （1）根据“购买传统汤圆和“柿柿如意”汤圆共40袋；按标价购买共需花费380元，其中购买传统汤圆花费200元．”列出方程，即可求解； （2）根据“按“柿柿如意”汤圆九折，传统汤圆八折的优惠价购入，”解答即可． 【详解】（1）解：设每袋传统汤圆的标价是x元，则每袋“柿柿如意”汤圆的标价是元， 根据题意得：40， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：每袋传统汤圆的标价是8元； （2）解：根据题意得：（元）． 答：购买原定数量的两类汤圆共需花费322元． 20．(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查解分式方程，理解题中解方程的方法是解答的关键． （1）仿照题中求解方法解方程即可； （2）先将方程转化为，再仿照题中求解方法解方程即可； （3）根据“十字分式方程”的解可得，，进而利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：为“十字分式方程”， ， ，； 故答案为：，； （2）解：为“十字分式方程”， ∴方程可化为， ， 或， ，； （3）解：“十字分式方程”即的两个解分别为，， ，， ． 21．(1)①；② (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了整式混合运算，分式的大小比较，完全平方公式在几何图形中的应用． （1）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （2）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （3）先求出和的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：， 理由如下： ， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $